Задачи М501—М505; Ф513—Ф517

22

Задачик
кванта

М501—М505; Ф513—Ф517

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшней школьной программы. Наноблее трудные задания отмечены чечены звездочкой. После формирования задачи мы обязаны указываем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задачи из этого номера можно присылать не позднее 1 июля 1978 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Кванта», «Задачик «Кванта». После адреса на конверте написите номера задач, решения которых вы посылаете, например: «M501, М502» или «Ф513». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просба присылать в отдельных конвертах. Задачи из разных номеров журнала присылайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте пометьте; «Задачик «Кванта», новая задача по физике «или»… новая задач по математике»).

В начале каждой письма просим указываать вашем имя, фамилию, номер школьи и класс, в котором вы учитесь.

М501. Выберем из последовательности степеней тройки:
3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, …
Все числа, начинающиеся с цифры 9; пусть эти числа (по порядку) $3^{f(1)}, 3^{f(2)}, 3^{f(3)}, ...$ (в частности, $f(1)=2$, так как первое из таких чисел $3^2=9$).
a) Найдите $f(2)$ и $f(3)$ — номера второго и третього тройка числа.
b) Докажите, что таких чисел бесконечно много.
b) * Докажите, что $f(n)$ при $n>1$ удовлетворяет условиям: (1) $f(n) - n$ нечетно,
(2) $\left| f(n) - \frac{n-1\lg 9}{1-\lg 9} \right| < 1$,
и определяется этим условием.
Э. Туркевич

М502. Даны три параллельных отрезка $AA_1, BB_1, CC_1$, не лежащих в одной плоскости. Пусть $M$ — точка пересечения плоскостей $ABC_1, BCA_1$ и $CAB_1$, а $M_1$ — точка пересечения плоскостей $A_1B_1C, B_1C_1A$ и $C_1A_1B$. Докажите, что отрезок $MM_1$ параллелен трех вершочных.

З. Скопец

М503. Набор из $2n+1$ чисел $a_0, a_1, a_2, ..., a_{2n}$ таков, что $a_h \geq \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}$ для всех $k=1,2, ...$.
…, $2n-1$. Докажите неравенство
$$\frac{a_1+a_3+a_5+\dots+a_{2n-1}}{n} \geq \frac{a_0+a_2+a_4+\dots+a_{2n}}{n+1}$$

и выясните, для каких наборов оно превращается в равенство.

B. Линкин

М504*. На шахматную доску $n \times n$ клеток уложено $k$ клеток размером $2 \times 1$, причем так, что положить $(k+1)$-ю клетку, не перемещая уже имеющих плинток, нельзя. Докажите, что свободных плинток

23

оста́льось не более чем
a) $(n^2+n+1)/3$;
b) $(n^2+2)/3$;
b) $n^2/3$.

Можно ли получить для некоторых $n$ еще более точную оценку?

В. Гроссман

М505*. a) Пусть на прямой помещены $n$ материалов точек одинаковой массы. Рассмотрим произвольный отрезок длины $2r$, содержащий хотя бы одну из этих точек, и найдем центр тяжесты $O_1$ всех попавших в него точек. Рассмотрим отрезок длины $2r$ с серединой $O_1$ и найдем центр тяжесты $O_2$ всех точек, которые попали в этот отрезок. Затем найдем центр тяжесты $O_3$ всех точек, попавших в отрезок длины $2r$ с серединой $O_2$, и т. д. Доказите, что, начиная с некоторого номера, все точки последовательности $O_1, O_2, O_3, \dots$ совпадают.

б) Пусть на плоскости помещены $n$ материалов точек. Рассмотрим произвольный круг радиуса $r$, содержащий хотя бы одну из этих точек; обозначим через $O_1$ центр тяжесты попавших в него точек и построим последовательность $O_1, O_2, O_3, \dots$, где $O_{n+1}$ — центр тяжесты точек, попавших в круг радиуса $r$ с центром $O_n$. Верно ли, что, начиная с некоторого номера, все точки этой последовательности совпадают?

П. Блесер, Г. Гальперин, М. Кельберт

Ф513. В ясный солнечный день, когда Солнце находится высоко над горизонтом, получите на гладком экране, например, на белой стене, тень отровного края куска картона. Если теперь поднести к листу картона пальц так, как это показано на рисунке 1, то на экране навстречу тени пальца из тени, отбрасываемой листом картона, высунется тень второго пальца. Проведите такой опит и обьясните его результат.

Г. Соловьянок

Ф514. Резино-кордное полотно изготовлено из прочных упругих нитей (корда), залитых мягкой эластичной резиной. Нити корда образуют угол $2\alpha$ друг с другом (рис. 2). Из такого полотна сделан круговой цилиндр, к торцам которого прикреплены металлические крышки (рис. 3). Внутрь цилиндра нагнетается воздуха. В опытах было замечено, что при нагнетании воздуха цилиндр принимает одну треть форму, показанных на рисунке 4. Форма зависит от величины угла $2\alpha$ между нитями. Каким значением угла соответствует каждая из форм?

Ф515. Легкийстержень длины $l$ закреплен в вертикальной плоскости на оси, проходящей через точку $O$, которая делитстержень в отношении 1:3.