Đường tiếp tuyến

18

V. Vasilov, I. Melnikov

Đường tiếp tuyến

“Tôi không biết thế giới nhìn tôi là ai, nhưng với chính tôi, tôi thấy mình như một cậu bé lang thang trên bờ biển và thỉnh thoảng tìm thấy một hòn đá nhẵn hơn, hay một chiếc vỏ sò đẹp hơn bình thường, trong khi trước mắt là đại dương chân chính bao la rộng lớn, còn nhiều điều chưa biết.”

Isaac Newton

Trong Hình 7, tiếp tuyến của đường tròn được định nghĩa là một đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường cong. Định nghĩa này mang tính chất riêng tư và không bộc lộ bản chất của vấn đề. Nếu chúng ta thử áp dụng nó cho parabol $y=x^2$, thì tại gốc cả hai trục tọa độ sẽ phù hợp với định nghĩa này; Trong khi đó, bằng trực giác, rõ ràng rằng trên thực tế chỉ có trục hoành độ mới được gọi là tiếp tuyến.

Bây giờ chúng ta đưa ra định nghĩa về tiếp tuyến của đồ thị hàm số. tọa độ của điểm tiếp tuyến $M_0=(x_0; y_0)$ được coi là cho: $x=x_0$, $y=y_0=f(x_0)$. Chúng ta hãy xem xét, ngoài điểm $M_0$, một điểm khác $M=(x; y)$ trên đường cong của chúng ta và vẽ một đường $(M_0M)$ - một cát tuyến. Khi điểm $M$ di chuyển dọc theo đường cong, cát tuyến sẽ tự nhiên thay đổi vị trí của nó. Nếu điểm $M$ hướng tới điểm $M_0$, thì có thể cát tuyến sẽ có xu hướng chiếm một vị trí nào đó, không phụ thuộc vào cách điểm $M$ tiếp cận điểm $M_0$ (Hình 1). Vị trí giới hạn này của cát tuyến (tất nhiên nếu nó tồn tại) là tiếp tuyến. Vì vậy, tiếp tuyến của đường cong $y=f(x)$ tại điểm $M_0=(x_0; f(x_0))$ được gọi là vị trí giới hạn *) cát tuyến $(M_0M)$, khi điểm $M$ có xu hướng dọc theo đường cong đến $M_0$.

Chúng ta hãy nhấn mạnh một lần nữa: định nghĩa của chúng ta về tiếp tuyến chứa giả định rằng tồn tại vị trí giới hạn của cát tuyến; không phải mọi hàm $y=f(x)$ đều có tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào trên đồ thị của nó. Hình 2, a, b biểu diễn đồ thị của các hàm số không có tiếp tuyến tại các điểm lệch, vì nếu vị trí giới hạn của cát tuyến đã tồn tại thì nó không phụ thuộc vào việc điểm $M$ có xu hướng tới điểm $M_0$ ở “trái” hay “phải”. Lưu ý rằng định nghĩa của chúng ta về tiếp tuyến không yêu cầu tiếp tuyến và đường cong chỉ có một điểm chung.

*) Vị trí giới hạn của cát tuyến (phương trình của nó sẽ là $y-f(x_0)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}(x-x_0)$) nên được hiểu là đường thẳng $y-f(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}(x-x_0)$.

20

Lập luận đơn giản với một sợi dây cho đầu bên trái của cung $AB$ và kết hợp các kết quả thu được với nhau, chúng ta sẽ dựng được sơ đồ tiếp tuyến tương ứng với cung $AB$ (Hình 7).

Nếu cung của một đường cong không lồi ở mọi nơi theo một hướng, nếu nó, giống như đường cong $AB$ trong Hình 8, có một điểm mà tại đó tiếp tuyến của đường cong đi từ bên này sang bên kia (điểm như vậy được gọi là điểm giao nhau), thì trong trường hợp này, nó có thể được chia bởi điểm này thành hai cung lồi. Nếu bây giờ chúng ta xây dựng các sơ đồ tiếp tuyến tương ứng với chúng cho từng cung này, sau đó “chắp” hình này lên hình khác (xem Hình 7, 9 và Hình 10 cuối cùng), thì chúng ta sẽ thu được sơ đồ tiếp tuyến cho toàn bộ cung.

Bài tập:

Đối với hàm $y=f(x)$, hãy dựng sơ đồ tiếp tuyến của đồ thị của nó.

Hàm $f$ để thực hiện nhiệm vụ thực hành toán học này có thể được lấy từ bảng bên dưới.

Bằng cách xây dựng sơ đồ cho tất cả các hàm của bảng này (với cả lớp hoặc theo các thành viên trong vòng tròn), bạn sẽ nhận được một tập bản đồ hoàn chỉnh về sơ đồ tiếp tuyến cho các hàm có dạng $y = \frac{a_1x^2 + b_1x + c_1}{a_2x^2 + b_2x + c_2}$).

Một mẫu của công việc được đưa ra trong Hình 11. Để chứng minh sơ đồ tiếp tuyến được xây dựng trong Hình 11, tất nhiên, chúng ta cần chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm $f$ tại điểm $A$ (điểm giao nhau) không cắt phần của đồ thị hàm $f$ tại $x \in ]1,3[$.

*) Một ví dụ về sơ đồ tiếp tuyến của các loại hàm khác được trình bày trên trang đầu tiên của trang bìa và trong Hình 12, bản phác thảo của nó do Larisa Konchenko, học sinh lớp 9 trường Vật lý và Toán học tại Đại học Tổng hợp Moscow đề xuất.