Троянцы

11

Можно ли разобраться, как движутся тела, взаимодействующие по закону всемирного тяготения? Например, как движутся планеты? Пусть в некоторых начальных моментах времени нам известны точные координаты $n$ планет, их скорости и известно, что на каждую из планет действуют только силы притяжения со стороны остальных ($n-1$) планет. Исходя из данных начальных условий надо определить движение планет в дальнейшем.

Законы, управляющие этим движением, это знакомые нам второй закон Ньютона и закон всемирного тяготения. Пользовясь имми, можно представать движение планет. Для системы, состоящей из двух тел ($n=2$), эта задача впервые была решена Ньютоном. В этом случае можно, исходя из начальных условий, определить состояние системы (координаты тел, их скорости и т.п.) в любой момент времени с любой точностью.

Но когда ученые занялись системой, состоящей из нескольких тел, они натолкнулись на колосальные трудности чисто математической характеристике. Уже для случая $n=3$ получить точное решение задачи в общем случае не удалось. И до середины него дня, несмотря на двухсотпятидесятлетние усилия математиков всего мира, точно решить эту задачу с помощью известных математических средств не удалось. Именно поэтому «задача $n$ тел» — так называют эту проблему механики — привлекке внимание математиков.

Другим стимулиром служит огромная важность задачи $n$ тел для небесной механики и космонавтики. Неудивительно поэтому, что общее число работ, посвязываемых ей, доходит до двух тысяч, и ежегодно появляется 15—20 новых исследований.

12

Сейчас существует целый ряд методов для приближенного решения задачи $n$ тел, позволяющих для каждой конкретной системы тел с заданным конкретным начальным условиями построить траектории движения с любой нужной для практики точностью для любого ограниченного отрезка времени.

Эффективность и надежность этих методов были недократно проверены, в частности, при расчетах траекторий космических кораблей и межпланетных станций.

Ползуясь именно таким методами, Адамс и Леверье сумели открытый планету Нептун «на кончке пера».
— Позвольте, но причем здесь трудны? — удивится читатель. Да просто астрономы — большие любители мифологии, а группа астроидов с таким общим названием связана с темой статей тестияшим образом. Но о троянцах — несколько позже, а пока продолжим разговор о задаче $n$ тел.

Задча Лагранжа

Итак, точно решение задачи $n$ тел нет. Но для частиного случая $n = 3$ при некоторых «специальных» начальных условиях точные решения были найдены 200 лет назад замечательным французским математиком Лагранжем.

Его решения — их называют лагранжевыми решениями задачи $n$ тел — единственные точные решения этой задачи, известные в настоящие время.

Мы в этой статье рассмотрим наиболее простой частий задачи Лагранжа.

Пусть три тела, не лежащие на одной прямой, врашают по концентрическим окружностям, лежащим в одной плоскости, с одинаковыми угловыми скоростями. То есть эти тела можно рассматривать как точки вообразаемого треугольного тела, врашующие вокруг него подвижной оси (оче

Рис.1.
видно, что эта ось проходит через центр концентрических окружностей — «орбит» тел).

При каком расположении масс это возможно? С какой скоростью должны врашаться это вообразаемое треугольное тело, чтобы не «разлетаться» по частям? Так поставил свою задачу Лагранж.

Итак, попытаемся след за Лагранжем решить эту задачу.

Треугольник масс

Пусть три тела с массами $m_1, m_2, m_3$ врашают по концентрическим окружностям, центр которых находится в точке $O$ (см. рис. 1). Радиусы орбит тел $r_1, r_2$ и $r_3$ соответственно, расстояния $R_1, R_2, R_3$ между телами много большие размеров смихов тел. Центрстремтельное ускорение каждой точки сообщают силы прятяжения, действующие на него со стороны соседей, т. е. сила, равная сумме (векторной!) этих сил. Запишем уравнение движения тела:

$$\begin{align*} F_{12} + F_{13} &= m_1 a_1, \\ F_{21} + F_{23} &= m_2 a_2, \\ F_{31} + F_{32} &= m_3 a_3. \end{align*}$$

Здесь $|F_{ij}| = \gamma \frac{m_i m_j}{r_{ij}^2}$ — значение силы nbютоновского прятяжения, с которой тел $m_j$ действует на тело $m_i$. Поскольку все тела врашают с одной и той же угловой скоростью $\omega$ (по условиям задачи), то

$$a_1 = -\omega^2 r_1, \quad a_2 = -\omega^2 r_2, \quad a_3 = -\omega^2 r_3,$$

13

Рис. 2.
где $r_i$ — радиус-вектор точки $m_i$ относительно центра врашения $O$. (Расстояния между телами много большие размеров тел, поэтому можно считать тела точками).

Все дальнейшие наши рассуждания будут чисто «аррифметическими», и может показаться сначала, что они не имеют отношения к задаче. Но именно они и приведут нас к решению задачи (вернее, первой ее части) — позволят определить конфигурацию тел.

Сложим почленно равенства из системы (1):

$$F_{12} + F_{13} + F_{21} + F_{23} + F_{31} + F_{32} = m_1 a_1 + m_2 a_2 + m_3 a_3 = -\omega^2 (m_1 r_1 + m_2 r_2 + m_3 r_3).$$

Левая часть этого равенства равна нулю — ведь согласно III закону Ньютона сумма всех внутренних сил в замкнутой системе равна нулю. (Левую часть можно записать так:

$$\sum_{i,j=1}^{3} F_{ij} + \sum_{i,j=1}^{3} F_{ji} = 0, \text{ так как } F_{ij} = -F_{ji}.$$

Итак, имеем

$$m_1 r_1 + m_2 r_2 + m_3 r_3 = 0$$

(поскольку $\omega \neq 0$). Равенство (2) по существу задает положение центра врашения: он находится в такой точке $O$, что радиус-векторы тел $m_1, m_2, m_3$ относительно этой точки должны удовлетворять условия (2).

Введем векторы $R_2$ и $R_3$ так, как показано на рисунке 2. Тогда

$$r_1 = r_2 + R_3,$$

$$r_1 = r_3 + R_2.$$

Рис. 3.
Выразим вектор $r_1$ через векторы $R_2$ и $R_3$. Для этого умножим первое равенство из (3) на $m_2$, а второе — на $m_3$ и сложим получившееся равенства почленно:

$$m_2 r_1 + m_3 r_1 = m_2 r_2 + m_3 r_3 = -m_1 r_1$$

(это следует из (2)), имеем:

$$(m_1 + m_2 + m_3) r_1 = m_2 R_3 + m_3 R_2.$$

Отсюда

$$r_1 = \frac{m_2}{m_1 + m_2 + m_3} R_3 + \frac{m_3}{m_1 + m_2 + m_3} R_2$$

Таким образом, вектор $r_1$ является суммой векторов $\rho_2 = \frac{m_3}{m_1 + m_2 + m_3} R_2$ и $\rho_3 = \frac{m_2}{m_1 + m_2 + m_3} R_3$, параллельных сторонам $R_2$ и $R_3$ треугольника масс.

А теперь изобразим на схеме треугольника масс векторы сил, действующих на тело $m_1$ (см. рис. 3). $F_{12}$ — сила, действующая со стороны тела $m_2$, $F_{13}$ — сила, действующая со стороны тела $m_3$. Эти силы направлены по сторонам $R_3$ и $R_2$ треугольника масс. Их результатируются направлена по вектору $r_1$ к точке $O$ (векторускорения тела $m_1$ направлен к центру врашения). Но это означает, что параллелограмм силы и параллелограмм, построенный на векторах $\rho_2$ и $\rho_3$, подобны! Тогда

$$|F_{12}|:|\rho_3| = |F_{13}|:|\rho_2|,$$

16

равносторонних треугольников с основанием Земля — Луна обширные облака космической пыли. Здесь в роли троянцев выступают мириды пылинок, захваченных совместимыми прияжением Земли и Луны.

Так решения, опубликованные Лагранжем в 1772 году и самому автору представляющейся лишь любопытной теоретической задачей, оказались связаны с позднейшим астрономическими открытиями.

Устойчивость движения

Но все ли конфигурации трех тел мы нашли? Нет, мы не разобрали случай прямолинного расположения тел; существует и подобная конфигурация трех тел, которая может врашаться как одно целое. Оказывается, такая конфигурация неустойчива. Стоит тем немного «сдвинутся» от прямой, как сразу согласование сил нарушится, и отклонение начнет возрастать.

Устойчива ли треугольная конфигурация? Не всегда. В 1843 году Гашо впервые определил условия устойчивости лагранжа треугольника. Он показал, что конфигурация будет устойчивой, если массы больших тел (лежащих в основании треугольника) таковы, что их отношение (отношение меньше массы к большей) достаточно мало и выполняется условия

$$\frac{(m_1 + m_2)^2}{m_1 m_2} > 27.$$

Если космическая частьца, масса которой много меньше $m_1$ и $m_2$, движущаяся с относительной небольшой скоростью, случайно попадет в вершину равностороннего треугольника, в основании которого лежат массы $m_1$ и $m_2$, то она оказывается «в ловушке». При этом частица может описывать весма замысловатьую траекторию около вершины

лангранжева треугольника, но все конфигурация будет врашаться как одно целое.

Масса Юпитера в тысячу раз меньше массы Солнца. По сравнению с любым из них общая масса троянцев пренебрежимо мала. Условие устойчивости выполняется с большим запасом. Неравенство выполняется и для системы Земля — Луна: массы отличаются в 81 раз.

Как вывести это условие? Можно быть, простой вывод и есть, но проблема эта все же сложная и, во всяком случае, требует особого разговора.

Упражнения

1. В статье не вычислена угловая скорость вращения треугольника масс. Докажите, что $\omega^2 = \gamma \frac{m_1 + m_2 + m_3}{R^3}$, где $R$ — расстояние между массами.

2. Мы рассматривали треугольник масс «жестким». Но оказывается, если векторы скорости по величине пропорциональны расстояниям до центра вращения и все направлены под одним и тем же углом к отрезкам, соединяющим тела с центром, то конфигурация тела остается подобной начальной в любой момент времени. Равносторонний треугольник, врашаясь, будет растягивать или скжаться. Попробуйте это доказать.

От редакции

Приносим извивання нашим читателем за оплошность, допущенную в третьем номере журнала. На фоне на второй странице обложки за подпись Нильса Бора следует подпись не Феликса Клейна, а физика Огюста Клейна — большого друга Нильса Бора.