Вечерняя физическая школа

63

Вечерняя физическая школа

Уже два года на физическом факультете МГУ работает Вечерняя физическая школа (ВФШ) для школьников 8-10 классов Москвы и Подмосковья. Обучение в школе очень. В ВФШ принята система «лекции—семинары». На лекциях основное внимание уделяется разбору наиболее сложных вопросов школьной программы. Эти лекции читают преподаватели физического факультета. Семинары ведут аспиранты и студенты старших курсов, имеющие большой опыт руководства школьными физическими кругжами. Дляучащихся ВФШ организуют эскурсии в лаборатории физического факультета МГУ, в Научно-исследовательский институт ядерной физики и Государственный астрономический институт им. Штернбергга. Дружеские связи установились у нашей школе с физко-mатематической школой при Объединенном институте ядерных исследований в г. Дубне. В этом году группа лучшихучащихся ВФШ приняла участие в научной конференции школьников г. Дубны.

В сентябре этого года в третьий раз состоит конкурсный набор в ВФШ. Принять учащие в конкурсе могут школьники 8-10 классов (в 9 и 10 классы проводится дополнительный набор). Для учащие в конкурсе нужно до 20 сентября подать заявление на имя директора ВФШ, заполнить анкету в Комитете ВЛКСМ физического факультета, а также сдать 2 фотографии размером 3×4 см.

Прием заявлений будет произходить со 2 по 20 сентября с 16.00 до 18.00 ежедневно (кроме воскресенья) в Комитете ВЛКСМ физического факультета МГУ (задание физического факультета, комната 2-47).

Зачисление в школе производится по результатам собеседования. Требования по собеседанию не выходят за рамки школьной программы.

Наш адрес: Москва, Ленинские Горы, МГУ, физический факультет. Телефон для справок: 139-26-56.

Проезд: метро до станции «Университет», затем автобусами 103, 119, 130, тролейбусами 4, 34, 49 до остановки «ул. Лебедева».

К задачам «Последние цифры»
(см. с. 26)

1. У казание. $a^4$—1 делится на 80, поэтому число $A$ кончается $n$—1 нулем и затем единицей.

2. У казание. а) Воспользоваться принципом математической индукции. $6) B^{2q}$—$B^q$ делится на $10^n$, но $B$ нечетно, поэтому $B^q$—1 делится на $2^n$, а $b^r$ делится на $5^n$.

3. У казание. $c^4$ кончается цифрой 6. Далее решать аналогично задаче 2.

4. Следует из задачи 1—3.

6. Поскольку $4^{32} = 2^{18} > 500^2 > 200 000$, из задачи 3a) следует, что вычитаемое имеет на конце более 200 000 автоматных цифр. Уменьшаемое согласно утверждению задачи 1 кончается на …0001, а разность имеет на конце более 200 000 автоматных цифр.

К ребусам
(см. «Квант» № 5, 3-ю с. обл.)

«Числовая яхта». См. рис. 1.

«Квантово-волновые ребусы». 15 302×4 = 61 208, 17 634×4 = 70 536, 13 659×6 = 81 954.

К статьи «Качающая скала»
(см. «Квант» № 7)

1. Отклонение камня на опоре в положение, показанное на рисунке 2 в статье, можно представить как два последовательных перемещения: 1 — перенос камня в пространстве параллельно самому себе так, чтобы камень стал касаться опоры в точке $A$ (при этом точка $O$ будет находиться на продолжении радиуса опоры $OA$); 2 — поворот камня по часовой стрелке вокруг центра $O$ на угол $\alpha + \beta$ ($\beta = \frac{R}{r} \alpha$).

При первом движении все точки камня, в том числе и точки $O$ и $P$, опустятся на $\Delta h_1 = (R + r) - (R + r) \cos \alpha$.

64

Воспользовемся без вывода приближенной формулой $\cos \alpha = 1 - \frac{\alpha^2}{2}$, справедливо для малых углов $\alpha$. Тогда

$$\Delta h_1 = (R + r) \frac{\alpha^2}{2}.$$

При втором движении центр тяжести камня поднимается на

$$\Delta h_2 = (r - CP) \frac{(\alpha + \beta)^2}{2}.$$

Равновесие устойчиво, когда потенциальная энергия камня минимальная. Значит, при отклонении камня его центр тяжести поднимается, т. е. $\Delta h_2 > \Delta h_1$. Подставляя в это неравенство выражения для $\Delta h_1$ и $\Delta h_2$, получаем условие неравенства камня на опоре

$$CP < \frac{Rr}{R + r}.$$

2. При отклонении ваньки-вставки на шаре на угол $\alpha$ без просkalзывания $\Delta h_1$ и $\Delta h_2$ равны соответствию (см. задачу 1): $\Delta h_1 = 2R (1 - \cos \alpha)$, $\Delta h_2 = OP (1 - \cos 2\alpha)$. Для максимального угла отклонения $\alpha_0$ справедливо равенство

$$2R (1 - \cos \alpha_0) = OP (1 - \cos 2\alpha_0)$$

(смысл величины $OP$ ясен из рисунков вставьте). Используя соответствие $\cos 2\alpha_0 = 2\cos^2 \alpha_0 - 1$, из последнего равенства получаем, что точка $P$ находится на оси на расстоянии $\frac{R}{1 + \cos \alpha_0}$ от центра $O$.

3. Из условия равновесия следует, что центр тяжести получариная находится на расстоянии $5/8r$ от его вершины. Те, кто знаком с элементами высшей математики, могут проверить, что именно там оказывается центр тяжести однородного получария.

К задачам «Квант» для младших школьников (см. «Квант» № 7)

1. 45. Указан ие. Среди чисел, начинаяшихся цифрой 1, такое число лишь одно (10), среди начинаяшихся цифрой 2 — два (20, 21) и т. д.

2. Два решения: $102 = 1 \cdot 12 + 6 \cdot 15 = 6 \cdot 12 + 2 \cdot 15$. Указан ие. Число кусков длины 15 см должно быть четно, а общая длина кусков по 12 см — кончаться цифрой 2.

3. Нет, не может. Указан ие. Ось симметрии должны проходить через центр симметрии, который должен совпадать с одной из точек фигуры, и этой оси должно принадлежать нечетное число фигуры.

4. 4 способа (резать прямогольник на лобо по диагонали, лобо от вершины до середины какой-либо стороны).

5. «Хлопчатник».

К статье «Случай с патиклассиком» (см. «Квант» № 7)

1. a) Из уравнения $10a + b = 2 (a + b)$ находится $8a = b$, подходит лишь $a = 1$, $b = 8$, ответ: a) 18; b) 27; c) 12, 24, 36, 48; r) 45; d) 54; e) 21, 42, 63, 84; jk) 72; з) 81.

2. Если исходное число равно $100a + 10b + c$, то сумма равна 222 $(a + b + c)$. Если среди цифр исходного числа могут быть одинаковые, то сумма заведенного делится лишь на 111 (пример: $a = b = c = 1$). Если есть нуль, то ничего сказаать нельзя (пример: 201; 201+102+210+120=633).

3. 33 и 39.

К заметке «Квадратное уравнение» (см. «Квант» № 7, с. 9)

Если один корень квадратного уравнения равен 1, то сумма коэффициентов уравнения равна нулю, а второй корень по теореме Виета равен отношению свободного члена к коэффициенту при $x^2$.

К головоломкам (см. «Квант» № 7, 3-ю с. обл.)

«Удивительные цифры»

5 1 8 7 4 3 2 6 9

Указание. Сумма цифр каждой слагаемого и результата крата 9.

«Кроссамбер»

6543 1681 2345 5210

Номер готовили:
A. Виленкин, И. Клумова, Т. Петрова,
B. Тихомирова, Ю. Шиханович

Номер оформили:
M. Дубах, Г. Красников, Э. Назаров,
A. Пономарева, И. Смирнова

Зав. редакцией Л. Чернова

Художственный редактор Т. Макарова

Корректор Л. Боровина

113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, «Квант», тел. 231-83-62.
Сдано в набор 25/V 1977 г.
Подписано в печать 4/VII 1977 г.
Бумага 70×108/16, Физ. печ. л. 4
Усл. печ. л. 5,60. Уч.-изд. л. 6,69. Т-13222
Цена 30 коп. Заказ 1106. Тираж 289 550 экз.

Чеховский полигraphический комбинат Союзполиграфия при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полигraphии и книжной торговли.
г. Чехов Московской области

Руководис не возврачаются