Задачи на площади и двугранные углы

48

Задания
на площади
и двугранные углы

Рассмотрим следующую задачу.

Задание 1. Правильная преуольная парамida с двумерным углом α при ребре основания пересечена плоскостью, паралельной основанию, так, что площадь полученоо сечения равна площади боковой поверхности образованшейся усеченной парамиды. Определить отношение площади основания к площади сечения.

Если решать эту задачу, рассматривая сечение парамиды плоскостью, проходящей через высоту и апофему боковой грани, то после достаточно сложных вычислений получается ответ 1+cos α. Το обстоятельство, что искомое отношение про-

сто выражается через данную величины, ведет к дальнейшим размышлениям. Случайно ли это? Очевидно, нет. Скорее всего должно существовать и простое решение задачи. По-smотрим винмательно на ответ. По-лученое соответствие связи дает площадь S основания, площадь Q сечения (равную по условию площади боковой поверхности усеченной парамиды) и двугранный угол при ребре основания (рис. 1).

No格拉сно известной формуле *) площади ortogonalной проекции многоугольника S—Q=Q·cos φ, откуда

$$\frac{S-Q}{Q} = \cos \varphi, \frac{S}{Q} = 1 + \cos \varphi.$$

И во многих других случаях применение формулы площади проекции является тем элементом, который неопределенно ведет к решению задачи.

Задание 2 (МАИ, 1973). Основанием парамиды служит параллеродам, площадь коморого Q. Вершина парамиды проектировется в моче пересечения диагональной параллеродам. Одна из боковых границ с плоскостью основания угол α, друза — угол β. Найти площадь боковой поверхности парамиды.

*) См. «Геометрия 10», § 50.

Рис. 1.

Рис. 2.

49

Ввиду того, что
$$S_{\triangle BAC} = S_{\triangle DAE}, \quad S_{\triangle CAD} = S_{\triangle EAB},$$
$$S_{\triangle BOC} = S_{\triangle COD} = \frac{Q}{4}$$

(рис. 2), сразу находим:
$$S_{60k} = 2(S_{\triangle BAC} + S_{\triangle CAD}) =$$
$$= 2\left(\frac{S_{\triangle BOC}}{\cos \alpha} + \frac{S_{\triangle COD}}{\cos \beta}\right) =$$
$$= 2\left(\frac{Q}{4\cos \alpha} + \frac{Q}{4\cos \beta}\right) = \frac{Q(\cos \alpha + \cos \beta)}{2\cos \alpha \cos \beta}.$$

Задача 3 (КГУ, физак, 1975).
В основании пирамиды лежит ромб со сторной а и острым углом α.
Две боковые грани, которые содержат стороны острого угла основания, перепendlukулярны основанию, две другие наклонены к основанию под углом β.
Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Легко заметить, что проекция $E_1AD_1$ (рис. 3) боковой грани $EAD$ на плоскость боковой грани $BAC$ равновелика грани $BAC$, причем двумя уголями угол между этими гранями равен $\frac{\pi}{2} - \beta$, а проекцией грани $AED$ на плоскость основания ромба является треугольник $BED$. Поэтому
$$S_{60k} = 2(S_{\triangle EAD} + S_{\triangle BAC}) =$$
$$= 2(S_{\triangle EAD} + S_{\triangle E_1AD_1}) =$$
$$= 2\left[S_{\triangle EAD} + S_{\triangle EAD} \cos\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right)\right] =$$

Рис. 3.

Задача 4 (КПИ, 1975). Вправильнуючем перехуедельную пирамиду вписан шар; боковая грань этой пирамиды служит основанием другой пирамиды, вершина которой в центре шара и obtем коморой равен $1/6$ obtема данной пирамиды. Определить величины двумерного угла при основании и плоского угла при вершинечем перехуедельной пирамиды.

Известно, что $V_{\pi\rho} = \frac{1}{3} S_{\pi\operatorname{o}l n} \cdot r$ (рис. 4). Поэтому
$$\cos \alpha = \frac{S_{\operatorname{o}l n}}{S_{60k}} = \frac{S_{\pi\operatorname{o}l n}}{S_{60k}} - 1 =$$
$$= \frac{\frac{1}{3} S_{\pi\operatorname{o}l n} \cdot r}{\frac{1}{3} \left(4S_{\triangle CAD}\right) \cdot r} - 1 = \frac{V_{ABCDE}}{4V_{O_1CAD}} -$$
$$- 1 = \frac{6}{4} - 1 = \frac{1}{2},$$
$$\alpha = \frac{\pi}{3}; \text{tg} \frac{\beta}{2} = \frac{|DF|}{|AF|} =$$
$$= \frac{|OF|}{|AF|} = \cos \alpha = \frac{1}{2},$$
$$\beta = 2 \mathrm{arctg} \frac{1}{2}.$$

Задача 5 (ЛГУ, 1968). Установить зависимость между косинусом

50

Рис. 5.

ми углов α и β, которые образуют в правильной треугольной парамиде боковая грань с плоскостью основания и со смекной боковой грань.

Пусть (рис. 5) $(BCD) \perp [AO]$, $[AE] \perp [BD]$, $\hat{AEC} = \alpha$, $S_{\Delta BDC} = Q$, $S_{\Delta ABD} = S$. Тогда, проектируя грань ABD на грань BCD, получим равенство $Q = 3S\cos \alpha$, а проектируя грани BCD, ABC и ACD на грань ABD, получим равенство $S = Q\cos \alpha + 2S\cos \beta$. Из этих двух равенств находим исключую зависимость:
$$3\cos^2 \alpha + 2\cos \beta - 1 = 0.$$

Аналогично легко доказывается общая формула для правильной n-угольной парамиды:

$$\sin \frac{\pi}{n} \sin \alpha = \cos \frac{\beta}{2}.$$

Иногда применение формулы позволяет ortogonalной проекции является не только полезным, но и приводит к эффективному решению.

Задача 6 (МФТИ, 1967). В правильной четырехугольной усеченной парамиде проведено сечение через диagonали оснований и сечение, проходимое через сторону нижнего основания и промивоположную сторону верхнего основания. Узол между секущими плоскостями равен α. Наименование плоскостей пересекает основание $A'B'C'D'$ в серединах Q и N сторона $B'C'$ и $C'D'$ (рис. 7), откуда следует, что площадь проекции сечение $KPQNM$ на плоскость основания $A'B'C'D'$ равна $S_{A'B'QND'} = S_{A'B'C'D'} - S_{\Delta QC'N} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}(\text{cm}^2)$. Линейным углом двугранного угла QN будет угол $KLA'$, причем он конгруэнтен углу $KA'R$ (R — основание высоты $A'R$ парамиды $A'KPQNM$), откуда следует, что $|A'R| = |A'K|$ cos φ.

51

(Интересно заметить, что примыты A’КРQNM и КА’B’QND’ равновелики.)

У правания

1 (ЛПИ, 1975). Боковая поверхность правльной десятиугольной прямы равна S, а площадь основа равна Q. Найти объем прямы.

2 (Казан. ГУ, 1972). Площадь основа правльной треугольной прямы равна $\sqrt{13}$, а величины плоского угла при ее вершине в четыре раза больше величины угла между боковым ребром и основанием. Найти площадь боковой поверхности.

3 (МГУ, мехмат, 1973). Точки K и M являются серединами ребер AB и AC треугольной прямы DABC, $S_{\triangle ABC} = p$. Найти $S_{\triangle BCD}$, если $S_{\triangle DKM} = q$, а основа высоты прямы попадает в точку пересечения медиан основа ABC.

4. В основа примуговального параллелипеда лежит квадрат. Через его смежные стороны проведены диагональные сечения, образующие с плоскостью основа угол $\alpha$, а между собой — угол $\beta$. Доказать, что $\cos^2\alpha = \cos \beta$.

5. В треугольной прямы с площадью основа Q, площадью боковой поверхности S и суммой двумгранных углов при ребрах основа $3\alpha$ вершина проектируется в точку пересечения медиан основа. Доказать, что $Q \leq S \cos \alpha$.

(Продолжение. Начало см. с. 32, 43)

24, 29, 37; И. Искендеров (с. Нюснос НАССР) 41; А. Исмаилова (Мингечур) 33; Ф. Кабыкацров (Алма-Ата) 22, 33, 37; А. Кадановский (Новосибирск) 37, 45; Л. Какаабдзе (Тбилис) 37; И. Калинин (Ленинград) 21—29, 37, 38, 39, a), 6); А. Калининский (Кишинев) 37; В. Кандаскалов (пос. Буча Киевской обл.) 33; А. Каплан (Сумгант) 37, 42, 45; В. Каплан (Киев) 22; А. Каранович (Целиноград) 31, 33; В. Каскевиц (д. Новый Двор Гродненской обл.) 22, 24; А. Кач (Ташкент) 22, 33, 37; А. Качуровский (Новосибирск) 31—33, 35, 37, 39, a), 6), 41, 42; А. Качавцев (Москва) 37; А. Керимов (Баку) 41, 42; А. Керимов (Москва) 37; И. Кехышивили (Тбилис) 44; И. Клапов (п. Калииновка Оренбургской обл.) 22, 23; В. Клижик (Москва) 21—29, 32, 33, 35, 37, 38, 40—45; С. Колпаков (р. п. Чернышковский Вологградской обл.) 41; М. Колво (НРБ) 24; В. Кононович (п. Телиханы Брестской обл.) 22; Л. Корельштейн (Москва) 21—30; А. Коротков (Ижевск) 37, 38, 41, 45; С. Корчанов (Ангарск) 22, 25, 26, 37, 39, a), 6), 44, 45; В. Костмусяк (Запорожье) 27, 31—33, 37, 38, 39, a), 6), 41, 42, 44; Л. Костюк (Киев) 26, 31, 33, 37, 42; А. Крейндлин (Москва) 26—28; Ф. Крис (Ташкент) 37; А. Кромих (Пермь) 31; О. Крухалов (с. Воскресен-ское Тульской обл.) 29, 33, 37; С. Крынин (с. Шаталовка Белгородской обл.) 33; С. Кузнецов (Ангарск) 33, 42; Е. Кузьмин (Череповец) 22, 32, 33, 42, 44, 45; А. Кулское (Донецк) 21, 26—29, 31—33, 35, 37, 38, 41, 42, 43, 6); Д. Купчинский (Павлодар) 33; А. Курилин (Москва) 37, 45; Е. Курилин (Череповец) 37; И. Куркиев (Грозный) 33, 41; А. Кучер (Донецк) 32, 42; А. Кучи (Днепропетровск) 26, 27; С. Лабазов (Краснодар) 33; С. Лавренченко (Москва) 21, 22, 27, 30, 31, 37, 41, 45; С. Лайденов (Брест) 33; Е. Лапин (Алма-Ата) 27, 29, 33, 37, 39, a); 6); А. Латмифуллин (п. Азнакаево ГАССР) 22; В. Латмивский (п. Давид-Gородок Брестской обл.) 22; Е. Лумельская (Пермь) 27, 28, 29, 37, 41; Л. Любенов (НРБ) 33; Д. Лодмирский (Киев) 37; А. Ляховец (Краснодар) 37; А. Мадоян (Ереван) 33; С. Майский (Москва) 24, 26, 29; Ю. Макаров (Караганда) 22, 26, 27, 31; Г. Мамедов (Баку) 21, 22, 27, 28, 29; М. Мамедов (Баку) 27; Т. Марьясина (Москва) 33; Г. Мацкович (пос. Сокол Сахалинской обл.) 22, 27; Е. Мельников (д. Касьяновка Ореновый обл.) 23; Г. Мех-

(Окончание см. с. 59)