Построение изображений наклонных предметов

37

Построение изображений наклонных предметов

Чтобы найти изображение светашейся точки в оптической системе, например в линзе или в зеркрале, достаточно построить ход двух лучей,ышедших из точки. Обычно выбирают два из трех характеристиных лучей, ход которых после системы известен. Это луч, проходящий через оптический центр системы, луч, падающий на систему параллельно ее оптической оси, и луч, проходящий через передний фокус системы.

А как бы, если источник света не точный, а протяженный? Можно, конечно, строить изображения отдельных его точки, но иногда возможно не использовать упрощения. Так, если предмет перpendикулярен к главной оптической оси, изображение тоже perpendикулярно к ней. А если предмет наклонен к оси под произвольным углом? Остановимся подробнее на этом случае.

Пусть предмет $AB$ опирается на ось в точке $A$ и составляет с осью угол $\alpha$. Построим изображение $A'B'$ этого предмета в оптической системе, например в собирающей линзе (рис. 1). Инутитив можно предложить, что изображение будет расположаться симметрично предмету относительно оси. Однако это не так. Найдем зависимости угла $\beta$ от угла $\alpha$.

Направим оси координат $XOY$ в пространстве предметов и $X'OY'$ в пространстве изображений соответствующего правилу знаков, принятому в школьном учебнике. При этом координата $x$ соответствует расстоянию $d$ от предмета до линзы, а координата $x'$ — расстоянию $f$ от линзы до изображения.

Углы $\alpha$ и $\beta$ будем определять по их тангенсам$^*$). Из рисунка 1

$$tg\alpha = \frac{y}{d - d_0}, \quad tg\beta = -\frac{y'}{f_0 - f} = \frac{y'}{f - f_0},$$

$$\frac{y'}{y} = \frac{f}{d}.$$

Из формулы линзы $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$ и $\frac{1}{d_0} + \frac{1}{f_0} = \frac{1}{F}$ выразим $f$ и $f_0$:

$$f = \frac{Fd}{d - F}, \quad f_0 = \frac{Fd_0}{d_0 - F}.$$

Okончательно получим

$$tg\beta = tg\alpha \left(1 - \frac{d_0}{F}\right).$$

• При этом угол $\alpha$ отсутствует в направлении поворота от оси $OX$ к оси $OY$, а угол $\beta$ — от оси $OX'$ к оси $OY'$.

38

На рисунке 2 изображен более общий случай, когда предмет $AB$ и его изображение $A'B'$ не касаются оптической оси. Расмотрите этот случай самостояльно и получите более общую формулу для тангенса угла $\beta$:

$$\text{tg} \beta = \frac{y_1(d_2 - F) - y_2(d_1 - F)}{F(d_2 - d_1)}$$

Предположим, что источником света является светящаяся прямая (рис. 3). Уравнение этой прямой имеет вид $y = kx + b$, где $b = -kd_0$, а $x = d$. Найдем функцию $y'$ в пространстве изображений:

$$y' = y \frac{f}{d} = y \frac{f - F}{F} = k \left( \frac{fF}{f - F} - d_0 \right) \frac{f - F}{F} = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) f + kd_0,$$

или

$$y' = k'x' + b'$$

где $k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right)$ и $b' = kd_0$.

Очевидно, что это уравнение прямой; следовательно, изображением прямой является тоже прямая. Коэффициенты $k$ и $k'$ это тангенсы углов $\alpha$ и $\beta$ соответственно:

$$k = \text{tg} \alpha, \ k' = \text{tg} \beta.$$

Таким образом, еще раз выведена связь между тангенсами углов $\alpha$ и $\beta$.

Заметим, что в геометрической оптике рассматривается только параскальные лучи, то есть очень близкие к главной оптической оси. Однако из сообщений наглядности на всех рисунках (предыдущих и последующих) углы $\alpha$ изображены достаточно большими.

Перейдем теперь к конкретным примерам. Договоримся на всех рисунках светящаяся прямой имеет вид $y = kx + b$, где $b = -kd_0$, а $x = d$. Найдем функцию $y'$ в пространстве изображений:

$$y' = y \frac{f}{d} = y \frac{f - F}{F} = k \left( \frac{fF}{f - F} - d_0 \right) \frac{f - F}{F} = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) f + kd_0,$$

или

$$y' = k'x' + b'$$

где $k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right)$ и $b' = kd_0$.

Пример 1. Пусть светящаяся прямая пересекает оптическую ось собирающей линии в точке с координатой $d_0 = 2F$ (рис. 4). Тогда

$$k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) = k \left( 1 - \frac{2F}{F} \right) = -k,$$

или

$$\text{tg} \beta = k' = -k = -\text{tg} \alpha.$$

Пример 2. Пусть $d_0 = 0$. Тогда

$$k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) = k.$$

Соответствующая светящаяся прямая и ее изображение в собирающей линии показаны на рисунке 5.

Пример 3. Найдем изображение прямой линии в волнутом сферическом зеркале, если $d_0 = F/2$ (рис. 6).

Отметим, что в случае волнутого зеркала ось $OX'$ в пространстве изображения направлена в ту же сторону, что и ось $OX$ в пространстве предметов.

39

Рис. 4.

Пример 4. Построим изображение прямой в рассеивающей линзе и в выпуклом зеркале при условии, что $d_0 = F$.

Для рассеивающих системы формула линзы имеет вид

$$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = -\frac{1}{F},$$

постому

$$k' = k \left( 1 + \frac{d_0}{F} \right).$$

В нашем случае

$$k' = k \left( 1 + \frac{d_0}{F} \right) = 2k.$$

Рис. 5.

Рис. 6.

Поскольку все формулы для вогутого зеркала также же, как и для собирающей линзы, получаем

$$k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) = \frac{k}{2}.$$

Соответствие построения для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала приведены на рисунках 7 и 8.

Пример 5. Пусть светящаяся прямая проходит через точку с координатой $d_0 = F$. Каким будет ее изо-

40

бражение в собирающей системе (собирающей линзе или волнутом зеркале)?
Если $d_0 = F$, то
$$k' = k \left( 1 - \frac{d_0}{F} \right) = 0.$$
Это означает, что изображением наклонной линни будет прямая, параллельная главной оптической оси системы. На рисунке 9 проведено построение для собирающей линзы.
Пример 6. Выясним, при каком расположении прямой ее изображение в рассенвающей системе будет параллельно оптической оси системы.
Поскольку для рассенвающей системы
$$k' = k \left( 1 + \frac{d_0}{F} \right),$$
то $k'$ будет равным нулю при $d_0 = -F$. Соответствующие построения для выпуклого зеркала показано на рисунке 10.

Остановимся чуть более подробно на двух последних примерах.
Во-первых, из рисунков 9 и 10 следует, что $y' = F \mathrm{tg} \alpha$. Значит, чем больше угол наклона светящейся прямой к оптической оси системы, тем дальше от оси находится линяя изображения.
Во-вторых, отметим, что при равномерном распределении точек линни предмета на линни изображения точки распределения неравномерно (см., например, рис. 10). Это связано с так называемым продольным увеличением (с увеличением в направлении оптической оси), которое определяется формулой
$$\Gamma_{\text{прод}} = \lim_{d_2 \to 0} \frac{f_2 - f_1}{d_2 - d_1}.$$
Другими словами, продольное увеличение равно произвольной от $f$ по $d$:
$$f' = \left( \frac{Fd}{d-F} \right)' = -\left( \frac{F}{d-F} \right)^2 = -\Gamma_{\text{попер}}^2$$