Xây dựng hình ảnh của vật nghiêng

37

Xây dựng hình ảnh của vật nghiêng

Để tìm ảnh của một điểm sáng trong một hệ quang học, chẳng hạn như trong thấu kính hoặc gương, chỉ cần xây dựng đường đi của hai tia phát ra từ điểm đó là đủ. Thông thường, hai trong số ba tia đặc trưng được chọn, đường đi của tia này sau hệ thống đã được biết. Đây là tia đi qua quang tâm của hệ, tia tới trên hệ song song với trục quang của nó và tia đi qua tiêu điểm phía trước của hệ.

Nhưng nếu nguồn sáng không chính xác mà được mở rộng thì sao? Tất nhiên, bạn có thể xây dựng hình ảnh của các điểm riêng lẻ, nhưng đôi khi không thể sử dụng sự đơn giản hóa. Vì vậy, nếu một vật vuông góc với trục chính thì ảnh cũng vuông góc với nó. Nếu vật nghiêng với trục một góc tùy ý thì sao? Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn về trường hợp này.

Để vật $AB$ tựa trên trục tại điểm $A$ và tạo một góc $\alpha$ với trục. Chúng ta hãy tạo hình ảnh $A'B'$ của vật thể này trong một hệ quang học, chẳng hạn như trong một thấu kính thu thập (Hình 1). Bằng trực giác, có thể cho rằng ảnh sẽ nằm đối xứng với vật so với trục. Tuy nhiên, điều này không đúng. Hãy tìm sự phụ thuộc của góc $\beta$ vào góc $\alpha$.

Hãy hướng trục tọa độ $XOY$ trong không gian đồ vật và $X'OY'$ trong không gian hình ảnh tương ứng với quy tắc ký hiệu được áp dụng trong sách giáo khoa. Trong trường hợp này, tọa độ $x$ tương ứng với khoảng cách $d$ từ vật đến thấu kính và tọa độ $x'$ tương ứng với khoảng cách $f$ từ thấu kính đến ảnh.

Các góc $\alpha$ và $\beta$ sẽ được xác định bởi các tiếp tuyến của chúng $^*$). Từ Hình 1

$$tg\alpha = \frac{y}{d - d_0}, \quad tg\beta = -\frac{y'}{f_0 - f} = \frac{y'}{f - f_0},$$

$$\frac{y'}{y} = \frac{f}{d}.$$

Từ công thức thấu kính $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$ và $\frac{1}{d_0} + \frac{1}{f_0} = \frac{1}{F}$ chúng ta biểu thị $f$ và $f_0$:

$$f = \frac{Fd}{d - F}, \quad f_0 = \frac{Fd_0}{d_0 - F}.$$

Cuối cùng chúng ta sẽ có được nó

$$tg\beta = tg\alpha \left(1 - \frac{d_0}{F}\right).$$

• Trong trường hợp này, góc $\alpha$ không có trong hướng quay từ trục $OX$ đến trục $OY$ và góc $\beta$ không có trong hướng quay từ trục $OX'$ đến trục $OY'$.

38

Hình 2 cho thấy một trường hợp tổng quát hơn khi vật $AB$ và ảnh $A'B'$ của nó không chạm vào trục quang. Hãy tự mình xem xét trường hợp này và thu được công thức tổng quát hơn cho tang của góc $\beta$:

$$\text{tg} \beta = \frac{y_1(d_2 - F) - y_2(d_1 - F)}{F(d_2 - d_1)}$$

Giả sử nguồn sáng là một đường phát sáng (Hình 3). Phương trình của đường thẳng này có dạng $y = kx + b$, trong đó $b = -kd_0$ và $x = d$. Hãy tìm hàm $y'$ trong không gian ảnh:

$$y' = y \frac{f}{d} = y \frac{f - F}{F} = k \left( \frac{fF}{f - F} - d_0 \right) \frac{f - F}{F} = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) f + kd_0,$$

hoặc

$$y' = k'x' + b'$$

ở đâu $k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right)$ và $b' = kd_0$.

Rõ ràng đây là phương trình của một đường thẳng; do đó ảnh của một đường thẳng cũng là một đường thẳng. Các hệ số $k$ và $k'$ lần lượt là các tiếp tuyến của các góc $\alpha$ và $\beta$:

$$k = \text{tg} \alpha, \ k' = \text{tg} \beta.$$

Do đó, mối liên hệ giữa các tiếp tuyến của góc $\alpha$ và $\beta$ một lần nữa được rút ra.

Lưu ý rằng trong quang học hình học chỉ xem xét các tia parascal, nghĩa là rất gần với trục quang chính. Tuy nhiên, từ thông điệp trực quan hóa trong tất cả các hình (trước và sau), các góc $\alpha$ được thể hiện khá lớn.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang các ví dụ cụ thể. Chúng ta hãy đồng ý rằng trong tất cả các hình, vạch sáng có dạng $y = kx + b$, trong đó $b = -kd_0$ và $x = d$. Hãy tìm hàm $y'$ trong không gian ảnh:

$$y' = y \frac{f}{d} = y \frac{f - F}{F} = k \left( \frac{fF}{f - F} - d_0 \right) \frac{f - F}{F} = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) f + kd_0,$$

hoặc

$$y' = k'x' + b'$$

ở đâu $k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right)$ và $b' = kd_0$.

Ví dụ 1. Cho đường thẳng sáng cắt trục quang của đường thu tại điểm có tọa độ $d_0 = 2F$ (Hình 4). Sau đó

$$k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) = k \left( 1 - \frac{2F}{F} \right) = -k,$$

hoặc

$$\text{tg} \beta = k' = -k = -\text{tg} \alpha.$$

Ví dụ 2. Đặt $d_0 = 0$. Sau đó

$$k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) = k.$$

Vạch phát sáng tương ứng và hình ảnh của nó trong vạch thu được thể hiện trong Hình 5.

Ví dụ 3. Tìm ảnh của một đường thẳng trong gương cầu lượn sóng nếu $d_0 = F/2$ (Hình 6).

Lưu ý rằng trong trường hợp gương lượn sóng, trục $OX'$ trong không gian ảnh được định hướng cùng hướng với trục $OX$ trong không gian vật thể.

39

Hình 4.

Ví dụ 4. Chúng ta hãy dựng ảnh của một đường thẳng trong thấu kính phân kỳ và trong gương cầu lồi, với điều kiện là $d_0 = F$.

Đối với hệ tán xạ, công thức thấu kính có dạng

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = -\frac{1}{F},$$

đó là lý do tại sao

$$k' = k \left( 1 + \frac{d_0}{F} \right).$$

Trong trường hợp của chúng tôi

$$k' = k \left( 1 + \frac{d_0}{F} \right) = 2k.$$

Hình 5.

Hình 6.

Vì tất cả các công thức đối với gương cầu lõm đều giống như đối với thấu kính hội tụ nên ta có

$$k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) = \frac{k}{2}.$$

Sự tương ứng giữa cấu trúc của thấu kính phân kỳ và gương cầu lồi được thể hiện trên Hình 7 và Hình 8.

Ví dụ 5. Cho tia sáng đi qua điểm có tọa độ $d_0 = F$. Hình ảnh của cô ấy sẽ như thế nào?

40

quá trình lên men trong hệ thống thu thập (thấu kính thu hoặc gương lượn sóng)?
Nếu $d_0 = F$ thì
$$k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) = 0.$$
Điều này có nghĩa là ảnh của một đường nghiêng sẽ là một đường thẳng song song với trục chính của hệ. Hình 9 cho thấy cấu trúc của một thấu kính hội tụ.
Ví dụ 6. Hãy tìm xem ảnh của nó trong hệ tán xạ sẽ song song với trục quang của hệ tại vị trí nào của đường thẳng.
Vì đối với hệ thống phân tán
$$k' = k \left( 1 + \frac{d_0}{F} \right),$$
thì $k'$ sẽ bằng 0 tại $d_0 = -F$. Cấu trúc tương ứng của gương cầu lồi được thể hiện trên Hình 10.

Hãy xem xét hai ví dụ cuối cùng chi tiết hơn một chút.
Đầu tiên, từ Hình 9 và 10, theo sau là $y' = F \mathrm{tg} \alpha$. Điều này có nghĩa là góc nghiêng của đường thẳng phát sáng so với trục quang của hệ càng lớn thì đường ảnh càng xa trục.
Thứ hai, chúng tôi lưu ý rằng với sự phân bố đồng đều các điểm linny của một đối tượng trên ảnh linny, các điểm phân phối không đồng đều (ví dụ: xem Hình 10). Điều này là do cái gọi là độ phóng đại dọc (độ phóng đại theo hướng của trục quang), được xác định bởi công thức
$$\Gamma_{\text{прод}} = \lim_{d_2 \to 0} \frac{f_2 - f_1}{d_2 - d_1}.$$
Nói cách khác, mức tăng theo chiều dọc bằng mức tăng tùy ý từ $f$ đến $d$:
$$f' = \left( \frac{Fd}{d-F} \right)' = -\left( \frac{F}{d-F} \right)^2 = -\Gamma_{\text{попер}}^2$$