Đường cong bậc hai

22

Đường cong bậc hai

Đường cong bậc hai là đồ thị của phương trình bậc hai với hai ẩn số.

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0,$$

(1)

ở đâu $A, B, C, D, E, F \in \mathbb{R}$. Chúng ta hãy biểu thị đa thức ở vế trái của phương trình (1) bằng $f(x, y)$. Khi đó điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc đồ thị của phương trình (1) nếu $f(x_0, y_0) = 0$ (xem “Đại số 6”, đoạn 54).

Mục tiêu chính của chúng tôi bài toán là học cách xác định loại biểu đồ này dựa trên các hệ số $A, B, C, D, E, F$.

Chúng ta sẽ giả sử rằng $A, B, C$ không đồng thời biến mất (nếu $A = B = C = 0$, thì thu được đường cong bậc nhất - đồ thị của phương trình tuyến tính $Dx + Ey + F = 0$).

Chúng ta sẽ chọn phương án sau: đầu tiên chúng ta sẽ nghiên cứu một số trường hợp đặc biệt đơn giản - khi một số hệ số của phương trình (1) bằng 0, sau đó chúng ta sẽ học cách thu được đồ thị của phương trình (1) từ các trường hợp đặc biệt này bằng các phép tịnh tiến và phép quay song song.

Trường hợp đặc biệt

Những trường hợp này như sau (tất cả các hệ số của các số hạng được tính toán, có lẽ ngoại trừ $F$, đều khác 0):

$$Ax^2 + Ey = 0,$$

(2a)

$$Cy^2 + Dx = 0,$$

(26)

$$Ax^2 + Cy^2 + F = 0,$$

(3)

Đồ thị của phương trình (5a) là một parabol (xem “Đại số 6”, đoạn 24 và bài viết của I. N. Bronstein “Parabola” trong «Kvant», 1975, số 4). Dễ hiểu rằng phương trình (56) cũng xác định parabol - nó có được bằng cách phản ánh parabol $y = -\frac{C}{D}x^2$ so với bissertis của góc tọa độ thứ nhất (xem Hình 1).

Một chu vi, một hình elip, một hyperbol, một gốc tọa độ, một cặp đường thẳng hoặc tập rỗng. Tất cả điều này có thể là một biểu đồ của phương trình (3).

Thật vậy, nếu $A = C$ ($\neq 0$), thì phương trình (3) có thể được viết lại thành

$$x^2 + y^2 = \frac{-F}{A}.$$

(6a)

Nếu $-F/A > 0$ thì phương trình (6a) xác định một đường tròn có bán kính $\sqrt{-F/A}$ (Hình 2). Nếu $-F/A = 0$, thì phương trình (6a) chỉ được thỏa mãn bởi cặp $x = 0, y = 0$ và gốc tọa độ được kiểm soát bởi biểu đồ. Nếu $-F/A < 0$ thì phương trình (6a) không có lời giải, đồ thị của nó là một tập rỗng.

Hãy để bây giờ $A \neq C$. Khi đó, nếu $A$ và $C$ cùng dấu (tức là $C/A > 0$), thì đồ thị của phương trình (3), có thể được viết lại thành

$$x^2 + \frac{C}{A}y^2 = \frac{-F}{A},$$

(66)

là một hình elip nếu $-F/A > 0$ (xem Hình 3 và bài viết “Ellipse” của I. N. Bronshtein trong «Kvant», 1975, Số 1), gốc tọa độ nếu $-F/A = 0$ và một tập rỗng nếu $-F/A < 0$.

23

Hình 1.

Nếu $A$ và $C$ có dấu khác nhau (nghĩa là nếu $C/A < 0$), thì phương trình (66) cho $F \neq 0$ xác định một hyperbola (xem bài viết “Hyperbola” của I. N. Bronstein trong «Kvant», 1975, Số 3) và cho $F=0$ - một cặp đường thẳng (Hình 4)

$$x + \sqrt{\frac{-C}{A}} y = 0,$$
$$x - \sqrt{\frac{-C}{A}} y = 0$$

(xem “Đại số 6”, đoạn 21; các phương trình này có thể dễ dàng rút gọn về dạng $y=kx$).

Cho dù tập hợp là trực tiếp hay trống rỗng. Trong phương trình (4a) và (46), cần xem xét ba trường hợp: $F=0, F/A > 0$ (hoặc $F/C > 0$) và $F/A < 0$ (hoặc $F/C < 0$).

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

Nếu $F=0$, thì (4a) trở thành phương trình $x=0$, đồ thị của nó là trục $Oy$ và (46) cho $y=0$, là trục $Ox$.

Nếu các số $F$ và $A$ (hoặc $F$ và $C$) khác dấu thì phương trình (4) mỗi số cho một cặp đường thẳng song song với trục $Oy$:

$$x = \pm \sqrt{\frac{-F}{A}}$$

hoặc trục $Ox$

$$y = \pm \sqrt{\frac{-F}{C}}.$$

Nếu các số $F$ và $A$ (hoặc $F$ và $C$) cùng dấu thì đồ thị của phương trình (4a) (và (46)) là một tập rỗng.

24

Thay đổi

Đây là những phép biến đổi biến một hình thành một hình phù hợp với nó. Do đó, do sự thay đổi, một đường thẳng sẽ vẫn thẳng, một parabol sẽ vẫn là một parabol và một hyperbol sẽ vẫn là một hyperbol. Nhưng phương trình của những đường này thay đổi (nhưng vẫn sẽ là phương trình bậc hai) và điều này có thể được sử dụng để đơn giản hóa phương trình - chẳng hạn, chọn một bản dịch mà sau đó thuật ngữ $Dx$ sẽ biến mất trong phương trình hoặc một phép quay hủy bỏ $Bxy$. Chúng tôi sẽ giới hạn bản thân trong các bản dịch và luân chuyển.

Chuyển giao song song. Để chuyển song song $\vec{r}(a; b)$ di chuyển điểm $M(x; y)$ đến điểm $M'(u; v)$. thì $x+a=u, y+b=v$ (Hình 5), do đó

$$x = u - a,$$
$$y = v - b.$$

Nếu tọa độ của điểm $M$ thỏa mãn phương trình $f(x, y)=0$ thì tọa độ của điểm $M'(u; v)$ thỏa mãn phương trình

$$g(u, v) = f(u - a, v - b) = 0,$$

tức là khi truyền $\vec{r}(a; b)$ thì đồ thị của phương trình $f(x, y)=0$ hiển thị trên đồ thị của phương trình (theo biến $x, y$)

$$g(x, y) = f(x - a, y - b) = 0.$$

Bản dịch ngược $\vec{r}'(-a; -b)$ ánh xạ đồ thị của phương trình $g(x, y)=0$ sang đồ thị của phương trình $f(x, y)=0$.

Trong sách giáo khoa “Đại số và Giải tích cơ bản 10” (phần 9*) đã chứng minh rằng khi truyền $\vec{r}(a; b)$ thì đồ thị hàm số $y=f(x)$ được ánh xạ tới đồ thị hàm số $y=f(x-a)+b$. Thực tế này có thể dễ dàng thu được từ tính chất chuyển giao mà chúng tôi đã chứng minh (có thể hiểu rõ tại sao $a$ được đưa vào công thức cuối cùng với dấu trừ và $b$ với dấu cộng). Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ trùng với đồ thị của phương trình $g(x, y) = y-f(x) = 0$.

Khi chuyển $\vec{r}(a; b)$ từ đồ thị của phương trình $g(x, y)=0$, chúng ta thu được đồ thị của phương trình $g(x-a, y-b)=0$, tức là phương trình $(y-b)-f(x-a)=0$ hoặc hàm $y = f(x-a)+b$.

Quay. Xét phép quay có tâm $O(0; 0)$ theo góc $\beta$ theo hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ). Với cách xoay này, $R_0^\beta$ ánh xạ điểm $M(x; y)$ tới điểm $M'(u; v)$. Hãy thử kết nối $u, v$ và $x, y$. Giả sử $|OM|=r$ và điểm $M(x; y)$ thu được từ điểm $K(r; 0)$ trên trục $Ox$ quay theo góc $\alpha$ (Hình 6). Sau đó (xem “Đại số và Phân tích bắt đầu 9”, §.14, đoạn 70, 71) $x=r\cos \alpha, y=r\sin \alpha$. Nhưng điểm $M'(u; v)$ thu được từ điểm $K(r; 0)$ bằng cách xoay theo góc $\alpha+\beta$, do đó $u=r\cos (\alpha+\beta), v=r\sin (\alpha+\beta)$. Từ

$$\cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta,$$
$$\sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta,$$

25

chúng tôi nhận được:

$$u = r \cos(\alpha + \beta) = x \cos \beta - y \sin \beta,$$
$$v = r \sin(\alpha + \beta) = x \sin \beta + y \cos \beta.$$

Khi quay lại $R_0^{-\beta}$, điểm $M'(u; v)$ được ánh xạ tới điểm $M(x; y)$, vì vậy
$$x = u \cos(-\beta) - v \sin(-\beta) = u \cos \beta + v \sin \beta,$$
$$y = u \sin(-\beta) + v \cos(-\beta) = -u \sin \beta + v \cos \beta.$$

Nếu tọa độ điểm $M(x; y)$ thỏa mãn phương trình $f(x, y)=0$ thì tọa độ điểm $M'(u; v)$ phải thỏa mãn phương trình

$$g(u, v) = f(u \cos \beta + v \sin \beta, -u \sin \beta + v \cos \beta) = 0,$$

nghĩa là, khi xoay $R_0^{\beta}$, đồ thị của phương trình $f(x, y)=0$ được ánh xạ tới đồ thị của phương trình (trong các biến $x, y$)

$$g(x, y) = f(x \cos \beta + y \sin \beta, -x \sin \beta + y \cos \beta) = 0.$$

Rút gọn phương trình $f(x, y)=0$

Hãy quay lại phương trình tổng quát (1) của đường cong bậc hai

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0.$$

Hãy thử xoay hình ảnh từ thành viên $Bxy$. Thay thế các biểu thức $x, y$ bằng $u, v$ (công thức (8)) vào phương trình $f(x, y)=0$, chúng ta thu được một số phương trình $g(u, v)=0$ bậc hai. Chúng ta viết ra các số hạng chỉ chứa $uv$ và tìm $B'$—giá trị mới của hệ số của tích $uv$:

$$B' = (A - C) 2\sin \beta \cos \beta + B (\cos^2 \beta - \sin^2 \beta).$$

Hãy đánh đồng nó bằng 0:

$$(A - C) \sin 2\beta + B \cos 2\beta = 0$$

và tìm $\beta$:

$$\mathrm{tg} 2\beta = \frac{B}{C - A}$$

$$\cos 2\beta = 0 (\beta = 45^\circ)$$ tại $A = C$.

Vì vậy, bạn luôn có thể xoay hình ảnh (1) để xem

$$Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0.$$

Ví dụ Cho phương trình

$$7x^2 + 6\sqrt{3}xy + 13y^2 + 4(\sqrt{3} - 8)x - 4(8\sqrt{3} + 1)y + 4 = 0.$$

Ở đây $A = 7, B = 6\sqrt{3}, C = 13$, do đó $tg 2\beta = \sqrt{3}, \beta = 30^\circ$. Thay (sử dụng công thức (8)) vào phương trình (10)

$$x = \frac{\sqrt{3}}{2} u + \frac{1}{2} v,$$

$$y = -\frac{1}{2} u + \frac{\sqrt{3}}{2} v,$$

chúng ta nhận được (kiểm tra!) phương trình

$$4u^2 + 16v^2 + 8u - 64v + 4 = 0.$$

Điều này có nghĩa là đồ thị của phương trình (10) thu được từ đồ thị của phương trình

$$4x^2 + 16y^2 + 8x - 64y + 4 = 0$$

xoay $R_0^{-30^\circ}$.

Bây giờ, hãy sử dụng bản dịch và cố gắng rút gọn phương trình (9) thành một phương trình thậm chí còn đơn giản hơn - không có các thuật ngữ $Dx$ và $Ey$. Khi truyền $r(a; b)$, đồ thị của phương trình $f(x, y)=0$ đi vào đồ thị của phương trình $g(x, y)=0$, trong đó $g(x, y)=f(x-a, y-b)$, tức là phương trình (9) đi vào thế này:

$$A(x-a)^2 + C(y-b)^2 + D(x-a) + E(y-b) + F = 0.$$

Khai triển dấu ngoặc và rút gọn, ta được:

$$Ax^2 + Cy^2 + (D - 2aA)x + (E - 2bC)y + Aa^2 + Cb^2 - aD - bE + F = 0.$$

Chúng ta hãy đánh đồng các hệ số của $x, y$ với 0 và đi đến phương trình của $a$ và $b$:

$$D - 2aA = 0, E - 2bC = 0,$$

từ đâu $a = \frac{D}{2A}$ (tại $A \neq 0$), $b = \frac{E}{2C}$ (tại $C \neq 0$).

Ví dụ (tiếp theo). Trong phương trình (11) $A = 4, C = 16, D = 8, E = -64, F = 4$, do đó $a = 1, b = -2$, và bản dịch $r(1; -2)$ biến đồ thị của phương trình (11) thành đồ thị của phương trình

$$4x^2 + 16y^2 - 64 = 0,$$

hoặc

$$x^2 + 4y^2 - 16 = 0.$$

Và đây là phương trình có dạng (3), nó định nghĩa một hình elip

$$\left(\frac{x}{4}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 1.$$