Căng thẳng, căng thẳng, tiềm năng

38

Điện áp, tiềm năng

Mỗi điểm của điện trường được đặc trưng bởi một đại lượng vectơ - cường độ trường. Điện áp trường $\vec{E}$ tại một điểm nhất định bằng lực tác dụng lên một điện tích dương thử nghiệm đặt tại điểm này và đơn vị tương đối của điện tích. Đây chính là đặc tính lực của điện trường.

Khi một điện tích di chuyển trong từ trường thì công được thực hiện. Trường tĩnh điện có một tính chất rất quan trọng - thế năng: công thực hiện để di chuyển một điện tích từ điểm này sang điểm khác trong trường không phụ thuộc vào hình dạng của quỹ đạo. Điều này cho phép chúng ta đưa ra khái niệm về điện áp (hoặc hiệu điện thế). Điện áp $U$ giữa hai điểm của điện trường *) bằng công do điện trường thực hiện để di chuyển một đơn vị điện tích dương từ điểm này sang điểm khác.

Không giống như lực căng xác định tại một điểm duy nhất, lực căng đặc trưng cho hai điểm của trường. Nếu bạn cố định một điểm, chọn điểm đó làm điểm bắt đầu của điểm cắt, thì bất kỳ điểm nào trong trường sẽ có một điện áp nhất định liên quan đến điểm đã chọn. nó đang bật

*) Khi dùng các từ “trường”, “điện trường” ở đây và trong phần tiếp theo chúng ta sẽ muốn nói đến một trường tĩnh điện, tức là một trường được tạo ra bởi các điện tích đứng yên.

lực căng được gọi là tiềm năng f. Rõ ràng, điểm bắt đầu của điểm cắt tương ứng với điện thế bằng 0. Thông thường, điện thế bằng 0 được gán cho một điểm cách xa điện tích do trường tạo ra vô cùng. Trong trường hợp này, điện thế f tại một điểm nào đó trong điện trường bằng công thực hiện bởi điện trường để dịch chuyển một điện tích dương trên một đơn vị từ điểm này đến vô cùng. Đây là đặc tính năng lượng của điện trường.

Đôi khi sẽ thuận tiện hơn khi xác định đại lượng vô hướng tại mỗi điểm—thế φ—hơn là đại lượng vectơ—độ căng $\vec{E}$. Đương nhiên, hai đại lượng này phải liên quan với nhau.

Đầu tiên chúng ta xét một điện trường đều. Điện áp $\vec{E}$ của nó giống nhau ở mọi điểm; đường sức và trường - đường thẳng song song (Hình 1). Hãy cùng tìm hiệu điện thế giữa các điểm $B$ và $D$. Thế năng $\varphi_B$ của một điểm $B$ bằng công thực hiện bởi một đơn vị di chuyển một điện tích từ điểm này đến vô cùng. Hình dạng của quỹ đạo không quan trọng khi tính công, vì vậy trước tiên chúng ta sẽ di chuyển điện tích dọc theo đoạn $BC$, sau đó dọc theo đoạn $CD$, rồi từ điểm $D$ đến vô cùng. Lực tác dụng lên một đơn vị điện tích từ điện trường bằng cường độ. Trên đoạn $BC$, công của lực này bằng $El$, trong đó $E$ là hình chiếu của vectơ lực căng lên đường lực, và $l$ là độ dài của đoạn $BC$. Trên đoạn $CD$ lực không sinh công vì nó vuông góc với chuyển vị. Cuối cùng, công do một đơn vị thực hiện để di chuyển một điện tích từ điểm $D$ đến vô cùng bằng thế năng $\varphi_D$. Do đó: $\varphi_B = El + \varphi_D$ hoặc đối với hiệu điện thế:

$$\varphi_B - \varphi_D = El.$$ (1)

Để công thức (1) cho dấu đúng của hiệu điện thế, giá trị $l$ phải được gán một dấu nhất định tùy thuộc vào vị trí của các điểm $B$ và $C$ trên đường trường. Chúng ta sẽ giả sử rằng $l$ là hình chiếu của vectơ $BD$ lên hướng của đường sức. Sau đó

39

dấu là dương nếu điểm $C$ nằm “thấp hơn” dọc theo đường trường so với điểm $B$ và âm trong trường hợp ngược lại. Đối với trường hợp trong Hình 1, $l > 0$, và hiệu điện thế là $\varphi_B - \varphi_D > 0$, tương ứng với sự giảm điện thế dọc theo đường sức điện trường ($\varphi_D < \varphi_B$).

Vì vậy, trong một điện trường đều có một mối quan hệ đơn giản giữa hướng và hiệu điện thế, được tính theo công thức (1).

Mối quan hệ giữa điện thế và hướng trong trường hợp điện trường không đều là gì? Trong trường như vậy, hướng của $\vec{E}$ thay đổi từ điểm $k$ của điểm. Để đơn giản cho việc tính toán, sự thay đổi hướng chỉ xảy ra theo một hướng sẽ lấy trục $OX$ (Hình 2). Khi đó hướng của trường $\vec{E}$ chỉ phụ thuộc vào tọa độ $x : \vec{E} = \vec{E}(x)$. Rõ ràng là trong những vùng không gian nhỏ có rất ít hướng và điện trường ở đó có thể được coi là gần như đều. Chúng ta hãy lấy các điểm gần nhau $B$ và $D$ và tìm ra sự khác biệt tiềm năng giữa chúng. Hãy sử dụng công thức (1). Thế năng, giống như hướng, chỉ phụ thuộc vào tọa độ $x^*$: $\varphi_B - \varphi_D =$

*) Vì $x$ ngẫu nhiên là đẳng thế nên khi một đơn vị điện tích chuyển động trong mặt phẳng này thì điện trường không tác dụng.

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

$= \varphi(x_B) - \varphi(x_D)$. Hình chiếu của vectơ $\vec{BD}$ lên trục $OX$ bằng hiệu giữa tọa độ của điểm $D$ và $B$: $l = x_D - x_B$. Do đó, đối với các điểm đóng $B$ và $D$, chúng ta thu được:

$$\varphi(x_B) - \varphi(x_D) \approx E(x_B) \times (x_D - x_B),$$

hoặc

$$E(x_B) \approx -\frac{\varphi(x_D) - \varphi(x_B)}{x_D - x_B}.$$

Để công thức (2) trở nên chính xác, cần hướng điểm $B$ đến điểm $D$ và tìm giới hạn mà vế phải hướng tới khi các điểm di chuyển cùng nhau vô thời hạn:

$$E(x_B) = -\lim_{x_D \to x_B} \frac{\varphi(x_D) - \varphi(x_B)}{x_D - x_B}.$$

Dễ dàng thấy rằng vế phải của công thức (3) là một điện thế tùy ý lấy dấu ngược lại. Như vậy, trong điện trường không đồng nhất, mối quan hệ giữa điện thế và hướng tại mỗi điểm như sau:

$$E(x) = -\varphi'(x).$$

Dấu trừ trong công thức (4) có nghĩa là điện thế giảm dọc theo đường sức điện: vì hình chiếu của hướng trên đường sức điện trường là $E(x) > 0$, $\varphi'(x) < 0$, nghĩa là điện thế giảm.

Nếu chúng ta hướng đồ thị phụ thuộc của $\varphi$ vào $x$, thì tiếp tuyến của góc nghiêng $\alpha$ của tiếp tuyến với đồ thị tại mỗi điểm sẽ bằng $\varphi'(x)$ tùy ý tại điểm này (Hình 3). Do đó, chúng ta có thể nói rằng hướng của điện trường được xác định bởi độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị thế năng.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số bài toán cụ thể.

Bài tập 1. Một quả cầu có bán kính $R$ có điện tích $Q$. Tìm sự phụ thuộc

40

căng và đặt ở khoảng cách r tính từ tâm quả cầu. Vẽ đồ thị.

Đầu tiên chúng ta hãy tìm hướng của trường. Không có điện trường bên trong quả cầu: tại $r < R$ $E = 0$. Bên ngoài quả cầu, hướng của trường giống như hướng của một điện tích Q đặt ở tâm quả cầu: tại $r > R$ hình chiếu của hướng theo hướng đã chọn tính từ tâm là $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$, trong đó $\varepsilon_0$ là hằng số điện. Trên bề mặt quả cầu, ở $r = R$, con lăn chịu một điện trường $\Delta E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R^2}$. Sự phụ thuộc của $E$ vào đồ họa $r$ được thể hiện trong Hình 4, a.

Độ lớn của chốt lăn $\Delta E$ có thể được biểu thị bằng mật độ điện tích bề mặt $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ (bằng điện tích trên một đơn vị diện tích bề mặt của quả cầu):

$$\Delta E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R^2} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}.$$

Lưu ý rằng đây là một đặc tính chung của điện trường: trên một bề mặt tích điện, hình chiếu của nó lên phương pháp tuyến luôn có hiện tượng cuộn qua $\Delta E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$, bất kể hình dạng của bề mặt.

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu xem điện thế $\varphi$ thay đổi như thế nào tùy thuộc vào $r$. Chúng ta đã biết rằng tại bất kỳ điểm nào, tiếp tuyến của góc nghiêng của tiếp tuyến với đồ thị thế năng phải trùng với giá trị hình chiếu của phương hướng (được lấy bằng dấu ngược lại). Tại $0 < r < R$ $E = 0$, và do đó tại tất cả các điểm này, tiếp tuyến tiềm năng của đồ thị phải nằm ngang. Điều này có nghĩa là trong phần $0 < r < R$ thế năng không thay đổi: $\varphi = const$.

Bên ngoài hình cầu, ở $r > R$, đạo hàm $\varphi'(r) = -E(r)$ âm và độ lớn của nó giảm theo khoảng cách $r$. Do đó, điện thế phải tiêu diệt theo khoảng cách, có xu hướng bằng 0 tại $r \to \infty$. Thật vậy, điểm mà chúng ta đang tìm kiếm điện thế càng ở xa thì càng ít công để chuyển một đơn vị điện tích từ điểm này đến vô cùng. Độ lớn của điện thế $\varphi$ tại $r > R$ giống như độ lớn của một điện tích chính xác đặt ở tâm quả cầu:

$$\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r}.$$

Một điện thế có thể chịu tác dụng của một chiếc chốt lăn trên bề mặt của một quả cầu, tức là ở $r = R$ không? Rõ ràng là không. Điện thế lăn sẽ biết rằng khi di chuyển một điện tích đơn vị giữa hai điểm hiển nhiên 1 và 2, điện trường sẽ thực hiện công hữu hạn: $\varphi_1 - \varphi_2 = E(R) \times (r_2 - r_1)$ phải duy trì hữu hạn ở $(r_2 - r_1) \to 0$, điều này là không thể. Như vậy, điện thế không gặp phải các chốt lăn.

Sự phụ thuộc của $\varphi$ vào $r$ được thể hiện ở Hình 4, b.

Bài tập 2. Một quả cầu có bán kính R được tích điện đều trong toàn bộ thể tích của nó. Tổng điện tích của quả cầu là Q. Vẽ đồ thị trên bề mặt của r theo tâm của quả cầu.

Một quả bóng như vậy có thể được hình dung như bao gồm một số lượng lớn các quả cầu mỏng mang điện, ném vào nhau. Mỗi quả cầu không tạo ra một trường bên trong nó mà ở bên ngoài nó tạo ra một trường giống hệt điện tích đặt ở tâm của nó. Do đó, bên ngoài quả bóng, ở $r > R$, độ định hướng giống như độ định hướng của trường của điện tích Q đặt ở tâm quả bóng:

$$E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}.$$

Hình 4.

41

Bên trong quả bóng, ở khoảng cách $r < R$, trường chỉ được tạo bởi các hình cầu có bán kính từ 0 đến $r$ (đối với hình cầu có bán kính lớn, điểm đang xét nằm bên trong chúng). Do đó, hướng ở khoảng cách $r$ tính từ tâm quả bóng giống như hướng của trường của điện tích chính xác $Q_r$ đặt tại tâm quả bóng, trong đó $Q_r$ là tổng điện tích của tất cả các quả cầu có bán kính từ 0 đến $r$, tức là điện tích của một quả cầu có bán kính $r$. Nếu một quả bóng có bán kính $R$ có điện tích $Q$ thì một quả bóng có bán kính $r$ sẽ có điện tích $Q_r = Q \frac{r^3}{R^3}$. Như vậy, bên trong quả bóng hướng của trường $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R^3} r$ là tuyến tính với khoảng cách.

Trên bề mặt quả bóng, tại điểm $r = R$, hướng không bị chấn động. Điều này phù hợp với quy luật chung, vì mặt phẳng điện tích bề mặt trong trường hợp này bằng 0: quả bóng được tích điện đều và một điện tích vô cùng nhỏ rơi trên một lớp bề mặt mỏng vô hạn.

Đồ thị của $E$ so với $r$ được thể hiện trong Hình 5, a.

Bây giờ chúng ta hãy vẽ đồ thị thế năng. Đạo hàm của thế năng $\varphi'(r) = -E(r)$ luôn âm ($E \ge 0$). Do đó, khi $r$ tăng lên, điện thế sẽ tiêu diệt một cách đơn điệu. Tại điểm $r = 0$ đạo hàm của thế bằng 0. Do đó, tiếp tuyến của đồ thị tại điểm này nằm ngang: tại điểm $r = 0$ thế năng có cực đại. Tại điểm $r = R$ cả thế năng và đạo hàm của nó đều không có bất kỳ bước nhảy nào. Nguyên tắc đầu tiên tuân theo quy tắc chung về thế năng; chúng ta đã thảo luận về điều thứ hai ở trên. Do đó, các đường cong mô tả sự phụ thuộc của điện thế vào khoảng cách tại $r < R$ và $r > R$ phải được liên hợp tại điểm $r = R$—chuyển tiếp trơn tru với nhau mà không bị đứt quãng. Tại $r \to \infty$ thế năng là $\varphi \to 0$. Sự phụ thuộc của $\varphi$ vào $r$ được trình bày ở Hình 5, b.

Bài tập 3. Hai mặt phẳng đặt song song với nhau một khoảng $d$ và được tích điện với mật độ điện tích bề mặt lần lượt là $\sigma_1$ và $\sigma_2$. Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của cường độ trường và đặt trên tọa độ $x$ (trục OX vuông góc với mặt phẳng). Khoảng cách giữa các trường hợp điện tích giống nhau (Hình 6, a) và điện tích khác nhau (Hình 7, a) trên các mặt phẳng.

Mỗi mặt phẳng tạo ra một điện trường đều ở cả hai phía của chính nó, hướng của nó là $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$. Sử dụng nguyên lý xếp chồng, đối với trường hợp các điện tích đơn lẻ, chúng ta có biểu đồ ở Hình 6, b, và đối với các điện tích khác nhau, có biểu đồ ở Hình 7, b. Việc tăng cường độ lại tương ứng với quy luật chung:

$$\Delta E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}.$$

Các đồ thị tương ứng về thế năng được thể hiện trên các Hình 6, c và 7, c. Trong các phần nhất định của sự phụ thuộc, điện thế trên tọa độ là tuyến tính, vì hướng của trường không đổi. Các nút thắt xuất hiện ở những nơi mà cường độ trường tăng vọt.

Lưu ý rằng trong điện thế này, điện thế không có xu hướng bằng 0 tại $x \to \infty$. Điều này rõ ràng là do mặt phẳng là vô hạn. Trong thực tế, kích thước của tấm thật luôn bị giới hạn; điều này làm cho điện thế giảm khi khoảng cách từ các tấm ngày càng tăng.

Bài tập 4. Hai mặt phẳng song song giống nhau có điện tích $+q$ và $-q$. Sự khác biệt thay đổi như thế nào?

42

điện thế U giữa các bản khi khoảng cách d giữa chúng tăng lên? Vẽ đồ thị của U theo d.

Miễn là khoảng cách giữa các bản nhỏ hơn đáng kể so với kích thước của chúng thì hệ thống như vậy có thể được coi là một tụ điện phẳng. Khi đó U = $\frac{q}{C} = \frac{q}{\varepsilon_0 S}$ là hướng của khoảng cách tuyến tính (đoạn đầu ở Hình 8). Điều này tương ứng với thực tế là hướng trường E = $\frac{U}{d}$ = const.

Ngay khi khoảng cách giữa các tấm trở nên tương đương với kích thước của các tấm, một điện trường sẽ xuất hiện bên ngoài không gian giữa các tấm. Khi đó cái gọi là hiệu ứng biên trở nên đáng kể và sự phụ thuộc của điện thế vào khoảng cách khá phức tạp. Tuy nhiên, rõ ràng về mặt chất lượng là, do trường ở khu vực giữa các tấm bị suy yếu nên hướng sẽ tăng chậm hơn so với quy luật tuyến tính (phần giữa trong Hình 8). Với sự gia tăng hơn nữa khoảng cách giữa các tấm, nó trở nên lớn hơn nhiều so với kích thước của chúng. Khi đó, mỗi tấm có thể được coi là một vật thể biệt lập và thế năng của nó là $\varphi = \frac{q}{C_0}$, trong đó $C_0$ là dung lượng của tấm mở rộng. Như vậy, ở những khoảng cách rất lớn, điện thế đặt không còn phụ thuộc vào khoảng cách giữa các bản (đồ thị U theo d ở Hình 8 có tiệm cận ngang).

Hiệu ứng cạnh thường trở nên đáng kể ở mức lời giải tĩnh điện bài toán, gắn liền với định luật bảo toàn năng lượng. Ví dụ, khoảng cách là phiên bản này của máy gia tốc electron:

Bài 5. Trong các bản tụ điện phẳng được tích điện tới

43

Hóa ra một máy gia tốc như vậy sẽ không hoạt động - hiệu suất biên không được tính đến. Bên ngoài tụ điện luôn có một điện trường yếu làm chậm electron khi nó chuyển động quanh vòng tròn. Công âm của trường trong trường hợp này hoàn toàn bằng công công dương khi gia tốc một electron trong tụ điện: công trong trường tĩnh điện không phụ thuộc vào hình dạng của quỹ đạo. Từ trường không thực hiện công (lực Lorentz vuông góc với tốc độ chuyển động của electron). Do đó, công tổng cộng do tất cả các lực tác dụng lên electron khi nó quay về điểm ban đầu sẽ bằng 0 và động năng của electron sẽ không thay đổi. Máy gia tốc sẽ không hoạt động.

Bài tập

1. Liệu có tồn tại một trường tĩnh điện trong đó các đường sức là những đường thẳng song song và giá trị tuyệt đối có hướng chỉ thay đổi theo hướng vuông góc với các đường sức (Hình 10)?

2. Hai quả cầu kim loại đồng tâm có bán kính $R_1$ và $R_2$ lần lượt có điện tích $Q_1$ và $Q_2$. Tìm hướng và thế năng của điện trường ở một khoảng cách tùy ý $r$ tính từ tâm quả cầu. Vẽ đồ thị của $E$ so với $r$ và $\varphi$ so với $r$. Hãy xem xét trường hợp phí giống và không giống. Đồ thị của trường hợp $Q_1 = -Q_2$ (tụ cầu) trông như thế nào?

3. Một điện tích điểm $q$ được bao quanh bởi một quả cầu kim loại có bán kính $R$ có điện tích $Q$. Tìm hướng của trường và điện thế ở khoảng cách tùy ý $r$ tính từ điện tích $q$, nếu nó ở tâm của quả cầu; vẽ đồ thị của $E$ so với $r$ và $\varphi$ so với $r$. Đồ thị thay đổi như thế nào nếu điện tích dịch chuyển khỏi tâm quả cầu? Giải tương tự bài toán đối với trường hợp thay quả cầu kim loại.

4. Một electron bay vào khoảng trống giữa hai bản của một tụ điện phẳng sao cho tốc độ của nó tạo thành một góc nhọn với phương của đường sức. Sau đó, khi di chuyển trong tụ sẽ giảm tốc độ và bay ra ngoài với tốc độ thấp hơn; động năng của nó sẽ giảm. Điều này có làm tăng năng lượng của tụ điện không?

5. Hai tụ điện giống nhau có công suất $C$, mỗi tụ điện được tích điện theo hướng $U$, còn tụ điện thứ hai không tích điện, được mắc song song. Tìm năng lượng của hệ trước và sau khi nối tụ điện. Tại sao những năng lượng này không bằng nhau?

6. Một điện tích điểm $q$ nằm bên ngoài một quả cầu kim loại không tích điện có bán kính $R$ và cách tâm của nó một khoảng $d$. Tìm thế năng của quả cầu.