tim mạch

33

Carduon

Cardiona là quỹ đạo của điểm M nằm trên đường tròn (O₁, a), lăn dọc theo một đường tròn đứng yên (O, a) có cùng bán kính (Hình 1). Ở vị trí ban đầu, điểm M nằm ở điểm A của một đường tròn cố định gọi là dải cardion. Trong Hình 1, bạn có thể thấy trên dải cardion có một hòn đảo. Dựa trên định nghĩa trên, chúng tôi sẽ chỉ ra các cách khác để xây dựng cardion và một số tính chất của nó.

Tiếp tuyến của cardion tại điểm M tùy ý đi qua điểm P của đường tròn chuyển động, đối diện hoàn toàn với điểm tiếp tuyến Q của nó với điểm cố định (điều này được chứng minh tương tự như trong «Kvant», 1977, số 3, trang 19).

Do ∪ QM và ∪ QA chịu tải nên điểm M đối xứng với dải A đối với tiếp tuyến chung NQ của các đường tròn chuyển động và cố định. Do đó, đường tròn (Q, |QA|) sẽ đi qua điểm M. Vì góc PMQ là số nguyên tố nên tiếp tuyến của cardion PM cũng sẽ tiếp tuyến với đường tròn (Q, |QA|). Vị trí của cardion có thể thu được dưới dạng họ đường tròn ngoại tiếp (Q, |QA|) cho nhiều vị trí của điểm Q trên đường tròn cố định.

Độ dài đoạn AN là 1/2 |AM|. Do đó, điểm N mô tả cardin, được chuẩn bị chính xác mà chúng ta vừa xem xét, với tâm được chuẩn bị tại điểm A và hệ số chuẩn bị bằng 1/2. Để vẽ một lá bài “nhỏ”, bạn có thể sử dụng một hình vuông, một chân ở tất cả các vị trí của nó đi qua điểm A và chân thứ hai chạm vào một vòng tròn cố định. Khi đó đỉnh của góc vuông N sẽ mô tả cardion này.

Đặt AM ∩ (O, a) = T (Hình 2). Trong tứ giác OO₁MT, hai cạnh song song (AM || OO₁, vì chúng có đường vuông góc chung NQ), hai cạnh còn lại bằng nhau. Điều này có nghĩa là OO₁MT là hình thang hoặc hình bình hành đều. Từ MO₁Q = AOQ suy ra rằng

$$MO_1Q = AOQ$$

Cơm. 1.

Cơm. 2.

Cơm. 3.

OO₁MT là hình bình hành. Do đó, cardion có thể được dựng bằng cách vẽ trên đường thẳng AT (với mọi vị trí có thể có của điểm T trên một đường tròn cố định) từ điểm T một đoạn TM có độ dài |OO₁| = 2a. Đặt nó sang một bên ở hai bên của T, chúng ta có được toàn bộ cardion*).

Chứng minh phương trình cực («Kvant», 1977, số 7, trang 46) của cardion có dạng ρ = 2a (1 + cos φ), nếu dải cardion A được đưa ra phía sau dải của hệ cực và trục cực hướng dọc theo AO (Hình 2).

Hình 3 mô tả phương pháp tạo cardion, được mô tả ở trang thứ hai của trang bìa. Điểm B ở đây biểu thị vị trí của điểm M sau khi vòng tròn di động nhỏ giọt dọc theo vòng tròn đứng yên lên phần tưới theo chiều dài của nó. Đoạn PC đối xứng với đoạn PB theo bán kính OP, vì MPO₁ = 1/2 MO₁Q = 1/2 QOA = O₁PB và B ∈ (O, |OP|), C ∈ (O, |OP|). Do đó BP |= |PC|. Ngoài ra PC còn là tiếp tuyến của cardion.

Bây giờ chúng ta hãy tưởng tượng rằng một nguồn sáng được đặt ở điểm B. Rõ ràng cardion mô tả các tia phản xạ từ vòng tròn (O, |OP|). Vì vậy, lá bài là một catacourt của vòng tròn này («Kvant», 1977, số 9, trang 43).

Chứng minh rằng nếu một đường tròn nào đó tiếp xúc bên trong một đường tròn có bán kính gấp đôi thì khi đường tròn “lớn hơn” lăn dọc theo đường tròn “nhỏ hơn” thì bất kỳ điểm nào của nó cũng sẽ mô tả cardin.

Biểu thị độ dài của các ống “xanh” trong Hình 3 theo a.

V. Berezin

*) Phương pháp xây dựng cardion này đã được trình bày mà không có lý do chính đáng trong cuốn sách “Ốc sên Pascal” («Kvant», 1977, số 5, trang 36)