Задачи «Последние цифры»

26

Позотому график уравнения (10) является эллипсом и получается из найденного нами эллипса переносом $\vec{r}(-1; 2)$ и затем поворотом $R_0^{-30^\circ}$.

Итак, если $A \neq 0$ и $B \neq 0$, то можно избавиться от членов $Dx$ и $Ey$. Если же $A=0$ (или $C=0$), то член $Dx$ (или $Ey$) остается, но тогда если $D \neq 0$ (или $E \neq 0$), то можно аннулировать $F$ переносом $\vec{r}\left(\frac{F}{D}; 0\right)$ (или $\vec{r}\left(0; \frac{F}{E}\right)$).

Таким образом, мы научились свойства уравнения $f(x, y)=0$ второй степени к одному из следующих видов:

| вид уравнения (9) | результат переноса |
| :— | :— |
| $A \neq 0, B \neq 0$ | $Ax^2 + By^2 + F = 0$ |
| $A \neq 0, B=0, E \neq 0$ | $Ax^2 + Ey = 0$ |
| $A \neq 0, B=0, E=0$ | $Ax^2 + F = 0$ |
| $A=0, B \neq 0, D \neq 0$ | $By^2 + Dx = 0$ |
| $A=0, B \neq 0, D=0$ | $By^2 + F = 0$ |

А все написанные справа уравнения нами разобраны — это и есть частиные случаи уравнения (1) (формулы (2) — (4)). Таким образом, мы решили поставленную задачу.

Заметим еще, что уравнение (26) можно привести к виду (2a), а уравнение (46) — к виду (4a). Для этого надо произвести поворот $R_0^{90^\circ}$, при котором график уравнения $f(x, y)=0$ отображается в график уравнения $f(y, -x)=0$. Попробуйте это доказать, а также решить следующие задачи.

Уражения

Построить графики следующих уравнений:

1. $5x^2 + 8xy + 5y^2 - 18x - 18y + 9 = 0$;
2. $4x^2 - 4xy + y^2 - 16x + 6y + 22 = 0$;
3. $x^2 - 4xy + y^2 + 4\sqrt{2}x -$
   $-2\sqrt{2}y + 11 = 0$.

Задания «Последние цифры»

1. Пусть число $a$ не делится ни на 2, ни на 5.
   Доказать, что при возвлении числа $A=a^{5 \cdot 10^{n-2}}$ в натуральную степень последнее его $n$ цифр не изменятся ($n \geq 4, a \in \mathbb{N}$).
2. Пусть число $b$ не делится на 2, но делится на 5.
   a) Доказать, что при возвлении числа $B=b^{2^{n-1}}$ ($n \in \mathbb{N}$) в натуральную степень последнее его $n$ цифр не изменятся.

6. Пусть $r, q, n \in \mathbb{N}$, $r \geq n$. Доказать, что последнее $n$ цифр выражения $b^{2^{n-1}q+r}$ и $b^r$ соответственно равны.

3. Пусть число $c$ делится на 2, но не делится на 5.
   a) Доказать, что при возвлении числа $C=c^{4 \cdot 5^{n-1}}$ в натуральную степень последнее его $n$ цифр не изменяется.

6. Пусть $r, q, n \in \mathbb{N}$, $r \geq n$. Доказать, что последнее $n$ цифр выражения $c^{4 \cdot 5^{n-1}q+r}$ и $b^r$ соответственно равны.

4. Пусть $m \in \mathbb{N}$. Доказать, что при возвлении числа $M=m^{10^{n+1}}$ в натуральную степень последнее его $n$ цифр не изменяется.

5. Найдите три последние цифры выражения $3^{105}+4^{105}$.

6. Докажите, что разность $3^{999}-2^{999}$ оказалась цифрами 1979.

7. Докажите, что если выражение
   $$11^{10^8} - 6^{5^3}$$
   возвесится в любую натуральную степень, то более 200 000 его последних цифр не изменятся.

8. Докажите, что при любом натуральном $n$ разность
   $$n^{n^n}-n^{n^n}$$
   делится на стое.

9. Найдите семь последних цифras
   $$9999^{999}999$$

10. В книге М. Гарднера «Математические новеллы» (М., «Мир», 1974) на странице 349 приведены 3376 цифр двацать третьего числа Мерсена $2^{11213}-1$, отпечатанного ЭВМ Университета шита Илинойс. Последние его десять цифр таковы: 7696398191. «Математические факультет университета был так горд открытым 23-го числа Мерсена, что ставил на конвертах специализый штемпель, известной об этом событии», —сказано в книге. Однако четвертая от конца цифра выдана неверно. Доказать, что это число должно быться цифрами 2191, а не 8191.

Причем свазанны с автоматными числами (см. «Квант», 1971, № 10, с. 39; 1973, № 1, с. 33 и 1973, № 7, с. 55).

М. Штеребер