Задачи

73

Задания

1. Три гангстера украли из сейфа 10 бриллиантов общей стоимость 4 000 000 долларов. При этом они расчитывают разделить бриллианты так, чтобы каждому досталось не менее 1 000 000 долларов. При погоне один из бриллиантов стоимость 600 000 долларов потерлялся, и такой раздел стал невозможен. Мог ли он быть возможен вначале, или гангстеры заведом ошибались?

2. Известно, что вес тела на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле. Представьте себе, что вам предложили отправиться на Луну и проверить этот факт экспериментально. Какое оборудование вы возьмите с собой?

3. Про три точки A, B и C известно, что для любой четвертой точки M плоскости расстояние от A до M не превыходит хотя бы одного из расстояний: от B до M или от C до M. Доказать, что точка A лежит на отрезке BC.

4. Из двух одинаковых кусков одного и того же металла изготовили две проволки, одна из которых длинее другой в 4 раза. Как по-вашему, одинаковы или различны сопротивления этих проволок?

5. Имеются 6 одинаковых по виду монет. Четыре из них настоящие, по 4 2 каждая, а две фальшивые общим весом 8 2, одна часть более тяжелая, другой часть более легкая. Хватит ли четырех взвешивания, чтобы с помощью чашечных весов (без гирь) найти обе фальшивые монеты?

76

На вертикальной оси (вверх от точки O) будем откладывать путь, пројенный судном, а на горизонтальной отметим дни недели (эту ось называют осью времени, Пн обозначает понедельник, Вт — вторник и т. д.).

Как будет выглядеть на графике движения судов? В полдень пятницы судно будет находиться в 700 км от Ливерпуля. Ставим точку A на пересечении вертикали, проходящей через полдень пятницы, и горизонтали, и душей на высоте «700». К субботнему полдню судно пройдёт уже 1400 км. На рисунке 1 это изображается точкой B. Аналогично строится точки C, D и т. д. Они показывают положение судна в последующей длине (в полдень). Судно движется равномерно, и потому все эти точки будут лежать на одной прямой. Кстати, каждая точка этой прямой изображает положение судна в некоторый момент времени. Например, точка R показывает, что на расстоянии 2450 км судно будет, когда Биг Бен пробет полное и в ЛиверпULE начнет воскресевье.

Точно так же строится график движения судов, выходящих по понедельникам из Рио-de-Жанейро.

А теперь изобразим движения всех судов на одном графике (см. рис. 2). Тогда каждая точка пересечения двух прямых будет соответствовать встрече двух судов.

Рассмотрим, например, рейс KL из Ливерпуля в Рио-de-Жанейро. Этот отрезок 4 раза пересекает отрезки, изображенные движения встречных судов. Значит, ответ на первый вопрос задачи — 4 судна.

Далее, из графика видно, что до первой встречи в точке M пройдёт столбко же времени, сколько понадобится встречному судну, чтобы проплить от места встречи до Ливерпуля. Отсюда следует, что первый встреча произойдет в полдень в субботу, вторя — в полное со вторника на среду и т. д., а расстояния от места встречи до Ливерпуля будут 1400 км, 3850 км и т. д.

А теперь сами ответьте еще на три вопросы.

г) В некоторых момент в океане встречились два судна. Верно ли, что в тот же момент в другой части океана встречался еще два судна? Если да, то на каком расстоянии друг от друга проискудят эти две встречи?

d) Сколько судов курсируют между Ливерпulum и Рио-de-Жанейро?

e) Ответьте на первый вопрос задачи, если известно, что суда отправляются не еженедельно, а ежедневно.

Стрелки обходят циферблат

Ровно в 12 часов дня минутная и часовая стрелки часов совпадают. Затем минутная стрелка вырывается вперед и через некоторое время, обойдя часовой на цельный круг, вновь на крывавет ее. В какой момент это проискудит? В какие моменты между 12 часов дня и 12 часов ночи стрелки обращаются: a) развернуть угол; b) прямой угол; b) угол в 120°?

Джентльмены на прогулке

Два джентльменена одновременно отправились на прогулку по аллее длиной 100 метров. Мистер Смит за час проходит 1 километр, мистер Джонс идет помещение — всего 600 метров в час. Дойдя до конца аллеи, каждый из них поворачивает и с прежней скоростью идет обратно. Встречаясь, джентльмены каждой раз сигмают шляпы и раскланивают. Сколько раз они раскланивают на протяжении первых 25 минут прогулки? Сколько минут (из этих 25) они шли в одном направлении?

Задча Исаака Ньютона

Два почтальона A и B, которые разделят расстояние в 59 млль, выезжают утром на встречную друг друга. A проезжает за 2 часа 7 млль, а B за 3 часа — 8 млль, при этом B отправляется в путь часом позже A. Найти, сколько млль проедет A до встречи с B.

77

К статье «Трояны»

1. Вектор $r_1$, проведенный из точки $m_1$ в центр braшения, есть сумма двух векторов, направленных от $m_1$ к $m_2$ и от $m_1$ к $m_3$. Модули этих векторов равны $\frac{m_2}{m_1+m_2+m_3} R$ и $\frac{m_3}{m_1+m_2+m_3} R$ (см. рис. 1).

Параллелограмму с таким сторонами подобен параллелограмм сил $F_{12} = \gamma \frac{m_1 m_2}{R^2}$ и $F_{13} = \gamma \frac{m_1 m_3}{R^2}$, либо сумма этих сил $F_1$ должна быть направлена к центру braшения. Из рассмотрения подобия

$$F_1:r_1 = \gamma \frac{m_1 m_2}{R^2}: \frac{m_2}{m_1+m_2+m_3} R =$$

$$= \gamma \frac{m_1 m_3}{R^2}: \frac{m_3}{m_1+m_2+m_3} R.$$

Отсюда

$$\omega^2 = \frac{a_1}{r_1} = \frac{F_1}{m_1 r_1} = \gamma \frac{m_1+m_2+m_3}{R^3}.$$

2. При заданном в условиях соотношения скорости и их направлениях за малый промежуток времени треугольник масс перейдет в подобный начальныйному. Если и для нового треугольника соотношение скоростей удовлетворяет условияю, то все будет доказано. Но так как ускорение пропорционально расстоянию до центра braшения (см. упражнение 1), то и приращение скоростей, и новые скорости пропорциональных этих расстояний, а направления скоростей изменятся на один и тот же угол (см. рис. 2).

К статье «Артиллерия и математика»

1. (55 518; 37 263).
2. $295^\circ 33'$, 1551.
3. (12 406; 96 956).
4. (13 772, 98 154).

К статье «Антебе»

5. a) Если $p \neq 2$, то $\alpha = \sum_{i=1}^{k} \left[ \frac{n}{p^i} \right]$, где $k$ такое, что $p^k \leq n < p^{k+1}$.

Если же $p = 2$, то $\alpha = n + \sum_{i=1}^{k} \left[ \frac{n}{2^i} \right]$, где $2^k \leq n < 2^{k+1}$.

6. $\alpha = \left[ \frac{2n+1}{p} \right] - \left[ \frac{n}{p} \right] + \left[ \frac{2n+1}{p^2} \right] - \left[ \frac{n}{p^k} \right]$, где $p^k \leq 2n+1 < p^{k+1}$.

Указание. Воспользовайте тем, что $(2n+1)!! = \frac{(2n+1)!}{(2n)!!}$.

6. a) $1\frac{1}{16}; 1\frac{3}{4}; 2\frac{7}{16}; 3\frac{1}{8}; 3\frac{13}{16}$.

6. $-1 \leq x < 0; \sqrt{8} \leq x < 3; \sqrt{11} \leq x < \sqrt{14}; 4 \leq x < \sqrt{17}$.

b) $\sqrt{2}$.

7. 30 км.

8. $[f(a)] + [f(a+1)] + [f(a+2)] + \dots + [f(b)] + b-a+1$.

9. 137. Указание. Координаты точки, лежащих в данной круге, удовлетворяют неравенству $x^2 + y^2 \leq 6,5^2$.

78

10. 0,18. Указание. Воспользовитесь формулой $P(A_{10} \cup A_{14} \cup A_{21}) = P(A_{10}) + P(A_{14}) + P(A_{21}) - P(A_{10} \cap A_{14}) - P(A_{10} \cap A_{21}) + P(A_{10} \cap A_{14} \cap A_{21})$,

где $P(A_N)$ — вероятность того, что номер вынутого шара делится на $N$, $P(A_M \cup A_N \cup A_L)$ — вероятность того, что номер вынутого шара делится либо на $M$, либо на $N$, либо на $L$, $P(A_M \cap A_N)$ — вероятность того, что номер вынутого шара делится и на $M$, и на $N$, $P(A_M \cap A_N \cap A_L)$ — вероятность того, что номер вынутого шара делится на $M$, на $N$ и на $L$. Доказите эту формулу.

К статье «Ключ» к решению — подобные треугольники>

1. $S = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} + \sqrt{S_3})^2$.
2. Указание. В подобных треугольниках радиусы вписанных окружностей относятся, как соответствующие периметры. 3. 4π.
3. $\sqrt{b(b+c)}$. 5. $\frac{AB}{AC} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5k-1}{k-1}}$, $k > 1$. 6. $1 + 3k$. Указание. Провести $BM \perp A'C'$ и $B'M' \perp A'C'$ и подчитать отношения площадей треугольников $A'B'C'$, $AB'C'$, $BA'C'$, $CA'B'$. 7. $\frac{BO}{BD} = \frac{2}{3}(1-k^2)$.
4. 5:1; 1:5. 9. 7:1.

К задачам «Квант» для младших школьников»
(cm. «Квант» № 4)

1. Начинающий должен двигать ферзя в проигрывшие поля, их семь: a1, b3, c2, d6, e8, f4, h5. Из любого другого поля должен передвинуть ферзя в одно из этих полей, а из одного проигрывного поля попасть в другое нельзя (потому они и проигрывшие). Находятся эти поля так: a1 — проигрывное; любое поле, с которой можно за один ход попасть в a1, — проигрывное; поля b3 и c2, с которой можно попасть только в уже отмещенные выигрыные, — проигрывные; любое поле, с которой можно попасть

Рис. 3.

Рис. 4.

в b3 или c2, — выигрышное и т. д. Число ходов определяте самостояльно.

2. Почва на участке была влажная, а на том месте, где стояла палатка, почва была сухая. При замерзании воды в почве выделялось тепло, которое «обогревал» влажные участки и замедляло их промерзание. А сухой участок под палаткой промерзнее.

3. Весь класс разбиается на 4 непересекающихся множества: «чисых математиков», «математиков-умельцев», «чисых умельцев» и «безделников». «Безделников» по условию 10, не «безделников» 35—10 = 25, среди них 20 математиков, поэтому «чисых умельцев» будет 25—20 = 5, а «математиков-умельцев» будет 11—5 = 6.

4. См. рис. 3.

К задачам (см. с. 72)

1. Нельзя. 2. a) См. рис. 4. 6) Нельзя.
2. На первый или на второй. Если выбран какой-либо другой этаж, то уменшение его не скажется на среднем времени ожидания жилцов этого и более высоких этажей (поскольку они едят не только вниз, но и вверх), но уменшит время ожидания для жилцов более низких этажей.

К статье «Читатель советуют»
(cm. «Квант» № 4)

1. 393 мл. 2. 453 мл.
2. Указание. Доказать, что $ME \times MF = h^2$, где $h$ — расстояние от центра окружности $O$ до прямой $m$. Решение. Проведем прямые $m'$ и $m''$, касающиеся окружности в точках $C$ и $D$ соответственно. Пусть $M'$ — точка пересечения прямых $m'$ и $KM$, $M''$ — прямых $m''$ и $KM$, $F'$ — прямых $m'$ и $KF$ (почем эти прямые пересекаются?). Так как $M'C = M'T$, $M'F' = M''D = M''T$ (откуда получения этих равенства?), то $M'C.M'F' = M''T.M''T$. (1) Но $M'OM'' = 90^\circ$ (доказите!), а потому $M'T.M''T = r^2$, (2)

79

где $r$ — радиус окружности (откуда это следует?). С другой стороны,

$$M'C = \frac{r}{h} ME, \quad M'F' = \frac{r}{h} MF$$

(как доказать эти равенства?). Теперь из (1) – (3) следует, что $ME \cdot MF = h^2$.

4. $x_1, x_2 = 2 \pm \sqrt{6}, \quad x_3 = 2, \quad x_4 = -1$.

Указание. Переписать уравнение в виде $x^4 + 4 = 5x^3 - 10x$ и разделить обе части этого уравнения на $x^2$!

$$x^2 + \frac{4}{x^2} = 5 \left( x - \frac{2}{x} \right).$$

Затем сделать замену неизвестного $x - \frac{2}{x} = t$, в результате которого получается квадратное уравнение $t^2 + 4 = 5t$.

5-7. Указание. Воспользоваться выражением для плоскости треугольника через сторону (лежащую на $AC$) и высоту (опущенную из вершины $B$ или $D$) или через две стороны и угол между ними (здесть — с вершиной $O$).

8. $$\frac{S_1 S_3}{S_2 S_4} = \frac{\sin \alpha_1 \sin \alpha_3}{\sin \alpha_2 \sin \alpha_4},$$ где $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ – углы, под которых видны стороны $A_1 A_2, A_2 A_3, A_3 A_4, A_4 A_1$ из точки $O$.

9. Справедливо.

10. $$\frac{S_1 S_3 \dots S_{2n-1}}{S_2 S_4 \dots S_{2n}} = \frac{\sin \alpha_1 \sin \alpha_3 \dots \sin \alpha_{2n-1}}{\sin \alpha_2 \sin \alpha_4 \dots \sin \alpha_{2n}}.$$

11. $0, 31 \leqslant x < 5 + 2\sqrt{6}$. Указание. Неравенство равносильно совокупности двух систем:

$$\begin{cases} 0 < \frac{x^2 - 10x + 31}{30} < 1, \\ 5x - \frac{11}{20} \geqslant 1; \end{cases}$$

$$\begin{cases} \frac{x^2 - 10x + 31}{30} > 1, \\ 0 < 5x - \frac{11}{20} \leqslant 1. \end{cases}$$

12. $x_1 = k\pi, x_2 = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$ ($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

13. $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$ ($k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$). Указание. Данное уравнение в ОДЗ равносильно уравнению

$$1 - \cos x - \sin x = \cos 2x - \sin 2x,$$

(которое приводится к виду)

$$(\cos x + \sin x)(2 \sin x - 1) = 0.$$

Корни уравнения $\cos x + \sin x = 0$ не входят в ОДЗ исходного уравнения: для каждой из них в силу соответствия (4) имеем $\cos 2x - \sin 2x = 1 - (\cos x + \sin x) = 1$, а в ОДЗ должно выполняться условие $\cos 2x - \sin 2x \neq 1$. Если $\sin x = 1/2$, то либо $\cos x = \sqrt{3}/2$, либо $\cos x = -\sqrt{3}/2$. В первом случае

$$1 - \cos x - \sin x = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} < 0,$$

тогда как в ОДЗ должно выполняться условие $1 - \cos x - \sin x > 0$. Во втором случае определяющие ОДЗ условия выполняются.

14. $NF: FM = \sqrt{3}$. Указание. Продолжить среднюю линию за точку $M$ до пересечения в точке $L$ с одной окружностью и за точку $N$ до пересечения в точке $K$ с другой окружностью. Доказать, что CLKB – прямойник. Использовать равенства, вытекающие из теоремы об отрезках пересекающих хорд: $PF \cdot FQ = LF \cdot FN, PF \cdot FQ = MF \cdot FK$.

15. $S_{\triangle AOB}: S_{\triangle ABC} = (9 + \sqrt{3}): 26$.

Указание. Провести высоты: $SD$ – боковой грани $ASC$, $SF$ – боковой грани $CSB$, $SE$ – боковой грани $ASB$; соединить точки $D, F, E$ с точкой $O$. Доказать, что $SD = SF = SE$ и точка $O$ – центр круга, вписанной в треугольник $ABC$. Доказать, что $\triangle SDC = \triangle SFC, \triangle SFB = \triangle SEB, \triangle SEA = \triangle SDA$, и вычислить все плоские углы всех боковых граней. Выразить отрезки $AE = AD, BE = BF, CF = CD$ через длину высоты боковой грани. Составить выражения для плоскей треугольников $AOB$ и $ABC$, обозначив через $r$ радиус круга, вписанного в треугольник $ABC$.

16. $MN = 1/7$. Указание. Заметить, что $MN = DM - DN$. Для вычисления $DM$ и $DN$ использовать следующий геометрический факт: если в треугольник $PQR$ вписан круг, касающийся сторона $PQ, QR, RP$ треугольника, соответствующего в точках $A, B, C$, то $AQ = QB = p - PR, BR = RC = p - PQ, CP = PA = p - QR$, где $p$ – полyperметр треугольника $PQR$.

(Начало см. на с. 56)

И. Сардазаков (Новосибирск) 8, 0, 1; В. Серебрянный (Харьков) 8, 1; С. Сковорода (Ленинград) 8; В. Старшенко (Запороже) 8, 0, 1; И. Теллцкий (Чирчик) 8, 1; А. Тремьяченко (Киев) 1; А. Триценко (Комон-на-Дону) 1; В. Тужилкин (Зеленодольск ТАССР) 8, 1; Н. Федин (Иск) 8, 1; А. Фрумкин (Курск) 0, 1; Ю. Хабаров (Павловский Посад) 8, 0, 1; Н. Хорев (Барнаул) 8, 0, 1; И. Цацкис (Кремечуг) 8, 1; И. Цуркис (Калининград Московской области) 8, 0; Р. Шарипов (Каракуль Бухарской области) 8, 0, 1; С. Шамуров (Жданов) 1; И. Шерemet (Люберцы Московской области) 8, 1; И. Шиян (Киев) 8, 1; Е. Яненко (Киев) 8, 1; В. Ясинский (с. Мазуровка Винницкой области) 0, 1.