33
Кардюона
Кардиона — это траектория точки M, лежащей на окружности (O₁, a), которая катится по неподвижной окружности (O, a) того же радиуса (рис. 1). В начальном положении точка M находится в точке A неподвижной окружности, называемой полосом кардиона. На рисунке 1 видно, что в полосе кардиона имеет острове. Отталкиваясь от приведенного определения, показем другие способы построения кардиона и неокторые ее свойства.
Касательная к кардионе в произвольной ее точке M проходит через точку P подвижной окружности, диаметрально противоположную точке ее касания Q с неподвижной (доказывается это так же, как в «Кванте», 1977, № 3, с. 19).
Ввиду того, что ∪ QM и ∪ QA конгрузить, точка M симметрина полосу A относительно общей касательной NQ подвижной и неподвижной окружностей. Следовательно, окружность (Q, |QA|) пройдет через точку M. Поскольку угол PMQ—примоий, касательная к кардионе PM будет также касательной к окружности (Q, |QA|). Позному кардиона может быть получена как описшая семейства окружностей (Q, |QA|) при внесемножих положениях точки Q на неподвижной окружности.
Длина отрезка AN равна 1/2 |AM|. Поэтому точка N описывает кардиону, готовится точно, который мы только что рассмотрели, с центром готовится в точке A и коэффициентом готовии, равным 1/2. Чтобы начертить «малую» кардиону, можно воспользоваться угольником, один катет которого во всех его положениях проходит через точку A, а второй касается неподвижной окружности. Тогда вершина прямого угла N опищет эту кардиону.
Пусть AM ∩ (O, a) = T (рис. 2). В четырехугольнике OO₁MT две стороны параллельны (AM || OO₁, поскольку они имеют общий перпендикуляр NQ), две другие стороны конгрузны. Значит, OO₁MT — равноведенная трапеция или параллелограмм. Из MO₁Q = AOQ следует, что
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
OO₁MT — параллелограмм. Поэтому кардиону можно строить, откладывая на прямой AT (при всевозможных положениях точки T на неподвижной окружности) от точки T отрезок TM длины |OO₁| = 2a. Откладывая его в обе стороны от T, мы получим всю кардиону*).
Докажите, что полярное уравнение («Квант», 1977, № 7, с. 46) кардиона имеет вид ρ = 2a (1 + cos φ), если за полосой полярной системы взят полос кардиона A и полярную ось направить по AO (рис. 2).
Рисунок 3 обязывает способ построения кардионы, о котором расскажется на второй странице обложки. Точка B показывает здесь положение точки M после того, как подвижная окружность прокаплива по неподвижной на поливну своей длины. Отрезок PC симметричен отрезку PB относительно радиуса OP, так как МРО₁ = 1/2 МО₁Q = 1/2 QOА = O₁PB и B ∈ (O, |OP|), C ∈ (O, |OP|). Поэтому BP |= |PC|. Кроме того, PC — касательная к кардионе.
Представим теперь, что в точке B помещен источник света. Ясно, что кардиона является описшей лучей, отраженных от окружности (O, |OP|). Поэтому кардиона является катакурткой этой окружности («Квант», 1977, № 9, с. 43).
Докажите, что если неокторая окружность касается внутренним образом окружности вдвое большого радиуса, то при качении «большей» окружности по «меньшей» любая ее точка опищет кардиону.
Выразите длины «синих» ходд на рисунке 3 через a.
В. Березин
*) Этот способ построения кардионы уже привелся без обоснования в затемке «Улитка Паскала» («Квант», 1977, № 5, с. 36)