Импульс тела и системы тел

52

Импульс тела и системы тела

Понятие импульса (количественная движения) было впервые введено в механику Ньютоном. Напомним, что под импульсом матерIALной мощи (мела) понимается векторная величины $p$, равная произведению массы тела на его скорость $*$:

$$p = mv.$$

Наряду с понятием импульса тела используется понятие импульса силы. Импульс силы специально обозначения не имеет. В частном случае, когда действующая на тело силы постояния, импульс силы по определению равен произведению силы на время ее действия: $\vec{F} \Delta t$. В общем случае, когда сила изменяется со временем $(\vec{F} = \vec{F}(t))$, импульс силы определяется как $\int_0^{\Delta t} \vec{F}(t) dt$.

Используя понятие импульса тела и импульса силы, первый и второй закон Ньютона можно сформулировать следующим образом.

Первый закон Ньютона: сущностьом системы отсечения, в котором сохраняется неизменным импульс тела, если на него не действуют другие тела или действующие другие тела компенсируются.

второй закон Ньютона: в инерциальных системах отсечения изменяется

*) Впрочем, развитие физики в XX века показало, что импульс является «самостояльным» понятием и не всегда может быть представлен как просто произведение массы тела на его скорость.

В отличие от привченной галилеевской формы второго закона: $ma = F$, «импульсная» форма этого закона позволяет применять его к задачам, связанным с движением тела переменной массы (например, ракет) и с движениями в области околосветовых скоростей (когда масса тела зависит от его скорости).

Подчерким, что импульс, приобретаемый телом, зависит не только от действующего на тело силы, но и от продолжительности ее действия. Это можно произвести на аппарате, на опите с выделенным листа бумаги из-под бутылки — мы оставим ее стоящей практическими неподвижно, если сделаем это рыбком (рис. 1). Сила треня скольжения, действующая на бутылку в течение очень малого промежутка времени, то есть небольший импульс силы, вызвает соответствующего малое изменение импульса бутылки.

Второй закон Ньютона (в «импульсной» форме) дает возможность по изменению импульса тела определить импульс силы, действующей на данное тело, и среднее значение силы за время ее действия. В качестве примера рассмотрим такую задачу.

Задача 1. Мячик массой 50 е ударляем в главную вертикальную стенку под углом 30° к ней, имея к моменту удара скорость 20 м/с, и упруто отражаемся. Определить среднюю силу, действующую на мячик во время

53

удара, если соударение мячка со стенкой длистя 0,02 с.

На мячик во время удара действуют две силы — сила $F$ реакции стенки (она перпендикулярна стенке, так как трения нет) и сила тяжести. Пренебрежем импульсом силы тяжести, полагая, что по абсолотной величины он много меньше импульса силы $F$ (это предположение мы подтвердим позже). Тогда при стокновении мячка со стенкой проекция его импульса на вертикальную ось $Y$ не изменится, а на горизонтальную ось $X$ — остanetся такой же по абсолотной величины, но изменит знак на противоположный. В результате, как видно из рисунка 2, импульс мячка изменится на величины $\Delta p$, причем $|\Delta p| = 2m|\vec{v}| \sin \alpha$.

Следовательно, со стороны стенки на мячик действует сила $F$ такая, что

$$|\vec{F}| = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{2m|\vec{v}| \sin \alpha}{\Delta t} = 50 \text{ H}.$$

По третьему закону Ньютона мячик действует на стенку с такой же по абсолотной величины силой.

Сравним теперь абсолотные значения импульсов сил $F$ и $mg$:

$$|\vec{F}| \Delta t = 1 \text{ H} \cdot \text{c}, m|\vec{g}| \Delta t = 0,01 \text{ H} \cdot \text{c}.$$

Мы видим, что $m|\vec{g}| \Delta t \ll |\vec{F}| \Delta t$, и импульсом силы тяжести действительно можно пренебреть.

Импульс замечательен тем, что под действием одной и той же силы он изменяется одинаково у всех тел, независяимо от их массы, если только

Рис. 2.

время действия силы одинаково. Разберем следующее задачу.

Задача 2. Две частицы массами $m$ и $2m$ движутся во взаимно перпендикулярных направлениях со скоростью соответствующего $2v$ и $v$ (рис. 3). На частицы начинают действовать и направление скорости частицы массой $2m$ в момент времени, когда скорость частицы массой $m$ стала макой, как показано пунктиром: $a)$ на рисунке 3, $a$; $b)$ на рисунке 3, $b$.

Изменение импульсов обиха частиц одного и то же: на них одинаковое время действования одинаковые силы. В случае $a)$ модuly изменения импульса первого частицы равен

$$|\Delta p| = 2m|\vec{v}| - (-2m|\vec{v}|) = 4m|\vec{v}|.$$

Вектор $\Delta p$ направлен горизонтально (рис. 4, $a$). Так же меняется и импульс второй частицы. Поэтому модель импульса второй частицы будет равен

$$\sqrt{(4m|\vec{v}|)^2 + (2m|\vec{v}|)^2} = 2\sqrt{5}m|\vec{v}|,$$

модуль скорости равен $\sqrt{5}|\vec{v}|$, а угол $\alpha = \arctg \frac{4m|\vec{v}|}{2m|\vec{v}|} = \arctg 2.$

54

Аналогично найдем, что в случае 6) модель изменения импульса первого частицы равен $2\sqrt{5}m|\vec{v}|$ (рис. 4, 6). Модуль импульса второй частицы становится $2\sqrt{5}m|\vec{v}|$ (это не трудно найти, воспользовавшись теоремой косинусов), модуль скорости этой частицы равен $\sqrt{5}|\vec{v}|$ и угол $\beta = \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}$ (согласно теореме синусов).

Когда мы переходим к системе взаимодействующих тел (частиц), то оказывается, что полный импульс системы — геометрическая сумма импульсов взаимодействующих тел — обладает замененным свойством сохраняться во времени. Этот закон сохранения импульса является прямым следствием второго и третього законов Ньютона. В учебнике «Физика 8» этот закон выведен для случая двух взаимодействующих тел, образующих замкнутую систему (эти тела не взаимодействуют ни с какими другими телами). Легко обобщить этот вывод на замкнутую систему, состоящую из произвольного числа $n$ тел. Показем это.

Согласно второму закону Ньютона изменение импульса $i$-го тела системы за малый промежуток времени $\Delta t$ равно сумме импульсов сил взаимодействия его со всеми других телами системы:

$$\Delta p_i = \sum_{k=1}^{n} \vec{F}_{ik} \Delta t.$$

Изменение полного импульса системы $\Delta p$ есть сумма изменений импульсов, составляющих систему тел: $\Delta p = \sum_{i=1}^{n} \Delta p_i$ и, по второму закону Ньютона, равно сумме импульсов всех внутренних сил системы:

$$\Delta p = \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \vec{F}_{ik} \Delta t.$$

В соответствии с третьим законом Ньютона силы взаимодействия между телами системы попарно одинаковы по абсолютиной величины и противно положны по направлению: $\vec{F}_{ik} = -\vec{F}_{ki}$. Поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю, и значит, $\Delta p = \sum_{i=1}^{n} \Delta p_i = 0$.

Не если изменение некоторой величины за произвольный малый промежуток времени $\Delta t$ равно нулю, то сама эта величина неизменна во времени:

$$\vec{p} = \sum_{i=1}^{n} \vec{p}_i = \text{const.}$$

Таким образом, изменение импульса любое из мел, составляющих замкнутую систему, компенсируется промиоположным изменением в других частях системы. Инными словами, импульсы мел замкнутой системы могут как удовлетворяются, но сумма их остается постоянной во времени.

Если же система не замкнута, то есть на тела системы действуют не только внутренние, но и внешние силы, то, рассуждая подобным образом, приdem к выводу, что приращение полного импульса системы за промежуток времени $\Delta t$ будет равно сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени:

$$\Delta p = \sum F_{\text{внешш}} \Delta t.$$

Импульс системы может изменить молко внешние силы.

Если $\sum F_{\text{внешш}} = 0$, то незамкнутая система ведет себя подобно замкнутой, и к ней применим закон сохранения импульса.

Рассмотрим теперь несколько конкретичных задач.

Задча 3. Орудие массы $m$ сокальзывает по главной наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. В момент, когда скорость ордия равна $v$, производят выстрел, в результате которого ордие оставляется, а вилемевший в горизонтом направленной снаряд «уносим» импульс $\vec{p}$ (рис. 5). Продолжимельность выстрел равна $t$.

Каково среднее за время т значение $\vec{R}_{cp}$ силы реакции со стороны наклонной плоскости?

55

Рис. 5.

Начальный импульс системы телорудие — снаряд равен $mv$, конечный импульс равен $p$. Рассматриваемая система не замкнута: за время $\tau$ она получает приращение импульса $p-mv$. Изменение импульса системы обусловлено действием двух внешних сил: силы реакции $\vec{R}_{cp}$ (перpendикулярной наклонной плоскости) и силы тяжестии $mg$, поэтому записать

$$\vec{p}-mv=\vec{R}_{cp}\tau+mg\tau.$$

Представим это соответствие графически (рис. 6). Из рисунка сразу видно, что искомое значение $\vec{R}_{cp}$ определяется формулой

$$|\vec{R}_{cp}| \tau=|\vec{p}| \sin \alpha+m|\vec{g}| \cos \alpha.$$

Импульс — величина векторная, поэтому закон сохранения импульса можно применять к каждой из его проекций на оси координат. Иначе говоря, если сохраняется $\vec{p}$, то независимо сохранются $p_x$, $p_y$ и $p_z$ (если задача трехмерная).

В случае, когда сумма внешних сил не равна нулю, но проекция этой суммы на некоторое направление — нуль, проекция полного импульса на это же направление сохраняется неизменной. Например, при движении системы в поле силы тяжестии сохранения проекция ее импульса на любое горизонтальное направление.

Задание 4. Горизонтальное легтица пуля попадаем в деревянный брусок, подвешенный на очень длинном шнуре, и застреваем в бруске, сообщив ему скорость $|\vec{u}|=0,5$ м/c. Определить скорость пуля перед ударом. Масса пуля $m=15$ e, масса бруска $M=6$ ке.

Торможение пуля в бруске — сложный процесс, но для решения задачи нет никакой необходимости в его деталии. Так как в направлении скорости пуля до удара и скорости бруска после застрева пуля (подвес очень длинный, поэтому скорость бруска горизонтальная) не действуют внешние силы, то можно применить закон сохранения импульса:

$$mv=(m+M)u.$$

Отсюда скорость пуля

$$\vec{v}=\frac{(M+m)\vec{u}}{m}; |\vec{v}| \approx 200 \text{ m/c}.$$

В результате условия — в условиях земного прияжения — не существует замкнутых систем, если не включать в них Землю. Однако, если взаимодействие между телами системы много сильнее, чем их взаимодействие с Землей, то можно с большой точностью применять закон сохранения импульса. Так можно поступать, например, при всех кратковременных процесах: взрывах, столкновения и т.п. (см. например, задачу 1).

Задание 5. Третья ступень ракеты состоит из ракеты-носимуля массой $m_p=500$ ке и головного конуса массой $m_k=10$ ке. Между ними помещена скатная пружина. При использовании Земле пружина сообщила конусу скорость $|\vec{v}_{отн}|=5,1$ м/c по отношению к ракете-носимеле. Каждый будум скорости конуса $|\vec{v}_k|$ и ракете-носимеле $|\vec{v}_p|$, если их отдел

56

ленице произойдем на орбите при движении со скоростью $|\vec{v}| = 8000$ м/с?

Согласно закону сохранения импульса
$$\left(m_p + m_k\right)\vec{v} = m_p\vec{v}_p + m_k\vec{v}_k.$$
Кроме того,
$$\vec{v}_k - \vec{v}_p = v_{0TH}.$$
Из этих двух соотношений получим
$$\left|\vec{v}_k\right| = \left|\vec{v}\right| + \frac{m_p}{m_k + m_p} \left|\vec{v}_{0TH}\right| = 8005 \text{ м/с},$$
$$\left|\vec{v}_p\right| = \left|\vec{v}_k\right| - \left|\vec{v}_{0TH}\right| = 7999.9 \text{ м/с}.$$
Эту задачу можно решать и в системе отчета, движущейся со скоростью $v$ в направлении полета. Заметим в связи с этим, что если импульс сохраняется в одной инерциальной системе отчета, то он сохраняется и в любой другой инерциальной системе отчета.

Закон сохранения импульса лежит в основе реактивного движения. Струя газа, вырывающаяся из ракеты, уносит импульс. Этот импульс должен быть компенсирован таким же по модулю изменением импульса оставшейся части системы ракета-газ.

Задание 6. Из ракеты массой $M$ выбрасываются продуктмы сортация порциями одной и той же массы $m$ со скоростью $u$ относительно ракеты. Пренебрегая действием силы тяжести, определям скорость ракеты, который она достигает после вылета $n$-й порции.

Пусть $\vec{v}_1$ — скорость ракеты относительно Земли после выброса 1-й порции газа. По закону сохранения импульса
$$\left(M - m\right)\vec{v}_1 + m\left(u + \vec{v}_1\right) = 0,$$
где $\vec{u} + \vec{v}_1$ — скорость первой порции газа относительно Земли в момент разделения системы ракета-газ, когда ракету уже прибрела скорость $\vec{v}_1$. Отсюда
$$\vec{v}_1 = -\frac{m}{M}\vec{u}.$$
Найдем теперь скорость $\vec{v}_2$ ракеты после вылета второй порции. В системе отчета, движущейся со скоростью $\vec{v}_1$, пакета перед вылетом второй порции неподвижна, а после выброса прибретает скорость $\vec{v}_2$. Воспользовавшись предыдущего формулой и сделав в ней замену $M \rightarrow M - m$, $\vec{v}_1 - \vec{v}_2$, получим
$$\vec{v}_2' = -\frac{mu}{M - m}.$$
Тогда $\vec{v}_2$ будет равно
$$\vec{v}_2 = \vec{v}_2' + \vec{v}_1 = -mu \left(\frac{1}{M} + \frac{1}{M - m}\right).$$
Продолжая этот процесс дальней, нетрудно получить
$$\vec{v}_n = -mu \left(\frac{1}{M} + \frac{1}{M - m} + \dots + \frac{1}{M - (n - 1)m}\right).$$
Закону сохранения импульса можно придать другую форму, упрощаюшую решение многохзадач, если ввести понятие центра масс (центра инерции) системы. Koординаты центра масс (точки $c$) по определению связанных с массами и координатами частиц, составляющих систему, следует соотношениями:

$$x_c = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \dots + m_nx_n}{m_1 + m_2 + \dots + m_n} = \sum_{i=1}^{n} m_i x_i$$
$$y_c = \sum_{i=1}^{n} m_i y_i$$
$$z_c = \sum_{i=1}^{n} m_i z_i.$$

Следует заметить, что центр масс системы в однородном поле тяжестестия совпадает с центром тяжестестия.

Для выяснения физического смысл центра масс вычислим его скорость $\vec{v}_c$, а точнее, проекции этой скорости. По определению
$$v_{cx} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x_c}{\Delta t}.$$
В этой формуле
$$\Delta x_c = \frac{\sum m_i \Delta x_i}{m} \frac{\Delta x_c}{\Delta t} = \frac{\sum m_i \frac{\Delta x_i}{\Delta t}}{m},$$

57

Рис. 7.

позтому

$$v_{cx} = \frac{\sum m_i \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x_i}{\Delta t}}{m} = \frac{\sum m_i v_{xi}}{m} = \frac{p_x}{m}.$$

Точно так же найдем, что

$$v_{cy} = \frac{p_y}{m} \text{ и } v_{cz} = \frac{p_z}{m}.$$

Отсюда следует, что

$$\vec{v}_c = \frac{\vec{p}}{m}, \text{ или } \vec{p} = m\vec{v}_c$$

— полный импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

Центр масс (центр инерции) системы, таким образом, прибретает смысл точки, скорость которого равна скорости движения системы как целого. Если $\vec{v}_c = 0$, то система как целое поконтся, хотя при этом тела системы относительно центра инерции могут движаться произвольным образом.

С помощью формулы $\vec{p} = m\vec{v}_c$ закон сохранения импульса может быть формулирован так: центр масс замкнутой системы либо движется при молинейно и равномерно, либо остается неподвижным. Если система не замкнута, то можно показать, что

$$\vec{m}_c = \sum F_{\text{внеш}}$$

— ускорение центра инерции определяя

Рис. 8.

емся равнодействующей всех внешних сил, приложенных к системе.

Рассмотрим также задачи.

Задча 7. На концу однородной пламформы длиной $l$ находится два целевека, массы которых $m_1$ и $m_2$ (рис. 7). Первый процел до середины пламформы. На какое расстояние x надо переместиться по пламформе второму целевеку, чтобы мележка вернулась на прежнее место? Найти условия, при котором задача имеет решение.

Найдем координаты центра масс системы в начальной и конечный моменты и приравняем их (поскольку центр масс остался на том же месте). Причем за начало координат точки, где в начальной моментах находится целевек массой $m_1$. Тогда

$$\frac{m_2 l + M l/2}{m_1 + m_2 + M} = \frac{m_1 l/2 + m_2 (l-x) + M l/2}{m_1 + m_2 + M}$$

(здесь $M$ — масса пламформы). Отсюда

$$x = \frac{m_1 l}{2m_2}.$$

Очевидно, что если $m_1 > 2m_2$, то $x > l$ — задча теряет смысл.

Задча 8. На нити, перекиниут через неверсный блок, подвешены два груза, массы которых $m_1$ и $m_2$ (рис. 8). Найти ускорение центра масс этой системы, если $m_1 > m_2$.

58

Система, состоящая из грузов, ниги и блока, незамкнутая. Извне на систему действуют силы тяжестни грузов $m_1g$ и $m_2g$ и сила, приложенная к блоку со стороны подвеса, равная удвоенной силе натяжения ниги $T$ (см. рис. 8). Напишем уравнение движения системы в проекциях на вертикальную ось $Y$, направленную вниз:

$$\left(m_1 + m_2\right)a_c = \left(m_1 + m_2\right)\left|g\right| - 2\left|T\right|.$$

Силу $T$ можно найти, написав уравнение движения для каждой груза в отдельности (учитем при этом, что $a_1 = -a_2 = a$):

$$m_1a = m_1\left|g\right| - \left|T\right|,$$
$$-m_2a = m_2\left|g\right| - \left|T\right|,$$

откуда

$$a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\left|g\right|,$$
$$\left|T\right| = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}\left|g\right|.$$

Подставив полученное значение $\left|T\right|$ в нашей исходное уравнение, найдем, что

$$a_c = \left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right)^2\left|g\right|.$$

Задачу можно решить и по-другуму. Непосредственно из определения центра масс следует, что

$$\vec{a}_c = \frac{m_1a_1 + m_2a_2}{m_1 + m_2}$$

(здесь $\vec{a}_c$ — ускорение центра масс, $a_1$ и $a_2$ — ускорения грузов $m_1$ и $m_2$ соответственно), или в проекции.

Рис. 9.

цяях на ось $Y$:

$$a_c = \frac{m_1a_1 + m_2a_2}{m_1 + m_2}.$$

Учитывая, что

$$a_1 = -a_2 = a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\left|g\right|,$$

получим

$$a_c = \left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right)^2\left|g\right|.$$

У пряжения

1. Два человека стоит на коньках на расстоянии $l$ друг от друга. Один из них бросает мяч массы $m$, другой подхватывает его через промежуток времени $t$. С какой скоростью нанитет скользывать человек, бросавший мяч, если его масса $M$?

2. По клину с углом при основании $\alpha$, который может дивгаться по гладкому горизонтальному столу, движется заводной и рушечный автоматным с постоянной по относительной $u$. Как велика скорость клина и чему равна сила давления автоматила на клин? Масса клина $M$, автоматила $m$. Автомобиль нанитет движения, когда клин покопился.

3. Гимнаст массой $M$, имея при себе груз массой $m$, прыгает под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$. В момент, когда им достигут наибольшая высота, он бросает груз назад с горизонтальной скоростью $u$ относительно себя. На сколько увееличлась дальность прыжка от бросания груза?

4. Снаряд выброшен орудием с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. В верхней точке своей параболической траектории снаряд разрывается на два осолка с массами $m_1$ и $m_2$. Осколок массой $m_1$ после взрыва падает вертикально, имея начальную скорость $u$. Начины уравнение движения второго осолка.

5. Лодка массой $M$ неподвижно стоит в озере. На корме и на носу лодки на расстоянии $l$ друг от друга находятся рыболовы массами $m_1$ и $m_2$ ($m_1 > m_2$). Рыболовы меняются местами. На сколько перемещается при этом лодка? Сопротивлением воды пренебрежить.

6. На краю покоящого плота массой $M$ стоит $n$ мальчиков, масса каждой из которых равна $m$. Начины скорость плота после того, как мальчики спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью $u$ относительно плота: а) одновременно; б) поочеренно. В каком случае скорость плота будет больше? Сопротивлением воды пренебрежить.

7. На тележке стоит два бака, соединенных между собой трубкой с краном. Один из них наполнен водой (рис. 9). При открывании крана вода переливается в другой бак. Описать характер движения тележки.