14
Об одной задаче
Колмогорова
От редакции
Десять лет назад в «Кванте» рассказывалось о проблеме, которое поставил на лекции для школьников академик А. Н. Колмогоров. Вот ее формулировка:
Фиксируем на плоскости угол и точку О внутри него (рис. 1.). Существуют ли отличные от круга фигуры, которые могут врачаться внутри данного угла так, чтобы граница фигуры все время касалась сторона угла и проходила через точку O?
А. Н. Колмогоров отметил, что решение этой проблемы имеет и практическое значение: «На некоторых заводах производят проверку цилиндрических деталей следующим образом: деталь укладывает в лоток и врачают так, чтобы она касалась сторона лотка, затем сверху подводится «шуп» (стержень, которой может совершать продолжное перемещение) до соприкосновения с деталью. Если во время вращения шуп сdvинается, то деталь бракуется. Таким образом, если существуют отличные от круга фигуры, удовлетворющие условия задачи, то цилиндры, имеющие всеечение точки фигуру, будут великолепно проходить через ОТК» («Квант», 1971, № 3, с. 20).
В статье дается частичное решение проблемы Колмогорова.
Рис. 1.
Для некоторых видов углов и положений точки O внутри угла мне удалось найти фигуры, отличные от круга и удовлетворяющие условиям, формулированным А. Н. Колмогоровым. Построение таких фигуры может быть произведено следующим образом:
Рассмотрим правильный многоугольник; продолжим две его непалательные стороны до пересечения. Полученный угол и возьмем в качестве заданного угла. В качестве точки O возьмем одну из вершин многоугольника, например так, как это сделано для пятугольника на рисунке 2, а. Тепер начнем вращать многоугольник так, чтобы при этом он касался обеих сторон угла неоторыми своими вершинами. Наша задача — деформаровать многоугольник в такую фигуру, при повороте которой внутри угла точка O все время оставалась бы на ее границе; при этом, конечно, разумно «сохранить вершины» многоугольника, поскольку им он касается сторон угла.
Будем поворачивать многоугольник до тех пор, пока сторона BC не вернется на исходную сторону угла (начало этого поворота см. на рисунках 2, а — е). При этом помещим в точку O obstрике карандаша и последим за тем, какие кривые будут рисовать этот карандаш при нашем повороте.
Полный поворот (на угол от 0 до 2π) пятугольника естественно развивается на пяту этапов: поворот на угол от 0 до 2π/5, от 2π/5 до 4π/5 и т. д. После первого этапа на исходной стороне угла оказывается со стороны BC сторона AB пятугольника, после второго этапа — соседняя с ней сторона AE и т. д. В каждый из этих этапов наш угол опирается на какую-нибудь одну из диагоналей пятугольника: в первый — на диагональ BE, затем — на AD, потом на EC, на DB и, наконец, на CA. Точка O при этом все время находится на bicсекtrисе нашей угла.
При повороте пятугольника из положения, изображенного на рисунке 2, а, в положение, изображенное на рисунке 2, е, острике карандаша
15
Рис. 2.
процертит некоторую кривую (см. рисунки 2, а—е). При полном же повороте пятугольника карандаш нарисует на нем «звездочку», которая, очень и будет ограничивать искомуо фигуру в силу самого способа построения.
Что же за кривые образуют границу этой фигуры?
Что бы это понять, поступим следующим образом: оставим пятугольник неподвижным, а врашать будет плоскость с направлением на ней углом и гвоздем в точке O. Мы
Рис. 3.
ужке отмечали, что при повороте на величины от 0 до 2π/5 наш угол будет опираться на диагональ BE; следовательно, его вершина будет скольнить по дуге окружности, показанной на рисунке 3.
Точка O находится на биссеktrиссе угла и удалена от его вершины на заданное расстояние. Биссеktrисса угла при движении вершины угла по большей издуг BE рассматривается окружности будет проходит через середину S меньше других BE этой окружности. Таким образом, метод построения искомой кривой ясен: нужно через каждую точку большей длиги BE нашей окружности и середину S меньше длиги проводится прямую и от точки большей длиги отложить отрезок, равный расстоянию от точки O до вершины угла; тогда концы этих отрезков будут описывать искомую кривую.
Затем ту же процедуру нужно проделать с диагоналями AD, EC, DB и CA пятугольника, поворачивая наш угол соответственно на величины от 2π/5 до 4π/5, от 4π/5 до 6π/5 и от 6π/5 до 8π/5 и от 8π/5 до 2π.
Получающаяся при этом кривая (см. рис. 3) давно известна в математике, о ней «Квант» уже писал на своих страницах. Она называется улиткой Паскала (см. «Квант», 1977, № 5).
Подобным же образом исследуется форма ограниченной кривой и для других правильных многоугольников. Во всех случаях соот-