Производная и касательные

44

А. Виленкин

Производная и касательные

Хотя в школьном курсе математики касательной к графику функции посвящен только один пункт (см. «Алгебра и начала анализа», 9 класс, п. 52), в 1977 году на вступительных экзаменах вузы (по программе «А») предлагалось много задач, связанных с этой темой. Решение большиства из них основано на примом использования уравнения
$$y = f'(x_0) \cdot x + (f(x_0) - f'(x_0)) \cdot x_0$$
касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ (рис. 1). Более интересные задачи основаны на том, что угловой коэффициент $k$ касательной равен, с одной стороны, тангенсу угла $\varphi$ между касательной и осью абсцисс, а с другой — значению произвольной $f'(x_0)$. Расмотрим некоторые типы таких задач *).

Находение уравнения касательной

Пример 1 (МЭИС, 1977). Национальные уравнения касательных к графику функции $f(x) = 4 - x^2$ в точках пересечения этого точки, в которых $f = 0$, поэтому для нахождения $x_0$ надо решить уравнение $4 - x_0^2 = 0$. Затем для каждого значения $x_0$ можно стандартным образом написать уравнение касательной. Сделаем это, учитывая, что $f'(x) = -2x$.

а) $x_0 = 2$; $f(2) = 0$, $f'(2) = -4$, уравнение касательной $y = -4x + 8$;
б) $x_0 = -2$; $f(-2) = 0$, $f'(-2) = 4$, уравнение касательной $y = 4x + 8$.

Находение к и угловой

Пример 2 (МИСИ, 1977). Каждый образец с осью абсцисс касательная к параболе $y = x^2 - 4x - 17$, проверенная в моче с абсциссой $x_0 = 2,5$?

Здесь под углом прямой с осью $Ox$ подразумевается величина наванного угла, отсутствиваемой от оси $Ox$ к данной прямой против часовой стрелки (см. «Алгебра 6», п. 52, «Геометрия 8», п. 98 и «Алгебра и начала анализа», 10 класс, материалов для повторения, п. 8). Поскольку нам заданы $f$ и $x_0$, можно найти $k = f'(x_0)$, а по нему и искомый угол $\varphi$, так как тангенс угала, образуемого прямой с осью $Ox$, равен угловому коэффициенту этой прямой: $tg\varphi = k$, причем $\varphi = \arctg k$ при $k \geq 0$ и $\varphi = \pi + \arctg k$ при $k < 0$ (рис. 2).

В данном примере $f'(x) = 2x - 4$, $k = f'(2,5) = 1$, $tg\varphi = 1$, $\varphi = \pi/4$.

Пример 3. Наимену уравнения касательными к графику функции $f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 1$, проверены в моче с абсциссами $0$ и $1$.

Здесь решет не об угле прямой с осью $Ox$, а об угле двумя двумя прямыми. Поэтому напомним, что уравнение двух пересекающих прямых называют величиной меншшего из углов, определяемых этим прямым (см. «Геометрия 9», § 24), то есть угол $\alpha$ между двумя прямыми всегда лежит в пределах $0 \leq \alpha \leq \pi/2$.

В данном примере $f'(x) = 3x^2 - 8x + 3$ и для первой касательной имеем $x_0 = 0$, $f(0) = 1$, $f'(0) = 3$, $k_1 = tg\varphi_1 = 3$, $\varphi_1 = \arctg 3$, уравнение касательной $y = 3x + 1$, а для второй $x_0 = 1$, $f(1) = 1$, $f'(1) = -2$, $k_2 = tg\varphi_2 = -2$, $\varphi_2 = \pi - \arctg 2$, уравнение касательной $y = -2x + 3$. Затем, сделав примерный рисунок (рис. 3), легко найти угол $\alpha = \pi - \arctg 2 - \arctg 3$.

45

No, it’s not clear what you’re asking for. It looks like a list of equations or formulas.
Let’s re-read the first line: “Но является ли этот угол искомым, то есть верно ли, что $\alpha \leq \pi/2$, или надо быть угол $\pi - \alpha$? Может по-казать, что угол $\alpha$ — искомый (так как arctg $2 > \pi/4$ и arctg $3 > \pi/4$), но мы сейчас поступим иначе.”
The second line: “Выведем общую формулу для угла между прямыми $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$. Прежде всего заметим, что при параллельных переносах углы не меняются, поэтому искомый угол $\alpha$ равен углу между прямыми $y = k_1x$ и $y = k_2x$ (они получаются из данных переносом $\overrightarrow{CO}$). Пусть углы между этими прямыми и осью $Ox$ равны $\varphi_1$ и $\varphi_2$ (рис. 4). Тогда легко найти величины одного из углов со стороны на данных прямы: $|\varphi_2 - \varphi_1|$ (знаки модели пришлось поставить, так как мы не знаем, какой из углов $\varphi_2$, $\varphi_1$ больше). Искомым является тот из углов $|\varphi_2 - \varphi_1|$, $\pi - |\varphi_2 - \varphi_1|$, который не превосходит $\pi/2$.”
The third line: “Оказывается, удобно взять тангенсы этих углов, потому что по формулам приведения”
The fourth line: “tg ($\pi - |\varphi_2 - \varphi_1|$) = -tg|$\varphi_2 - \varphi_1$| (если $|\varphi_2 - \varphi_1| \neq \pi/2$) и если $|\varphi_2 - \varphi_1| > \pi/2$, то”
The fifth line: “tg $\alpha =$ tg ($\pi - |\varphi_2 - \varphi_1|$) =”
The sixth line: “= -tg|$\varphi_2 - \varphi_1$| = |tg|$\varphi_2 - \varphi_1$| |=”
The seventh line: “= |tg($\varphi_2 - \varphi_1$)|”
The eighth line: “(так как tg — нечетная функция); если $|\varphi_2 - \varphi_1| < \pi/2$, то”
The ninth line: “tg $\alpha =$ tg|$\varphi_2 - \varphi_1$|, что также равно |tg($\varphi_2 - \varphi_1$)|.”
The tenth line: “Таким образом, формула tg $\alpha$ = |tg($\varphi_2 - \varphi_1$)| верна во всех случаях. Вспомним формулу тангенса разности двух углов, мы получаем:”
The eleventh line: “tg $\alpha$ = |$\frac{k_2 - k_1}{1 + k_2k_1}$|.”
The twelfth line: “Заметим, что перепределularность двух прямы также легко обнаружить по их угловым коэффициентам: если $|\varphi_2 - \varphi_1| = \pi/2$, то $\varphi_2 = \varphi_1 + \pi/2$ или $\varphi_2 = \varphi_1 - \pi/2$, и в обо-их случае tg $\varphi_2 = -$ tg $\varphi_1 = -\frac{1}{tg\varphi_1}$”
The thirteenth line: “(если эти выражения определены), то есть tg $\varphi_2 \cdot$ tg $\varphi_1 = -1$, а в угловых коэффициентах”
The fourteenth line: “$k_2k_1 = -1$.”
The fifteenth line: “Это согласуется с тем, что в формуле для”
The sixteenth line: “уравнения с тем, что в формуле для”

Picture 1:
$$\begin{align*} y &= f(x) \\ M_0(x_0, f(x_0)) \end{align*}$$

Picture 2:
$$k > 0, \varphi = \arctg k; k < 0, \varphi = \pi + \arctg k.$$

Picture 3:
$$\begin{align*} y &= kx + b \\ M_1 \\ M_2 \end{align*}$$

Picture 4:
$$\begin{align*} y &= kx + b \\ M_1 \\ M_2 \end{align*}$$

46

tg α права часть не определена, если $k_1 k_2 + 1 = 0$.

Есть еще один случай, когда две прямые перpendикулярные — если уравнения этих прямых имеют вид $y = b$, $x = a$. В этом случае $k_1 = 0$, а $k_2$ не существует, так как прямая $x = a$ параллельна оси ordinат.

В примере 3 мы получаем:

$$\text{tg} \alpha = \left| \frac{-2 - 3}{1 - 6} \right| = 1, \quad \alpha = \frac{\pi}{4}.$$

Сравните этот ответ с приведенным выше!

Определение точки графика по касательной

В некоторых задачах в той или иной форме даются какие-либо условия на касательную, и предлагается найти точки касания.

Пример 4. Наимен на графике функции $f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 1$ мощу, касательная в котором образуется осью Ox уелл $\pi/4$.

Чтобы угол касательной с осью Ox был равен $\pi/4$, необходимо и достаточно, чтобы угловой коэффициент касательной был равен 1. Но $k = f'(x_0)$, значит, нам надо решить уравнение $f'(x_0) = 1$, то есть $9x_0^2 - 8x_0 = 1$. Из него по формуле корней квадратного уравнения $x_0 = 1$ или $x_0 = -1/9$. В этих точках $f(1) = 0$, $f(-1/9) = 230/243$. Значит, искомых точек две: $M_1(-1/9; 230/243)$ и $M_2(1; 0)$, что хорошего на графике данной функции (рис. 5).

Пример 5. В какой точке касательная к графику функции $f(x) = x^2$

a) параллельна прямой $2x - y + 1 = 0$;

b) перpendикулярна этой же прямой?

a) Как известно (см. «Алгебра 6», п. 52), две прямые параллельны, если угловые коэффициенты равны. Уравнение данной прямой можно записать в виде $y = 2x + 1$, откуда видно, что $k = 2$. Для касательной $k = f'(x_0)$, поэтому нам надо решить уравнение $f'(x_0) = 2$, то есть $2x_0 = 2$, откуда $x_0 = 1$. Значит, касательную надо проводить в точке $M_1(1; 1)$ (рис. 6). Проверка показывает, что уравнение этой касательной имеет вид $y = 2x - 1$.

6. Воспользуемся тем, что прямые $y = k_1 x + b_1$ и $y = k_2 x + b_2$ перpendикулярны, если $k_1 k_2 = -1$. В данном примере $k_1 = 2$, поэтому $k_2 = -1/k_1 = -1/2$, и из уравнения $2x_0 = -1/2$ находится $x_0 = -1/4$. Это соответствует точке $M_2(-1/4; 1/16)$, и уравнение касательной имеет вид $y = -1/2 x - 1/16$. «Геометрия» этого примера хорошо видна на рисунке 6.

Пример 6 (МГУ, ф-т психологии, 1977). На графике функции $\frac{1}{3} x^3 - 2x^2 - 22x - 28$ найти все точки также, что касательные к графику в этих точках пересекают положимые полуоси, отсекая от них отрезки равной длины.

Пусть касательная проводится в точке $M_0(x_0; f(x_0))$. Тогда ее уравнение имеет вид

$$y = \left(x_0^2 - 4x_0 - 22\right) \cdot x - \frac{2}{3} x_0^3 + 2x_0^2 - 28.$$

No прямая $y = kx + b$ пересекает положительные полуоси, отсекая отрезки равной длины, лишь при $k = -1$ и $b > 0$ (б≠ 0, поскольку