Список читателей, приславших правильные решения

32

чем два комплекта оценок различны, если для неокоторого $i : 1 \leq i \leq n$ число $i$-х мест в одном комплекта не равно числу $i$-х мест в другом комплекта.

У пряжение 5. Доказать, что если сумма мест фигуриста не превыходит 20, то он занимает место не ниже четырого.

У пряжение 6. Для любого $k : 4 \leq k < n$ доказать, что если сумма мест фигуриста не превыходит $k + 16$ и в его комплекта оценок есть места больше $k$-го, то он занимает место не ниже $k$-го.

Докажем методом математической индукции, что при $k : 4 \leq k < n$ сумма мест, не превыходит $k + 16$, гарантирует фигуристу место не ниже $k$-го. Отсюда и из (1) следует $\alpha_k = k + 16$.

Базис индукции. $k = 4$ — вытекает из упражнения 5.

Иndукционный шаг. Предположим, что при $l : 4 \leq l < n - 1$ сумма мест, не превыходит $l + 16$, гарантирует фигуристу место не ниже $l$-го. Докажем, что тогда сумма мест, не превыходит $l + 17$, гарантирует место не ниже $(l + 1)$-го. Допустим противное: фигурист $A$ имеет сумму мест, не превыходит $l + 17$, и место ниже $(l + 1)$-го. Из упражнения 6 вытекает, что в комплекта оценок фигуриста $A$ все места не превыходит $l + 1$. Но тогда и в комплекта оценок фигуриста $B$, имеющего $(l + 1)$-е место, все места не превыходит $l + 1$. Из наших правил и условия задачи вытекает, что сумма мест фигуриста $B$ меньше суммы мест фигуриста $A$. Значит, она не превыходит $l + 16$. А это уже противоречит предположению индукции.

Наште утверждение доказано. Тем самым мы полностюдо решили нашу задачу.

Опустим в нашей задаче условия о том, что никакие два фигуриста не получили одинаковых сумм мест. Тогда несколько фигуристов могут иметь одинаковые комплекты оценок. В этом случае давайте считать, что все эти фигуристы занимают заняты четырое место, то будем считать, что они обладают четырое место, а остальные фигуристы претендуют не на пятое, а на шестое место.

У пряжение 7. Доказать, что как бы мы ни дополили Правило определения мест, при любом $4 \leq k < n$ фигурист, получивший сумму мест $k + 16$, может занять место ниже $k$-го.

Предположим, что сумма мест у фигуриста, занявшего первое место, не совпадает ни с одной из сумм мест, полученных остальных фигуристами.

Попробуйте установить, можно ли так при этом дополить Правило определения мест, чтобы все результаты нашей задачи остались без изменений.

Попробуйте также решить нашу задачу, если число арбитров на соревнованиях равно 2,7, $p$.

Список читателей, приславших правильные решения задач из «Задачника «Кванта»».

В этом номере мы публикуем фамилии тех, кто прислал правильные решения задач М421—М445 и Ф438—Ф447 (жирные цифры после фамилии — последние цифры номеров решенных задач).

Matematika

Большинство читателей, приславших нам письма, правильно решили решения: А. Аббасов (Джебральский р-н Аз. ССР) 27; Т. Абдулазабов (с. Ярашазмаляр ДАССР) 33; А. Азабаян (с. Балко Гр. ССР) 42; А. Азаев (с. Попровка Аз. ССР) 37; Р. Аззян (Баку) 26, 27, 31, 32, 37; А. Айнулин (Тюмень) 27, 29; В. Айриян (Раздан) 33, 37; М. Аймакалеев (Алма-Ата) 22, 33; А. Алексеев (Пермь) 22, 24, 26—28, 31—33, 35, 37, 39, а), 6), 41, 42; В. Алифанов (ст. Выселки Краснодарского края) 23, 26, 37; С. Антонов (Киев) 41, 42, 45; В. Аронов (Саратов) 21, 22, 24, 26, 27, 31—33, 35, 37, 38, 40; К. Архангельский (Херсон) 37, 44, 42; И. Архипов (Алма-Ата) 22, 23; А. Амабекян (Ереван) 33; Р. Аххамов (Стерлитамак) 22, 26, 37, 42, 45; К. Бакланов (Тула) 42; Е. Балакина (Москва) 31, 33; А. Балинский (с. Дубляны Львовской обл.) 37, 41, 42, 43, в); П. Баньковский (Уральск) 23, 41; П. Басараб (с. Ягановка Сумской обл.) 22; В. Батышрев (Москва) 22, 24, 26, 27, 29, 31, 33, 37, 38, 39, а), 6), 40—42, 44, 45; В. Бахтин (Воронеж) 22, 24, 25, 27, 28, 29; Ю. Баценко (с. Демидова Винницкой обл.) 29, 37,

(Продолжение см. с. 43)