Задачи М381—М385; Ф393—Ф397

48

Решения задач из этого номера можно посылать не позднее 1 июля 1976 г. по адресу: 113035, Москва, Ж-35, Б. Ордынка, 21/16, Журнал «Кванта», М381, М382» или «… Ф393». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просбапись присылать в отдельных конвертах. Задания из разных номеров журнала присвойте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результат ваших решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присвойте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте пометьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «… новая задача по математике»). После формирования задачи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Наноблее трудные задачи отмечен звездочкой.

M381—M385; Ф393—Ф397

M381. 6 активистов класса образователь 30 различных комиссии. Каждый две комиссии различаются составом, но обязательно «пересекаются», т. е. имеют общую члена. Докажите, что можно образовать еще одну комиссию, пересекающую с каждой из этих 30 комиссии.

С. Фомин

M832. Дан полином
$$f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + \dots + a_n$$
с целыми коэффициентами и натуральные числа $k$ и $p$. Докажите, что если ни одно из чисел $f(k)$, $f(k+1)$, …, $f(k+p)$ не делится на $p+1$, то уравнение $f(x) = 0$ не имеет рациональных корней.

T. Райков

M383. Пусть $a$ и $b$ — два натуральных числа. Докажите, что если $ab$ четно, то найдет также натуральные числа $c$ и $d$, что $a^2 + b^2 + c^2 = d^2$, а если $ab$ нечетно, то таких $c$ и $d$ найти нельзя.

M. Гервер

M384. Два одинаково ориентированных квадратов $OABC$ и $OA_1B_1C_1$ имеют общую вершину $O$. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ проходят через одну точку.

З. Скопец

M385. На клетчатой бумаге нарисован выпуклый многоугольник с вершинами в узлах (в углах клеток). Выберем какую-нибудь вершину $O$ многоугольника $F$ и обозначим через $nF$ многоугольник, полученный из $F$ растяжением в $n$ раз относительно этой вершины (рис. 1) (n — натуральное число). Будем обозначать через $N(nF)$ число узлов, которые лежат на границе $nF$. Через $S(F)$ обозначим площь $F$ (площадь одной клетки равна 1). Докажите, что
a) $N(nF)$ является многочленом от $n$;

49

6. $2S(F) = N(2F) - 2N(F) + 1$;
   b) $S(F) = N(F) - \frac{1}{2}N(\bar{F}) + 1$;

г) для любых двух выпуклых многоугольников $F$ и $G$ с вершинами в узлах $N(nF+mG)$ является многочленом от $n$ и $m^*$).

В трехмерном пространстве задан выпуклый многоугольник $F$, все вершины которого являются целыми точками (точка называется целой, если все три ее координаты являются целыми числами). Предположим, что начало координат $O$ является вершиной $F$, и обозначим через $nF$ многоугольник, полученный из $F$ расстоянием в $n$ раз относительно начала координат (каждая точка $nF$ получается из некоторой точки $F$ умножением всех координат на $n$, где $n$ — натуральное число). Будем обозначать через $N(nF)$ число целых точек в многоугольнике $nF$ и на его границе, а через $N(\bar{nF})$ будем обозначать число целых точек на границе $nF$. Через $V(F)$ обозначим объем многоугольника.

д) Докажите, что не существует формулы, которая была бы верна для любого описанного выше многоугольника $F$ и выражала бы $V(F)$ через $N(F)$ $N(\bar{F})$.

e) Придумайте формулу, которая (для некоторого $k$) выражает $V(F)$ через $N(F)$, $N(2F)$, …, $N(kF)$.

ж) Придумайте формулу, которая выражает $V(F)$ через
$$N(F), N(2F), N(\bar{F}), N(2\bar{F})$$.

з)* Докажите формулы, полученные при решении e) и ж).

и)* Докажите, что $N(nF)$ является многочленом от $n$.

A. Куширенко

Последняя задача М385 — tema для настоящего математического исследования, и мы не хотим ограничивать срок присылки ее решений obчными полуторами месяцами. Заметку, посвященною задаче М385, мы предполагаем подготовить в сентябре — октября, и к этому времени хотеловы получить ваши письма.

Ф393. Известно, что частота излучения atomов, летящих со скоростью $v$ в направлении наблюдая, изменяется на величины $\Delta f = \frac{v}{c} f_0$, где $c$ — скорость света, $f_0$ — частота излучения покоящего

*) Имеется в виду сумма Минковского (см. статью Н. В асилье в «Сложение фигур» в № 4 нашого журнала и рис. 2).