Bài toán M606—M610; F618—F622

34

Bài toán

M606 — M610; F618 — F622

M606. Hàm $f$ sao cho với mọi $x$ thực

$$f(x+1) + f(x-1) = \sqrt{2}f(x).$$

Chứng minh rằng $f$ là hàm tuần hoàn.

E. Turkevich

M607. a) Cắt hình vuông thành các hình thang bằng nhau.

b) Cắt một tam giác vuông đều thành hình thang đều.

c) Chứng minh rằng mọi đa giác đều có thể cắt thành những hình thang cách đều nhau.

V. Lev

M608. Trên giấy ca-rô (cạnh hình vuông 1) vẽ một $n$-giác, tất cả các cạnh của nó nằm trên các đường lưới và có chiều dài lẻ.

a) Chứng minh rằng $n$ chia hết cho 4.

b)* Chứng minh rằng với $n=100$ diện tích của $n$-giác này phải là số lẻ. Tìm hiểu xem tính chẵn lẻ của khu vực đối với $n$ khác là bao nhiêu.

M. Kontsevich, học sinh lớp 10

M609. a) Độ dài các hình chiếu của đa giác lồi có diện tích $S$ lên hai đường thẳng vuông góc với nhau là $l_1$ và $l_2$. Chứng minh rằng $S \leq l_1 l_2$.

b) Độ dài các hình chiếu của đa giác lồi có thể tích $V$ lên ba đường thẳng vuông góc với nhau là $l_1, l_2$ và $l_3$. Chứng minh rằng $V \leq l_1 l_2 l_3$.

c)* Diện tích hình chiếu của đa giác lồi có thể tích $V$ lên ba mặt phẳng vuông góc với nhau bằng $S_1, S_2$ và $S_3$. Chứng minh rằng $V \leq \sqrt{S_1 S_2 S_3}$.

Yu. Smirnov

M610. Chúng tôi sửa $k \in N$. a) Xét tập hợp tất cả các bộ số nguyên $a_1, \ldots, a_k$ sao cho $0 \leq a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_k \leq k$; chúng ta hãy biểu thị số lượng các bộ như vậy bằng $N$. Chúng ta hãy xem xét trong số đó những cái mà $a_k = k$; hãy để số của họ là $M$. Chứng minh rằng $N = 2M$.

b) Chúng ta hãy áp đặt một ràng buộc bổ sung cho các tập hợp đang được xem xét: tổng $a_1 + \ldots + a_k$ chia hết cho $k$. Đặt các số tương ứng là $N'$ và $M'$. ĐẾN-

35

cho thấy điều đó $N' = 2M'$. (Từ Hình 1, rõ ràng là đối với $k = 3$ những con số này bằng $M = 9, N = 18; M' = 4, N' = 8$.

A. Tolytso

F618. Có thể kết nối hai đèn sợi đốt có công suất 60 W và 100 W, được thiết kế cho điện áp 110 V, nối tiếp vào mạng 220 V, nếu điện áp trên mỗi đèn được phép vượt quá 10% điện áp định mức? Đặc tính dòng điện-điện áp của đèn 100 W được thể hiện trên Hình 2.

A. Zilberman

F619. Điểm sáng nằm trên trục quang chính cách thấu kính phân kì $d = 40$ cm có tiêu cự $F = 10$ cm. Điểm được dịch chuyển đến khoảng cách $h = 5$ cm trong mặt phẳng vuông góc với trục quang chính. Cần dịch chuyển thấu kính bao nhiêu và về đâu để ảnh của điểm sáng trở về vị trí cũ?

Olympic Vật lý thành phố Leningrad, 1979

F620. Nếu bạn đặt một vật có khối lượng lớn hơn $m_0$ vào giữa bàn vuông thì chân bàn sẽ bị gãy. Tìm nhiều điểm trên bàn để bạn có thể đặt một vật có khối lượng $m_0/2$ mà không sợ làm gãy bàn.

O. Batitsev

F621. Phần cuối của sợi chỉ quấn trên ống cuộn sẽ được ném qua một chiếc đinh gãy vào tường (Hình 3). Sợi chỉ được kéo với tốc độ không đổi $v$. Tâm của cuộn dây chuyển động với tốc độ bao nhiêu vào thời điểm sợi dây tạo một góc $\alpha$ với phương thẳng đứng? Bán kính ngoài của cuộn dây là $R$, bán kính trong là $r$.

F622. Khi nào và bao nhiêu lần độ ẩm không khí (mật độ hơi nước) lớn hơn absc: vào tháng 11 ở nhiệt độ $t_1 = 0^\circ C$ và độ ẩm 95% hoặc vào mùa hè ở $t_2 = 35^\circ C$ và độ ẩm 40%, nếu áp suất hơi bão hòa ở $t_1 = 0^\circ C$ là $p_1 = 6 \cdot 10^2$ Pa, và ở $t_2 = 35^\circ C$ là $p_2 = 5,5 \cdot 10^3$ Pa?

LƯU Ý, NGƯỜI ĐỌC!

Do lỗi của nhà in nên lỗi đánh máy ở điều kiện bài toán M598 và theo cách viết ở điều kiện bài toán M599 («Kvant», 1979, số 12, tr. 20). Trong các điều kiện bài toán M598, các chữ cái $n$ phải là chữ cái $R$ và phương thức đến M599 phải được đọc như sau:

$a^{b^c}$ có nghĩa là $a^{(b^c)}$.

Thời hạn gửi lời giải trong số bài toán này được kéo dài đến ngày 1 tháng 4.