Đại học bang Gorky được đặt theo tên. N. I. Lobachevsky

47

Đại học bang Gorky được đặt theo tên. N. I. Lobachevsky

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(khoa phát thanh)

1. Tìm tất cả các giá trị thực của $x$ thỏa mãn bất đẳng thức
   $$x - 3 < \sqrt{x^2 + 4x} - 5.$$
2. Giải phương trình
   $$\cos x = \sqrt{3} \sin x + 2 \cos 3x.$$
3. Xác định kích thước của hình trụ có thể tích lớn nhất nếu diện tích toàn phần của nó là 2π.
4. Để thu hoạch, một số tổ hợp giống hệt nhau đã được phân bổ, có thể thu hoạch ruộng trong 24 giờ nếu chúng bắt đầu làm việc cùng lúc. Nhưng thật tình cờ khi họ bắt đầu làm việc lần lượt đều đặn, rồi mỗi người lại làm việc cho đến khi việc dọn dẹp hoàn tất. Mất bao lâu để thu hoạch vụ mùa nếu máy gặt đầu tiên làm việc lâu hơn máy gặt trước 5 lần?
5. Chứng minh rằng $53^{53} - 33^{33}$ chia hết cho 10.

Tùy chọn 2
(Khoa Toán tính toán và Điều khiển học)

1. Giải phương trình
   $$\sin 2x + \sin^4 \frac{x}{2} = \cos^4 \frac{x}{2}.$$

2. Tìm tất cả các giá trị thực của $x$ thỏa mãn bất đẳng thức
   $$\log_{0.25} \frac{35 - x^2}{x} \geq -\frac{1}{2}.$$

3. Tổng số hạng thứ ba và thứ chín của một cấp số cộng bằng giá trị nhỏ nhất của trilen $2x^2 - 4x + 10$. Tìm tổng các số hạng đầu tiên bằng nhau của cấp số này.

4. Tính diện tích của một hình thang đều nếu chiều cao của nó là $h$ và nhìn thấy cạnh của nó từ tâm của hình tròn ngoại tiếp một góc $60^\circ$.

5. Ba công nhân tham gia cuộc thi. Chiếc đầu tiên tạo ra sản lượng gấp đôi chiếc thứ hai, còn chiếc thứ hai và thứ ba tạo ra sản lượng gấp 3 lần chiếc thứ nhất. Mỗi công nhân đã chiếm vị trí nào trong cuộc thi?

Tùy chọn 3
(Khoa Cơ, Toán và Vật lý)

1. Tìm tất cả các giá trị thực của $x$ thỏa mãn bất đẳng thức
   $$\log_3 \log_{1/2} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \geq 1.$$
2. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \cos x + \cos y = 1/2, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 7/4. \end{cases}$$
3. Động năng của đường tròn bán kính $R$ là đáy của một tam giác đều. Tính diện tích phần tam giác nằm ngoài đường tròn đã cho.
4. Tìm giá trị lớn nhất và lớn nhất của hàm $y = 5 + 4 \cos x - \sin^2 x$ trên đoạn $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
5. Hãy tưởng tượng số 19 là hiệu của các lập phương số tự nhiên.

Vật lý
Bài toán thi vấn đáp

1. Một giá đỡ thẳng đứng không trọng lượng được lắp đặt trên một khối có khối lượng $2m$, trong đó một quả bóng có khối lượng $m$ được treo trên các thanh không trọng lượng có chiều dài $l$ (Hình 1). Một vật có thể trượt trên một mặt bàn nằm ngang không ma sát. Tốc độ của khối tại thời điểm quả bóng đi qua điểm dưới cùng sẽ là bao nhiêu, nếu khối tích lũy ban đầu và quả bóng được thả ra khỏi điểm $A$ mà không có tốc độ ban đầu?
2. Hai vật có khối lượng $m_1 = 4$ kg và $m_2 = 8$ kg, được nối với nhau bằng một sợi dây, đang chuyển động dọc theo một mặt phẳng nghiêng tạo thành một góc $\alpha = 30^\circ$ với đường chân trời. Hệ số ma sát giữa mặt phẳng nghiêng và vật là khác nhau: đối với vật thứ nhất nó bằng $\mu_1 = 0,1$, và đối với vật thứ hai là $\mu_2 = 0,2$. Lực của dây là bao nhiêu nếu một vật có khối lượng $m_1$ chuyển động với gia tốc ngang $|\vec{a}| = g/2$.

Hình 1.
Hình 2.