Bài toán cho nghiên cứu

47

một điểm không phải là một đoạn). Từ đây ta có hệ thống
$$\begin{cases} -\frac{2}{3}x_0^3 + 2x_0^2 - 28 > 0, \\ x_0^2 - 4x_0 - 22 = -1. \end{cases}$$

Từ phương trình thứ hai, chúng ta tìm thấy $x_0 = 7$ hoặc $x_0 = -3$. Bất đẳng thức chỉ được thỏa mãn tại $x_0 = -3$, tương ứng với điểm $M_0$ (-3; 11).

Tìm một chức năng
Trong một số bài toán, người ta yêu cầu không phải tìm một điểm trên biểu đồ mà là tìm hàm tổng. Đây là một bài toán điển hình.
Ví dụ 7 (MEIS, 1977).
Tìm phương trình của parabol $y = x^2 + bx + c$ tiếp tuyến với đường thẳng $y = x$ tại điểm $M$ (1; 1).
Sẽ rất hữu ích khi định dạng lại Bài toán như sau: phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x) = x^2 + bx + c$ tại điểm $M$ (1; 1) có dạng $y = x$; tìm $b$ và $c$. Công thức này rõ ràng hơn có chứa hai điều kiện:

1. điểm $M$ (1; 1) nằm trên đồ thị hàm số $f(x) = x^2 + bx + c$;
2. $f'(1) = 1$ (vì đối với đường thẳng $y = x$ sẽ có $k = 1$).
   Từ đây, xét đến công thức $f'(x) = 2x + b$, ta thu được hệ
   $$\begin{cases} 1 + b + c = 1, \\ 2 + b = 1, \end{cases}$$
   từ đó $b = -1$, $c = 1$. (Đã giải được bài toán tương tự, sẽ rất hữu ích khi kiểm tra xem phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x) = x^2 - x + 1$ tại điểm $M$ (1; 1), nằm trên đồ thị của hàm số này, có dạng $y = x$)

Bài tập
1 (MIIGAIK, 1977). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
a) $f(x) = \cos x$ tại các điểm có hoành độ $x_1 = \pi/2$ và $x_2 = \pi$;
6) $f(x) = \sin x$ tại abscissa $x_0 = 0$.
2 (MEIS, 1977). Đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số $tg x$, vẽ ở gốc tọa độ, cắt trục hoành theo một góc bằng bao nhiêu?
3 Các tiếp tuyến của các đường cong $y = \sqrt{2x}$ và $y = x^2/2$, vẽ tại giao điểm của các đường cong này, cắt nhau ở góc nào?
4 (MINCH, 1977). Tại điểm nào tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x) = \frac{x+2}{x-2}$ tạo thành một góc $135^\circ$ với trục $Ox$?
5 (MISI, 1977). Viết phương trình tiếp tuyến của đường thẳng $y = x^2 - 4x + 5$ tại giao điểm của đường thẳng này với trục tọa độ.
6 Tại điểm nào thì tiếp tuyến của đường cong $y = x^2 - 4x + 3$
a) song song với trục $Ox$;
6) tạo thành một góc $45^\circ$ với trục $Ox$?
7 (MEIS, 1977). Tại điểm nào tiếp tuyến của parabol $y = x^2 - 7x + 3$ song song với đường thẳng $5x + y - 3 = 0$?
8 (MEIS, 1977). Tại điểm nào của đường cong $y^2 = 2x^3$ tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $4x - 3y + 2 = 0$?
9 (MISIS, 1977). Tìm diện tích hình bị giới hạn
a) đường cong $y = x^2 + 1$ và tiếp tuyến với đường cong $y = 2 - \ln x$ tại điểm có trục hoành $x = 1$;
6) đường cong $y = x^2 - x + 2$ và tiếp tuyến với đường cong $y = \ln x + 3$ tại điểm có hoành độ $x = 1$.
10 (MISI, 1977). Xác định $b$ và $c$ trong phương trình parabol $y = x^2 + bx + c$ nếu đường thẳng $y = 2x + 2$ chạm vào parabol tại điểm $M$ (2; 0).
11 (MISI, 1977). Tại điểm nào tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 9x + 8$ sẽ song song với bissertrix của góc tọa độ I và III?
12 (MISIS, 1977). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f(x) = \frac{1}{x^4} + 2$ tại điểm hoành độ $x = 1$.

Bài toán
Để nghiên cứu
Dưới đây là danh sách bài toán nhà hình học Leningrad nổi tiếng V. Zaledler và A. Ivanov. Các tác giả cũng như các biên tập viên của tạp chí «Kvant» chỉ biết phép phân tích lời giải, sử dụng tích của các phần tử hình học lời giải… nhưng chúng tôi chưa biết điều đó.
Bài tập. Hai hình tam giác trên một mặt phẳng có một đáy chung và các đỉnh $A, A'$ của chúng khác nhau và nằm trên cùng một cạnh của đáy. Đặt $C$ và $C'$ là tâm của các đường tròn nội tiếp trong các tam giác này. Chứng minh rằng khoảng cách giữa các đỉnh lớn hơn khoảng cách giữa tâm của các đường tròn nội tiếp: $|AA'| > |CC'|$.