Решения задач М434, М435; Ф445, Ф446

36

Решения задач

M434, М435; Ф445, Ф446

М434. Число $\frac{2}{1} + \frac{2^2}{2} + \frac{2^3}{3} + \dots + \frac{2^n}{n}$
представляемся в виде несократическим дроби $\frac{p_n}{q_n}$.

a) Докажите, что $p_n$ — чемное число.
b) Докажите, что если $n > 3$, то $p_n$ делится на 8.
c) Докажите, что для любого натурального $k$ можно указать какое $n$, что числа $p_n, p_{n+1}, \dots, p_{n+2}, \dots$ делятся на $2^k$.

a), б) Если несократическая дробь $\frac{p}{q}$ есть сумма нескольких несократических дробей, числитель каждой из которых делится на $2^k$, то и $p$ делится на $2^k$. Для решения задачи a) остается заметить, что числители дробей $\frac{2}{1}, \frac{2^2}{2}, \frac{2^3}{3}, \dots$ после сокращения остатуса четными (так как для любого натурального $m$ справедливо неравенство $2^{m-1} \geq m$). Для решения задачи б) достаточно было бы иметь неравенство $2^{m-3} \geq m$. Это неравенство, однако, справедливо, лишь начиная с $m = 6$. Поэтому проверим, что числители сумм $\frac{2}{1} + \frac{2^2}{2} + \frac{2^3}{3} + \frac{2^4}{4}$ и $\frac{2}{1} + \frac{2^2}{2} + \frac{2^3}{3} + \frac{2^4}{4} + \frac{2^5}{5}$ после сокращения будут делиться на 8. Этти суммы равны $\frac{32}{3}$ и $\frac{256}{15}$ соответственно.

в) Расмотрим функцию $L_n(x) = \frac{x}{1} + \frac{x^2}{2} + \dots + \frac{x^n}{n}$. Покажем, что многочлен $L_n(2x - x^2) - 2L_n(x) = f(x)$ имеет вид:

$$f(x) = x^{n+1} \cdot \left( \frac{a_0}{n+1} + \frac{a_1}{n+2} x + \dots + \frac{a_{n-1}}{2n} x^{n-1} \right),$$

где $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$ целые числа. Для этого достаточно показать, что многочлен $f'(x)$ имеет вид:

$$f'(x) = x^n \left( a_0 + a_1 x + \dots + a_{n-1} x^{n-1} \right).$$

Заметим, что $L_n'(x) = 1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} = \frac{1-x^n}{1-x}$. Поэтому,

$$f'(x) = L_n'(2x - x^2) \cdot (2 - 2x) - 2L_n'(x) =$$

$$= \frac{1 - (2x - x^2)^n}{1 - 2x + x^2} \cdot (2 - 2x) - \frac{2(1 - x^n)}{1 - x} =$$

$$= 2 \cdot \frac{x^n - x^n(2 - x)^n}{1 - x} = x^n \cdot \frac{2(1 - (2 - x)^n)}{1 - x}$$

и

$$1 - (2 - x)^n = (1 - (2 - x))(1 + (2 - x) + (2 - x)^2 + \dots +$$

$$+ (2 - x)^{n-1}) = (x - 1)(1 + (2 - x) + (2 - x)^2 + \dots +$$

$$+ (2 - x)^{n-1}).$$

Так как $f(2) = L_n(0) - 2L_n(2) = -2L_n(2)$, то, положив в равенстве (*) $x = 2$, получим

$$L_n(2) = -2^n \left( \frac{a_0}{n+1} + \frac{2a_1}{n+2} + \dots + \frac{2^{n-1}a_{n-1}}{2n} \right).$$

Из неравенства $n < 2^{\frac{n+1}{2}}$, справедливо для любого числа $n$, следует, что все знаменатели в правой

37

М435. В таблице размеры $m \times n$ записаны действительные числа, в каждой клетке по числу. В каждом столбце подчеркуто $k$ наибольших чисел ($k \leq m$), в каждой строке — $l$ наибольших чисел ($l \leq n$). Доказим, что по крайней мере $kl$ чисел подчеркуты дважды.

$$k = 1; \quad l = 2.$$

Рис. 1.

Ф445. Конденсатор емкостми $C = 0,04$ мкФ с помощью ключа $K$ перiodищески с частотой $v = 50$ раз в секунду заряжается от источника с э. д. с. % = 100 В и внутренним сопротивлением $r = 5$ Ом и разряжается через сопротивление $R = 1$ кОм (рис. 2). Определить мощность, выделяемого в наружке $R$, и к. n. д. макого устройства. Считать, что время замыкания конденсатора ключа достаточно, чтобы конденсатор успел полностью зарядиться (положение $I$) и полностью разрядиться (положение $II$).

Мы будем решать задачу по индукции в несколько более общей формулировке, предполагая, что в каждом столбце подчеркивается не менее $k$ наибольших, а в каждой строке — не менее $l$ наибольших чисел. Индукцию проводим по $m+n$.

При $m=n=k=l=1$ утверждение очевидно. Пусть у нас есть таблица размерами $m \times n$. Сведения задачу к таблице $m \times (n-1)$ или $(m-1) \times n$. Если в таблице все подчеркичные числа подчеркиты дважды, то их количество не меньше $kn$. В противном случае чисел, подчеркичных по одному разу, выберем наибольшее число $A$. Число $A$ является либо одним из наибольших в своей стольце, либо одним из наибольших в своей стольке. Предположим, что $A$ — одно из наибольших в своей стольце. Тогда, поскольку $A$ не является одним из наибольших в своей стольке и $A$ — наибольшее среднее по одному разу подчеркичных чисел, все подчеркиты (по строке!) наибольшие числа, стоящие в одной строке $A$, подчеркиты дважды (см. рис. 1). Выбросив из нашей таблицы эту строку, мы получим таблицу $(m-1) \times n$, в которой подчеркуто не менее $l$ наибольших чисел в каждой стольке. И не менее $k-1$ чисел — в каждом столбце. Предположение индукции заключается в том, что в этой меньше таблице дважды подчеркуто не менее $(k-1) l$ чисел. Этти же числа подчеркиты дважды и в большой таблице $m \times n$, в которой, кроме того, дважды подчеркиты не менее $l$ чисел в выброшенной строке. Так что всего в исходной таблице дважды подчеркуто не менее $(k-1) l+l=kl$ чисел, что и утверждалось в задаче.

С. Коняzin

Во время разряда конденсатора на сопротивлении $R$ выделяется все энергия, заключающая в конденсатор. Эта энергия

$$W = \frac{C \mathcal{E}^2}{2}.$$

За одну секунду конденсатор разрягается 50 раз (частица переключителя ключа $v=50$ 1/c). Следовательно, средняя мощность $P_{cp}$, выделяемая в нагрузке $R$, равна

$$P_{cp} = W v = \frac{C \mathcal{E}^2}{2} v = 10^{-2} B T.$$

Для того чтобы коэффициент полезного действия $\eta$ данного устройства, надо энергия $W$, выделяемого на сопротивлении $R$ во время разряда конденсатора, разделить на работу $A$, совершаемую источником тока во время заряда конденсатора. Так как

$$A = q \mathcal{E} = C \mathcal{E} \mathcal{E} = C \mathcal{E}^2,$$

38

$$\eta = \frac{W}{A} = \frac{C \mathcal{E}^2}{C \mathcal{E}^2} = \frac{1}{2},$$

то есть к. п. д. не зависит от значений сопротивления $R$ и $r$.

Если бы конденсатора не было, а источник с э. д. с. $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ был бы непредседательной подключен к нагрузке $R$, то к. п. д. схемы был равен

$$\eta' = \frac{I^2 R}{I^2 (R + r)} = \frac{R}{R + r} = 0,995,$$

что значительное больше, чем в нашем случае.

◆

Направим ось координат $X$ вправо, а начало координат связи с положением тела в начальной момент (рис. 4). На тело, просkalывающей ее относительной ленты трансортера, действуют две силы. Одана из них — сила упругости пружины — пропорциональная координате $x$ тела и направлена в сторону, противоположную его смесению:

$$F_{\text{упр}} = -kx,$$

а другая — сила трансоржения — постоянна:

$$F_{\text{тр}} = \mu M |\vec{g}|,$$

где $\mu$ — коэффициент треня тела о ленту. Это означает, что, подобно обычному горизонтальному пружинному магнитнику, тело должно совершать свободные гармоничные колебания. Правда, эти колебания проискдают относительно положения равновесия — точки $O'$ с координатой $x_0$, где сумма проекций всех сил равна нулю:

$$F_{\text{упр}} + F_{\text{тр}} = 0,$$ или $-kx_0 + \mu M |\vec{g}| = 0,$

откуда

$$x_0 = \frac{\mu M |\vec{g}|}{k};$$

Покажем, что это действительное так. Для этого удобно перейти в другую систему координат, начало которого находится в точке $O'$, а ось $X'$ направлена вправо (см. рис. 4). Запишем уравнение движения тела в проекциях на выбранное направление:

$$Ma = F_{\text{упр}} + F_{\text{тр}}.$$

Здесь $F_{\text{упр}} = -k(x_0 + x') = -k \left( \frac{\mu M |\vec{g}|}{k} + x' \right)$ и $F_{\text{тр}} = \mu M |\vec{g}|.$

Позетом

$$Ma = -k \left( \frac{\mu M |\vec{g}|}{k} + x' \right) + \mu M |\vec{g}|,$$

или

$$Ma = -kx'.$$

(Заметим, что с таким же случаем мы встречаем при решении задач на колебания вертикального пружинного магнитка (рис. 5). Здесь роль постоянной силы треня играет тоже постоянная сила тяжесте.) Мы получили уравнение движения тела, совершающего свободные гармоничные колебания. Эти колебания проискдают по закону

$$x' = x_m' \cos(\omega_0 t + \varphi_0).$$

Циклическая частота колебания

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{M}}.$$

Амплитуду $x_m'$ можно найти из энергетических соображений:

39

в начальной момент, когда скорость тела равна нулю, его смешение $x' = -x_0$. Следовательно, амплитуда колебаний

$$x'_m = x_0 = \frac{\mu M |\vec{g}|}{k}.$$

Начальная фаза $\varphi_0$ определяется начальным условиями: при $t=0$ $x' = -x_0$, откуда $\varphi_0 = \pi$.

Итак,

$$x' = x_0 \cos(\omega_0 t + \varphi_0) = -\frac{\mu M |\vec{g}|}{k} \cos \sqrt{\frac{k}{M}} t.$$

В системе координат $OX$ зависит ккординаты тела от времени будет такой:

$$x = x_0 + x' = x_0 (1 - \cos \omega_0 t) =$$

$$= \frac{\mu M |\vec{g}|}{k} \left( 1 - \cos \sqrt{\frac{k}{M}} t \right),$$

а проекции скорости и ускорения соответственно —

$$v = x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t = v_m \sin \omega_0 t = \mu |\vec{g}| \sqrt{\frac{M}{k}} \sin \sqrt{\frac{k}{M}} t$$

и

$$a = x_0 \omega_0^2 \cos \omega_0 t = a_m \cos \omega_0 t = \mu |\vec{g}| \cos \sqrt{\frac{k}{M}} t.$$

Однако все наши рассуждения справедливы, только если амплитуда $v_m$ скорости тела не превыходит скорости $v_0$ движения ленты транспортера. Поэтому что только при условии

$$v_m \leq v_0,$$ или $\mu |\vec{g}| \sqrt{\frac{M}{k}} \leq v_0$

сила треня, действующая на тело, постоянна. Графики зависимости $x(t), v(t)$ и $a(t)$ для этого случая изображены на рисунке 6.

А что будет произходить с телом, если еще до прохождения смешенного положения равновесия (точки $O'$) абсцилотная величины его скорости станет равной $v_0$? Очевидно, что в этот момент тело «захватывает» лентой, и сила треня уменьшается до значения $|\vec{F}_{\text{Tp}}| = |kx| < \mu M |\vec{g}|$. Благодаря этому тело неокоторое время движется равномерно со скоростью движения ленты, пока не достигнет точки $O'$ с координатой $x_0 = \frac{\mu M |\vec{g}|}{k}$. В этот момент сила треня становится равной максимальной величины $\mu M |\vec{g}|$ и при дальнейшем движении тела будет оставаться постоянной.

Следовательно, начиная с этого момента, тело, как и в первом случае, будет совершать гармоничные колебания с той же частотой $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{M}}$, но с другой амплитудой $x_m$.

Поскольку амплитуда колебаний скорости равна $v_0$ (с такой скоростью тело проходит положение равновесия), амплитуда колебаний координаты

$$x_m = \frac{v_0}{\omega_0} = v_0 \sqrt{\frac{M}{k}}.$$

Аналогично амплитуда колебаний ускорения

$$a_m = v_0 \omega_0 = v_0 \sqrt{\frac{k}{M}}.$$

Соответствие графики зависимости $x(t), v(t)$ и $a(t)$ показаны на рисунке 7.

И. Слободецкий