Задачи наших читателей

72

г) Вычислите
$$\lim_{n \to \infty} \frac{3n^3 - 5n + 1}{4n^3 - 7}.$$

Задание по выбору
Из задач 6.1, 6.2, 6.3 решите только одну.

6.1. Дана функция $y = f(x) = e^{0.5x}$.
a) Составьте три первые произвольные этой функции: $f'(x)$; $f''(x)$; $f'''(x)$.
b) Доказите метод математической индукции, что $n$-я произвольная выражается формулой $f^{(n)}(x) = \frac{1}{2^n} e^{0.5x}$.
b) Вычислите $f'(0)$; $f''(0)$; $f'''(0)$ и $f^n(0)$. Эти значения составляют числовую последовательность $a_1 = f'(0)$, $a_2 = f''(0), \ldots, a_n = f^n(0)$. () Доказите, что отношение последующого члена последовательности () к предыдущему постоянному.
г) Из членов последовательности (*) можно составить бесконечный ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$. Вычислите сумму этого ряда (бесконечной геометрической прогрессии) $S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$.

6.2. Дана функция
$$y = f(x) = \cos 0.5x$$
$(0 \leq x \leq 2\pi)$.
a) Определите корни этой функции (т. е. значения аргумента, при которых функция

ЗАДАЧИ
НАШИХ ЧИТАТЕЛЕЙ

1. Можно ли расставить в десяти кружках на рисунке числа 0, 1, 2, …, 9 так, чтобы суммы четых чисел на каждой из прямых были равны?
   M. Караджян
   (r. Степанаван)

2. Можно ли расставить на шахматной доске
   a) 5 ладей и 5 коней,
   b) 6 ладей и 6 коней так, чтобы ни одна фигура не была другую?
   C. Охимин (г. Оренбург)

3. Жильцы многоэтажного дома пользователя личном и для спуска, и для подема. Если нет вызова и личт свободен, то он автоматически направляется на некоторый определенный этаж. На каоий этаж надо направлять лифт, чтобы среднее время ожидания лифт всеми жилцами было наименьшим?
   B. 3. К.

4. Найти простое число $p$, если известно, что числа $p^2 - 2, 2p^2 - 1$ и $3p^2 + 4$ также простые.

5. В множестве первых десяти тысяч натуральных чисел в объемом подмножества чисел, окачивающихся на 1 и которые могут быть представлены в виде $8^m + 5^n$ (м, n — натуральные). Сколько элементов содержит это подмножество?
   K. Курбанов (с. Цугги Дагестанской АССР)