Кривые второго порядка

22

Кривые второго порядка

Кривой второго порядка называют график уравнения второй степени с двумя неизвестными

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0,$$

(1)

где $A, B, C, D, E, F \in \mathbb{R}$. Обозначим многочлен в левой части уравнения (1) через $f(x, y)$. Тогда точка $M(x_0; y_0)$ принадлежит графику уравнения (1), если $f(x_0, y_0) = 0$ (см. «Алгебра 6», п. 54).

Ссновная наша задача — научиться определять вид этого графика по коэффициентам $A, B, C, D, E, F$.

Будем считать, что $A, B, C$ не обращаются одновременно в нуль (если $A = B = C = 0$, то получается кривая первого порядка — график линейного уравнения $Dx + Ey + F = 0$).

Мы изберем следующий план: сначала изучим несколько простых частных случаев — когда неокоторые коэффициенты уравнения (1) обращаются в нуль, а потом научимся параллельными переносами и поворотами получать график уравнения (1) из этих частных случаев.

Частные случаи

Случай эти таковы (все коэффициенты при вычисляемых членах, кроме быть может, $F$, отличны от нуля):

$$Ax^2 + Ey = 0,$$

(2a)

$$Cy^2 + Dx = 0,$$

(26)

$$Ax^2 + Cy^2 + F = 0,$$

(3)

Графиком уравнения (5a) является парабола (см. «Алгебра 6», п. 24 и статьи И. Н. Бронштейна «Парабола» в «Кванте», 1975, № 4). Легко понять, что уравнение (56) тоже определяет парабoly — она получается при отражении параболы $y = -\frac{C}{D}x^2$ относительно биссертисы первого координатного угла (см. рис. 1).

Окражность, эллипс, гипербола, начало координат, пара прямых или пустое множество. Все это может быть графиком уравнения (3).

Действительно, если $A = C$ ($\neq 0$), то уравнение (3) можно переписать в виде

$$x^2 + y^2 = \frac{-F}{A}.$$

(6a)

Если $-F/A > 0$, то уравнение (6a) задает окружность радиуса $\sqrt{-F/A}$ (рис. 2). Если $-F/A = 0$, то уравнение (6a) удовлетворяет лишь пара $x = 0, y = 0$, и графиком уравляется начало координат. Если же $-F/A < 0$, то уравнение (6a) решений не имеет, его график — пустое множество.

Пусть теперь $A \neq C$. Тогда если $A$ и $C$ одного знака (то есть $C/A > 0$), то график уравнения (3), которой можно переписать в виде

$$x^2 + \frac{C}{A}y^2 = \frac{-F}{A},$$

(66)

является эллипс, если $-F/A > 0$ (см. рис. 3 и статьи И. Н. Бронштейна «Эллипс» в «Кванте», 1975, № 1), начало координат, если $-F/A = 0$, и пустое множество, если $-F/A < 0$.

23

Рис. 1.

Если же $A$ и $C$ разных знаков (то есть если $C/A < 0$), то уравнение (66) при $F \neq 0$ определяет гиперболу (см. статью И. Н. Бронштейна «Гипербола» в «Кванте», 1975, № 3), а при $F=0$ — пару прямых (рис. 4)

$$x + \sqrt{\frac{-C}{A}} y = 0,$$
$$x - \sqrt{\frac{-C}{A}} y = 0$$

(см. «Алгебра 6», п. 21; эти уравнения легко привести к виду $y=kx$).

Прямы и ли пустое множество. В уравнениях (4а) и (46) надо рассмотреть три случая: $F=0, F/A > 0$ (или $F/C > 0$) и $F/A < 0$ (или $F/C < 0$).

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Если $F=0$, то (4а) превращается в уравнение $x=0$, график которого — ось $Oy$, а (46) дает $y=0$ — это ось $Ox$.

Если числа $F$ и $A$ (или $F$ и $C$) разных знаков, то уравнения (4) дает каждое пару прямых, параллельных оси $Oy$:

$$x = \pm \sqrt{\frac{-F}{A}}$$

или оси $Ox$

$$y = \pm \sqrt{\frac{-F}{C}}.$$

Если же числа $F$ и $A$ (или $F$ и $C$) одного знака, то график уравнения (4а) (и (46)) — пустое множество.

24

Переменения

Это — преобразования, которые передают фигуру в конгруэнтную ей фигуру. Стало быть, прямая в результате переменения остатся прямой, парабола — параболой, гипербола — гиперболой. А вот уравнения этих линей изменяется (но по-прежнему будет уравнениями второй степени), и этим можно воспользоваться для упрощения уравнения — скажем, подобрать перенос, после которого в уравнения исчезнет член $Dx$, или поворот, аннулирующий $Bxy$. Переносами и поворотами мы и ограничимся.

Параллельный перенос. Пусть при параллельном переносе $\vec{r}(a; b)$ точка $M(x; y)$ переходит в точку $M'(u; v)$. тогда $x+a=u, y+b=v$ (рис. 5), поэтому

$$x = u - a,$$
$$y = v - b.$$

Если координаты точки $M$ удовлетворяют уравнению $f(x, y)=0$, то координаты точки $M'(u; v)$ удовлетворяют уравнению

$$g(u, v) = f(u - a, v - b) = 0,$$

то есть при перенос $\vec{r}(a; b)$ график уравнения $f(x, y)=0$ отображается в график уравнения (в переменных $x, y$)

$$g(x, y) = f(x - a, y - b) = 0.$$

Обратный перенос $\vec{r}'(-a; -b)$ отображает график уравнения $g(x, y)=0$ в график уравнения $f(x, y)=0$.

В учебнике «Алгебра и начала анализ 10» (п. 9*) доказывается, что при переносе $\vec{r}(a; b)$ график функции $y=f(x)$ отображается в график функции $y=f(x-a)+b$. Этот факт легко получается из доказанного нами свойства переносов (при этом выясняется, почему $a$ входит в последнюю формулу со знаком «минус», а $b$ — со знаком «плюс»). График функции $y=f(x)$ совпадает с графиком уравнения $g(x, y) = y-f(x) = 0$.

При перенос $\vec{r}(a; b)$ из графика уравнения $g(x, y)=0$ получается график уравнения $g(x-a, y-b)=0$, то есть уравнения $(y-b)-f(x-a)=0$, или функция $y = f(x-a)+b$.

Повороты. Рассмотрим поворот с центром $O(0; 0)$ на угол $\beta$ в положительном направлении (против часовой стрелки). При таком повороте $R_0^\beta$ точка $M(x; y)$ отображается в точку $M'(u; v)$. Попробуем связать $u, v$ и $x, y$. Пусть $|OM|=r$ и точка $M(x; y)$ получается из точки $K(r; 0)$ на оси $Ox$ поворот на угол $\alpha$ (рис. 6). Тогда (см. «Алгебра и начала анализ 9», §.14, п. 70, 71) $x=r\cos \alpha, y=r\sin \alpha$. Но точка $M'(u; v)$ получается из точки $K(r; 0)$ поворот на угол $\alpha+\beta$, поэтому $u=r\cos (\alpha+\beta), v=r\sin (\alpha+\beta)$. Посокльку

$$\cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta,$$
$$\sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta,$$

25

мы получаем:

$$u = r \cos(\alpha + \beta) = x \cos \beta - y \sin \beta,$$
$$v = r \sin(\alpha + \beta) = x \sin \beta + y \cos \beta.$$

При обратном повороте $R_0^{-\beta}$ точка $M'(u; v)$ отображается в точку $M(x; y)$, поэтому
$$x = u \cos(-\beta) - v \sin(-\beta) = u \cos \beta + v \sin \beta,$$
$$y = u \sin(-\beta) + v \cos(-\beta) = -u \sin \beta + v \cos \beta.$$

Если координаты точки $M(x; y)$ удовлетворяют уравнению $f(x, y)=0$, то координаты точки $M'(u; v)$ должны удовлетворять уравнению

$$g(u, v) = f(u \cos \beta + v \sin \beta, -u \sin \beta + v \cos \beta) = 0,$$

то есть при повороте $R_0^{\beta}$ график уравнения $f(x, y)=0$ отображается в график уравнения (в переменных $x, y$)

$$g(x, y) = f(x \cos \beta + y \sin \beta, -x \sin \beta + y \cos \beta) = 0.$$

Упрощение уравнения $f(x, y)=0$

Вернемся к общему уравнению (1) кривой второго порядка

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0.$$

Попробуем поворотом изображения от члена $Bxy$. Подставляя в уравнение $f(x, y)=0$ выражения $x, y$ через $u, v$ (формулы (8)), мы получим некоторое уравнение $g(u, v)=0$ второй степени. Выписываем члены, содержащие лишь $uv$, найдем $B'$ — новое значение коэффициента при произведении $uv$:

$$B' = (A - C) 2\sin \beta \cos \beta + B (\cos^2 \beta - \sin^2 \beta).$$

Приравняем его к нулю:

$$(A - C) \sin 2\beta + B \cos 2\beta = 0$$

и найдем $\beta$:

$$\mathrm{tg} 2\beta = \frac{B}{C - A}$$

$$\cos 2\beta = 0 (\beta = 45^\circ)$$ при $A = C$.

Итак, поворотом всегда можно изображения (1) к виду

$$Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0.$$

При мер. Пусть дано уравнение

$$7x^2 + 6\sqrt{3}xy + 13y^2 + 4(\sqrt{3} - 8)x - 4(8\sqrt{3} + 1)y + 4 = 0.$$

Здесь $A = 7, B = 6\sqrt{3}, C = 13$, поэтому $tg 2\beta = \sqrt{3}, \beta = 30^\circ$. Подставляя (по формулам (8)) в уравнение (10)

$$x = \frac{\sqrt{3}}{2} u + \frac{1}{2} v,$$

$$y = -\frac{1}{2} u + \frac{\sqrt{3}}{2} v,$$

получаем (проверьте!) уравнение

$$4u^2 + 16v^2 + 8u - 64v + 4 = 0.$$

Значит, график уравнения (10) получается из графика уравнения

$$4x^2 + 16y^2 + 8x - 64y + 4 = 0$$

поворотом $R_0^{-30^\circ}$.

Теперь воспользуемся переносами и попробуем свести уравнение (9) к еще более простому — без членов $Dx$ и $Ey$. При переносе $r(a; b)$ график уравнения $f(x, y)=0$ переходит в график уравнения $g(x, y)=0$, где $g(x, y)=f(x-a, y-b)$, то есть уравнение (9) переходит в такое:

$$A(x-a)^2 + C(y-b)^2 + D(x-a) + E(y-b) + F = 0.$$

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

$$Ax^2 + Cy^2 + (D - 2aA)x + (E - 2bC)y + Aa^2 + Cb^2 - aD - bE + F = 0.$$

Приравняем к нулю коэффициенты при $x, y$, приходим к уравнении относительно $a$ и $b$:

$$D - 2aA = 0, E - 2bC = 0,$$

откуда $a = \frac{D}{2A}$ (при $A \neq 0$), $b = \frac{E}{2C}$ (при $C \neq 0$).

При мер (продолжение). В уравнении (11) $A = 4, C = 16, D = 8, E = -64, F = 4$, поэтому $a = 1, b = -2$, и перенос $r(1; -2)$ переходит график уравнения (11) в график уравнения

$$4x^2 + 16y^2 - 64 = 0,$$

или

$$x^2 + 4y^2 - 16 = 0.$$

А это — уравнение вида (3), оно задает эллипс

$$\left(\frac{x}{4}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 1.$$