В поисках определения площади поверхности

31

В понсках определения плошади поверхности

Определение плошади поверхности является одной из традиционно сложных тем школьной геометрии. Связано это с отсутствием достагоно простого обшено определения, которое охватывает бы по крайней мере все поверхности, изучаемые в школе: цилиндр, конус и сферу. В заменке рассматривается два подхода к таким определению и обсуждаются трудности, возникшие при этих подходах.

Все ли можно развернуть?

Проще всего определить и вычислить плошади поверхностей цилиндра и конуса — достаточно рассмотреть развертки этих поверхностей (см. «Геометрию 8», п. 127, 128). Однако определение плошади поверхности как плошади ее развертки не годится в качестве обшено определения просто потому, что поверхностей, которые можно было бы «развернуть», слишком мало. Мы обьясим, почему нельзя «развернуть» сферу; аналогичные рассудения применены и ко многим другими поверхностям врашшения.

Давайте точное определение развертки — дело довольно хлопотливое. Ясно, однако, что если бы удалось «развернуть» сферу, то, в частности, мы получили бы отображение $f$ какой-то достагоно маленькой «сферической шапочки» на части плоскости (рис. 1), при которомлина любой кривой $L$, лежащей на этой «шапочке», равняясь бы длине соответствующей ей кривой $f(L)$ на плоскости. В частности,лина $d(A, B)$ кратчайшей кривой, соединяющей точки $A$ и $B$ на сфере, должна равнять длине кратчайшей кривой, соединяющей точки $A'=f(A)$ и $B'=f(B)$ на плоскости, то есть длине отрезка $A'B'$:

$$d(A, B) = |A'B'|.$$

Можно доказать, что $d(A, B)$ есть длина меньше из двух других окружностей, проходящей через точки $A$ и $B$, определляемых этих точками, однако нам это не потребуется.

Рассмотрим множество $C$ точки $M$ сферы, для которых «сферическое расстояние» $d(M, P)$ от некоторой фиксированной точки $P$ равно фиксированному числу $R>0$. Очевидно, что если точки $M_1$ получается из точки $M$ повтором около диаметра сферы, проходящero через $P$, то $d(M_1,P)=d(M,P)$. Отсюда легко вывести (выведите!), что множество $C$ есть окружность. Ее центр $O$ совпадает с основанием перпендикулара, опу-

Рис. 1. Невозможно развертки сферы.

32

Рис. 2. Последовательность ломанных $l_n$ сходящихся к отрезку единчной длины (но не вписанных в него), длина каждой из которых равна $\sqrt{2}$.

шенного из любой точки $M \in C$ на радиус сферы, проходящий через точку $P$ (рис. 1); поэтому радиус этой окружности $r = |OM| < |MP|$. С другой стороны, $d(M,P)$ есть длина некоторой кривой, соединяющей $M$ и $P$, а отрезок $MP$ является кратчайшей из таких кривых; поэтому $|MP| \leq d(M,P) = R$. Следовательно, $r < R$. При развертке окружности $C$ перейдет в множество $C' = f(C)$ точек, удаленных от точки $f(P)$ на расстояние $R$, то есть в окружность радиуса $R$. Длина окружности $C$ равна $2\pi r$, а окружности $C' = 2\pi R > 2\pi r$. Это противоречит формулированному выше свойству сохранения длины, и, таким образом, развертка сферы невозможна.

Санор Шварца

Итак, развернуть поверхность, вообще говоря, невозможно; попытаться построить по-другому. Рассмотрим последовательность многогранных поверхностей $\Pi_n$, «сходящую» к данной поверхности $\Pi$. Допустим, что последовательность их площадей $S_n$ имеет предел $S$; тогда какется естественный приять число $S$ за площадь поверхности $\Pi^*$. Конечно, при этом нужно проявить осторожность, — ведь даже при определении длины кривой рассматривают не произвольные, а описанные ломанные (они соответствуют многогранным поверхностям), сходящие к кривой, инчае предел их длин будет зависеть от выбора последовательности ломанных (см. рисок 2 и задачу 3). Попробуем найти площадь поверхности цилиндра как предел площадей вписанных в него многогранных поверхностей. Поверхности эти определяим следующим образом.

Впишем в основание цилиндра правильный $n$-угольник; рассмотрим далее такой же $n$-угольник, расположенный над основанием на высоте $\frac{H}{k}$, где $H$ — высота цилиндра, $k$ — фиксированное натуральное число, и повернуть относительно первого $n$-угольника на угол $\frac{\pi}{n}$.

Продолжая такое построение, получим $(k+1) \cdot n$ точек — вершин $n$-угольников: соединним эти вершины ребрами, как показано на рисунке 3. В итоге образуется вписанная в цилиндр многогранная поверхность $\Pi(n,k)$, имеющая $nk$ конгруэнтных треугольных граней. Задавая различные по-

*) Именно такой подход применяется в старом учебнике геометрии А. П. Киселева при определении площадей поверхности цилиндра и конуса.

Рис. 3. «Санор Шварца» (П (6, 4)).