Задача для исследования

47

точка — не отрезок). Отсюда получаем систему
$$\begin{cases} -\frac{2}{3}x_0^3 + 2x_0^2 - 28 > 0, \\ x_0^2 - 4x_0 - 22 = -1. \end{cases}$$

Из второго уравнения находим, что $x_0 = 7$ или $x_0 = -3$. Неравенство выполняется лишь при $x_0 = -3$, что соответствует точке $M_0$ (-3; 11).

Находение функции
В некоторых задачах предлагается найти даже не точку графика, а суму функцию. Вот типичная такая задача.
Пример 7 (МЭИС, 1977).
Найти уравнение параболи $y = x^2 + bx + c$, касающейся прямой $y = x$ в точке $M$ (1; 1).
Задачу полезно переформулировать так: уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 + bx + c$ в точке $M$ (1; 1) имеет вид $y = x$; найти $b$ и $c$. Такая формулировка уже более явно содержит два условия:

1. точка $M$ (1; 1) лежит на графике функции $f(x) = x^2 + bx + c$;
2. $f'(1) = 1$ (поскольку для прямой $y = x$ будет $k = 1$).
   Отсюда с учетом формулы $f'(x) = 2x + b$ получаем систему
   $$\begin{cases} 1 + b + c = 1, \\ 2 + b = 1, \end{cases}$$
   из которой $b = -1$, $c = 1$. (Решив подобную задачу, полезно проверить, что уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - x + 1$ в точке $M$ (1; 1), лежащей на графике этой функции, имеет вид $y = x$)

Уражнения
1 (МИИГАИК, 1977). Написать уравнение касательных к графику функции
a) $f(x) = \cos x$ в точках с абсциссами $x_1 = \pi/2$ и $x_2 = \pi$;
6) $f(x) = \sin x$ в точке с абсциссой $x_0 = 0$.
2 (МЭИС, 1977). Под каким углом касательная к графику функции $tg x$, проведенная в начале координат, пересекает ось абсцисс?
3 Под каким углом пересекаются касательные к кривым $y = \sqrt{2x}$ и $y = x^2/2$, проведенные в точке пересечения этих кривых?
4 (МИНХ, 1977). В какой точке касательная к графику функции $f(x) = \frac{x+2}{x-2}$ образует угол $135^\circ$ с осью $Ox$?
5 (МИСИ, 1977). Напишите уравнение касательной к линии $y = x^2 - 4x + 5$ в точке пересечения этой линии с осью ordinат.
6 В каких точках касательная к кривой $y = x^2 - 4x + 3$
a) параллельна оси $Ox$;
6) образует с осью $Ox$ угол $45^\circ$?
7 (МЭИС, 1977). В какой точке касательная к параболе $y = x^2 - 7x + 3$ параллельна прямой $5x + y - 3 = 0$?
8 (МЭИС, 1977). В какой точке кривой $y^2 = 2x^3$ касательная перpendикулярна прямой $4x - 3y + 2 = 0$?
9 (МИСИС, 1977). Найти площад фигуры, ограниченной
a) кривой $y = x^2 + 1$ и касательной к кривой $y = 2 - \ln x$ в точке с абсциссой $x = 1$;
6) кривой $y = x^2 - x + 2$ и касательной к кривой $y = \ln x + 3$ в точке с абсциссой $x = 1$.
10 (МИСИ, 1977). Определить $b$ и $c$ в уравнении парабoles $y = x^2 + bx + c$, если прямая $y = 2x + 2$ касается парабoles в точке $M$ (2; 0).
11 (МИСИ, 1977). В какой точке касательная к графику функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 9x + 8$ будет параллельна биссертриссе I и III координатных углов?
12 (МИСИС, 1977). Написать уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{1}{x^4} + 2$ в точке с абсциссой $x = 1$.

Задача
Для исследования
Ниже приведится задача известных ленинградских геометров В. Заледлера и А. Иванова. Авторы, так же как и редакция журнала «Квант», знают только анализческое решение, использующее произведение элементов-геометрической решение,… но оно нам неизвестно.
Задание. Два треугольника на плоскости имеют общие основание, а их вершины $A, A'$ различны и лежат по одному сторону от основания. Пусть $C$ и $C'$ — центры кругов, вписанных в эти треугольники. Докажите, что расстояние между вершинами больше, чем расстояние между центрами вписанных кругов: $|AA'| > |CC'|$.