Часто ли степени двойки начинаются с единицы?

2

В. Болтянский

Часто ли степени двойки начинаются с единицей?

Постановка задачи
Средний степеней двойки вновь и вновь встречаются числа, начинающиеся с единицей. Как часто они встречаются? Иными словами, какова вероятность того, что число наудачу выбранное из чисел $2^1, 2^2, \ldots, 2^n$, начинается цифрой 1, равна $a_n/n$. Эта вероятность зависит от $n$, т. е. от того, сколько первых степеней двойки было взято. Предел

$$p_1 = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n},$$

(если он существует) и называется вероятностью того, что произвольное взятое натуральное число делится на 3?

1. Какова вероятность того, что произвольное взятая цифра десятичного разложения числа $\frac{161}{222}$ является пятеркой? Двойной?

2. Какова вероятность того, что произвольное взятое натуральное число является точным квадратом?

Вышение предела (1)

Среди двухначных чисел, являющихся степенями двойки,ровно одно (а именно, 16) начинается с единиццы. Среди трехначных степеней двойки тожеровно одно число (а именно, 128) начинается с единиццы. То же верно для четырехначных степеней двойки.

Вообще, при $k > 1$ среди $k$-значных чисел, являющихся степенями двойки, имеетровно одно, начинающееся цифрой 1. В самом деле, наименьшее $k$-значное число, являющееся степенью двойки, обязательно начинается с единиццы (иначе, разделив на 2, мы получили бы, что и предыдущего степень двойки является $k$-значным числом). Другого же числа, начинающегося цифрой 1, среди $k$-значных степеней двойки нет: следующая степень двойки будет иметь на первом месте цифру 2 или 3, следующая — еще большеую цифру, пока мы не получим $(k+1)$-значное число.

Из сказанного следует, что если число $2^n$ является $m$-значным, то среди чисел $2^1, 2^2, \dots, 2^n$ имеетровно $m-1$ чисел, начинающихся с единиццы, т. е. $a_n = m-1$. Но утверждение «число $2^n$ является $m$-значным» означает, что

$$10^{m-1} \leq 2^n < 10^m,$$

то есть

$$m-1 \leq n \lg 2 < m.$$

Вспоминая, что $a_n = m-1$, получаем

Рис. 1.

$$\lg 2 - \frac{1}{n} < \frac{a_n}{n} \leq \lg 2,$$

и, следовательно,

$$p_1 = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \lg 2 = 0,30103...$$

Итак, чуть больше 30% степеней двойки начинаются с единиццы.

3 адач и

4. Обозначим через $p_q$ вероятность того, что произвольно взятая степень двойки начинается цифрой $q^*$. Докажите равенства

$$p_2 + p_3 = p_1, \quad p_4 + p_5 = p_2, \quad p_6 + p_7 = p_3, \quad p_8 + p_9 = p_4.$$

5. Докажите, что $p_4 = 1-3 \lg 2 = 0,096...$

Как видите, степеней двойки начинаются цифрой 4 в три с лишним раза reже, чем цифрой 1 (рис. 2).

Рис. 2.

Общая задача

А какова вероятность того, что произвольно взятая степень данного наурального числа $l$ начинается (в десятичной записи) цифрой $q$?

Пусть число $l^n$ начинается в десятичной записи цифрой $q$, т. е.

$$q \cdot 10^m \leq l^n < (q+1) \cdot 10^m,$$

где $m$ — некоторое натуральное число. Разделив эти неравенства на $q \cdot 10^m$ и продолжарифмовав по основанию 10, получим:

$$0 \leq (n \lg l - \lg q) - m < \lg \frac{q+1}{q}.$$ (2)

Так как число, стоящее справа, меньше единиццы ($\frac{q+1}{q} = 1 + \frac{1}{q} \leq 2 < 10$), то неравенства (2) означает, что дробная часть числа $n \lg l - \lg q$ меньше $\lg \frac{q+1}{q}$ (напомним, что дробной часть)

*) Существование чисел $p_q$ вытекает из дальнейшего.

4

числа $x$ называется разность между числом $x$ и его целой частью: $\{x\} = x - [x]$, а целая часть $x$ это набольшее целое число, которое не превыходит $x$). Обратно, если дробная часть числа $n \lg l - \lg q$ меньше $\lg \frac{q+1}{q}$, т. е. если при некотором натуральном $m$ выполнены неравенства (2), то $l^n$ начинается в десятичной записи цифрой $q$. Таким образом, поставленная задача эквивалентна следующей: какова вероятность того, что для произвольного взятого намурального числа $n$

$$\{n \lg l - \lg q\} < \lg \frac{q+1}{q}$$

Решить эту последнюю задачу нам помогет

Теорема о дробных частях $x$. Пусть $\alpha, \beta$ — действительные числа, причем число $\alpha$ — irrationalное, и $I$ — некоторый промежуточок длины $h$, содержащийся в отрезке [0, 1]. Расстояние бесконечную последовательность $\alpha + \beta, 2\alpha + \beta, \dots, n\alpha + \beta, \dots$. Вероятность того, что произвольное взятое число этой последовательности имеет дробную часть, принадлежшую промежуточку $I$, равна $h$.

Доказательство этой теоремы мы приведем в конце статьи, а сейчас покажем, как она применяется к решению нашей задачи.

Прежде всего заметим, что если $l$ является степенью десяти, то все степени числа $l$ начинаются цифрой $1$, т. е. в этом случае задача тривиальная.

Если же $l$ не является степенью десяти, то число $\alpha = \lg l$ и разница он. По теореме о дробных частях вероятность того, что произвольное взятое число из последовательности $n \lg l - \lg q$ ($n = 1, 2, \dots$) имеет дробную часть, принадлежшую промежуточку $$\left[0, \lg \frac{q+1}{q}\right],$$ равна $$\lg \frac{q+1}{q}.$$ Это и дает решение рассмотренной выше задачи: вероятность того, что произвольное взятое намиральное число $l$ (не являющегося степенью десяти) начинается цифрой $q$, равна $$\lg \frac{q+1}{q}.$$

Обратите внимание на то, что эта вероятность не зависит от $l!$. Например, степени двойки и степени тройки одинаково часто (а именно, с вероятностью lg 2) начинаются цифрой 1.

3 адач и

6. Докажите, что если натуральное число $l$ не является степенью десяти, то число $\lg l$ играетально.

7. Вычислите вероятности $p_2, \dots, p_9$, указываемые в задаче 4. Дайте новое доказательство содержащихся там равенств.

8. Какова вероятность того, что произвольное взятая степень двойки начинается цифр 1000 (рис. 3)?

Рис. 3.

9. Какова вероятность того, что произвольное взятая степень числа $l$ (не являющегося степенью десяти) начинается комбинацией цифр $q_1 q_2 \dots q_r$ (где $q_1 \neq 0$)? Выведите отicioда, что степени числа $l$ могут начинаться либо комбинацией цифр $q_1 q_2 \dots q_r$ ($q_1 \neq 0$).

10. Докажите следующие утверждения:

a) Вероятность того, что у произвольного взятой степени числа $l$, не являющегося степенью десяти, вторая слава цифра есть 0, равна

$$p_0^{(2)} = \lg(11 \cdot 21 \cdot 31 \cdot \dots \cdot 91) - \lg(9!) - 9.$$

Указание: $p_0^{(2)}$ есть сумма вероятностей того, что произвольная степень числа $l$ начинается комбинациями 10, 20, …, 90.

6. Вероятность того, что у произвольного взятой степени числа $l$, не являющегося степенью десяти, $k$-я (слева) цифра есть $q$ (где $k > 1$, $q = 0, 1, \dots, 9$), равна:

$$p_k^{(2)} = \sum_{i=10}^{k-1} \lg \left(1 + \frac{1}{q+10i}\right).$$

11 *. Используя результат задачи 10, 6), докажите, что $\lim_{k \to \infty} p_k^{(2)} = 1/10$. Таким образом, при достаточно большом $k$ каждая из вероятностей $p_k^{(2)}, p_1^{(2)}, \dots, p_9^{(2)}$ как уголно малого отличается от 1/10.

6

член второй прогрессии, что модель их разности меньше 0,000001?

16. Лесом радуша е называем обедининие всех кругов радиуса $\varepsilon$, центрами которых служат точки с целочисленными координатами. Докажите, что если пряма образует с осью абсцисс угол $\varphi$, тангенс которого irrationalен, то она обязательно пересекает лес (как бы ни было мало $\varepsilon$; рис. 5).

Доказательство теоремы

Перейдем теперь к доказательству теоремы о дробных частях.

Возьем произвольное натуральное число $r$. Точки $\frac{1}{r}, \frac{2}{r}, \dots, \frac{r-1}{r}$ разбивают отрезок $[0, 1]$ на $r$ отрезков длины $\frac{1}{r}$. Изовем эти отрезки «клетками», а дробные части чисел $\alpha, 2\alpha, \dots, (r+1)\alpha$ называем «зайцами»*). Так как «клеток» $r$, а «зайцев» $r+1$, то найдется два «зайца», попавшие в одну клетку, т. е. найдется такие натуральные $p'$ и $p''$ ($p' > p''$), что дробные части чисел $p' \alpha$ и $p'' \alpha$ отличаются менее чем на $\frac{1}{r}$. Значит, $|(p' \alpha - p'' \alpha) - m| < \frac{1}{r}$ при некотором целом $m$. Положив $p = p' - p''$, мы можем написать: $|p \alpha - m| = \varepsilon$, где $\varepsilon < \frac{1}{r}$. Заметим, что $\varepsilon \neq 0$, так как $\alpha$ irrationalно. Обозначим через $s$ наименьшее натуральное число, превосходящие $\frac{1}{\varepsilon}$, т. е. $s - 1 \leqslant \frac{1}{\varepsilon} < s$.

Рассмотрим $s$ последовательных членов арифметической прогрессии с разностью $p \alpha$:

$$\gamma + p \alpha, \gamma + 2p \alpha, \dots, \gamma + sp \alpha,$$

(3) где $\gamma$ — некоторое действительное число. Обозначим дробные части чисел (3) через $x_1, x_2, \dots, x_s$. В силу равенства $|p \alpha - m| = \varepsilon$ числа $x_1, x_2, \dots, x_s$ отстояют друг от друга на $\varepsilon$ (рис. 6). В силу неравенств $\frac{1}{s} < \varepsilon \leqslant \frac{1}{s-1}$ рассстояние между точками $x_1$

*) Эта терминология связана с принципом Дирихле («Квант», 1977, № 2, с. 17). Теорему о дробных частях можно назвать «приицпом Дирихле для бесконечного числа зайцев».

Рис. 6.

и $x_s$ на рисунке 6, 6 меньше $\varepsilon$. Из скзаанного вытекает, что число точки $x_1, x_2, \dots, x_s$, попадающих на отрезок $l$ длины $h$, заключено между числом $\frac{h}{\varepsilon} - 1$ и $\frac{h}{\varepsilon} + 2$, т. е. между $sh-2$ и $sh+2$ (заметим, что $h < 1$).

Возьем теперь $ps$ последовательных членов $b_1, b_2, \dots, b_{ps}$ какой-либо арифметической прогрессии с разностью $\alpha$ (т. е. $b_{i+1} = b_i + \alpha$). Расположим их в виде таблицы представляется собой прогрессию вида (3). Так как число строк равно $p$, то количество тех членов расматриваемой прогрессии $b_1, b_2, \dots, b_{ps}$, дробные части которых попадают в промежуток $l$, заключено между числом $p (sh-2)$ и $p (sh+2)$.

Пусть, наконец, $n$ — произвольное натуральное число, большее $rps$. Разделив $n$ на $ps$ с остатком, получим $n = lps + q$, где $l \geqslant r$, $0 \leqslant q < ps$. Следовательно, из числа $\alpha + \beta, 2\alpha + \beta, \dots, n\alpha + \beta$ можно взять $l$ раз по $ps$ последовательных членов арифметической прогрессии с разностью $\alpha$,