Забавная геометрия

61

Подумайте над таким вопросом: какова геометрическая интеграция двух полученных отъемов и какую роль играет условия «BD — высота»?

Упражнения

1. (НГУ, 1969). Через некоторую точку внутри треугольника проведены три прямые, соответствующего параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разделяют треугольник на шесть частей, из которых три — треугольники с площадями $S_1, S_2, S_3$. Найти площадь данного треугольника.
2. В треугольник $ABC$ вписана окружность радиуса $r$. К этой окружности проведены три касательные, соответствующего параллельные сторонам треугольника $ABC$. В образованшеся при этом три ковых треугольника вписаны окружности радиусов $r_1, r_2, r_3$. Доказать, что $r=r_1+r_2+r_3$.
3. (МАИ, 1972). Из произвольной точки $D$, взятой на основании $AB$ треугольника $ABC$, проведены две прямые, параллельные сторонам $BC$ и $AC$, пересекающие их соответствующего в точках $F$ и $K$. Найти сумму длин окружностей, описанных около треугольников $ADK$ и $DBF$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 2.
4. (МАИ, 1972). В треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна $b$, сторона $AB$ равна $c$, а биссертиса внутри него угла $A$ пересекается со сторонам $BC$ в точке $D$ такой, что $DA=DB$. Найти длину стороны $BC$.
5. (МФТИ, 1972). В равноведренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) на высоте $BD$ как на диаметре построена окружность. Через точки $A$ и $C$ к окружности проведены касательные $AM$ и $CN$, продолжения которых пересекаются в точке $O$. Определить отношение $\frac{AB}{AC}$, если $\frac{OM}{AC}=k$ и высота $BD$ больше основа $AC$.
6. (МФТИ, 1972). На сторонах $AB, AC$ и $BC$ правильного треугольника $ABC$ расположены соответствующего точки $C'$, $B'$, $A'$ так, что треугольник $A'B'C'$ является правильным. Отрезок $BB'$ пересекает сторону $C'A'$ в точке $O$, причем $\frac{BO}{OB'}=k$. Определить отношение площади треугольника $ABC$ к плошади треугольника $A'B'C'$.
7. (МФТИ, 1972). На сторонах $AB, AC$ и $BC$ правильного треугольника $ABC$ расположены соответствующего точки $C_1$, $B_1$ и $A_1$ так, что треугольник $A_1B_1C_1$ является правильным. Высота $BD$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $A_1C_1$ в точке $O$. Найти отношение $\frac{BO}{BD}$, если $\frac{A_1B_1}{AB}=k$.
8. (МФТИ, 1973). В треугольнике $ABC$ через точку $M$, лежащую на стороне $BC$, проведены прямые, параллельные сторонам $AB$ и $AC$. Площадь образованного при этом параллельного грама составляет $\frac{5}{18}$ плошади треугольника $ABC$. Найти отношение $\frac{BM}{MC}$.
9. (МФТИ, 1973). В равноведренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) bicиссертиса $AE$ пересекает высоту $BD$ в точке $O$, причем $\frac{OB}{OD}=3$. В каком отношении высота $AF$ делит высоту $BD$?

Забавная геометрия
Уравнение «запятой», изображенное на рисунке 1, в полярных координатах $\rho$, $\varphi$ имеет вид (при $\varphi>0$)

$$\rho = \frac{(c_1+c_2) \pm (c_1-c_2)}{2} \times \frac{l_1 - |l_1|}{2l_1} + \frac{l_2 - |l_2|}{2l_2},$$

где $c_1 = \frac{a\varphi}{\alpha}$, $c_2 = \frac{a\varphi}{2\pi+\alpha}$, Рис. 1

$$l_1=\varphi-\alpha, l_2=\varphi-\alpha-2\pi$$ (на рисунке $\alpha=\frac{3\pi}{2}$). Его прислада в редакцию Ю. Дадрих (г. Пермы).

Рис. 2.

«Сердце» (рис. 2) тоже можно задать уравнением. Она имеет вид $(y-|x|)^2 = 3-x^2$ или $y=\pm \sqrt{3-x^2}+|x|$. Это уравнение нам прислада Т. Фисенко (г. Грозный).