Задачи

Квант 1981, №5 с. 33, 35, 36 Тег XMQN

Задание

Расшифруйте арифметический пример, изобразенный на рисунке. Здесь разным буквам соответствует разные цифры, одинаковым — одинаковые, а про букву A известно, чтоей соответствует четная цифра.
Найдите десять последовательных натуральных чисел, среди которых a) нет ни одного простого числа; b)ровно одно простое число; в) два простых числа; г) три простых числа; д) четыре простых числа.
Сколько вообще простых чисел может быть среди десяти последовательных натуральных чисел?
На плоскости векруг точек A и B в одну и ту же сторону поворачивается два стержня, причем стержень AA₁ поворачивается вдвое медленнее стержня BB₁ и в начальной момент ABB₁=90° и BAA₁=45°. В точке M пересечения этих стержней на них надето колечко. Доказите, что колечко будет двигаться по дуге окружности с центром в точке B. Найдите радиус этой окружности.
В кружках фигуры, изобразенной на рисунке, расставьте числа от 1 до 19 так, чтобы сумма чисел, расположенных в кружках-вершинах всех правильных шестиугольников (их девять!), была постоянной.
В каждом из трех горизонтальных рядов (см. рисунок) переложите по одной спице так, чтобы все шесть равенств (вертикальных и горизонтальных) оказались верными.

Эти задания нам предложили Н. Авилов, Н. Антонович, Н. Михайленко, С. Савасток.

сти, описанной вокруг треугольника (эти биссектриса и перпендикуляр делят пополам дуг описанной окружности, опирающегося на указанную сторону и не содержащую вершины $A$ , — см. рис. 2).

Кончить построение теперь уже просто. Проводим через точку $M$ перпендикуляр к прямой $l$ и продолжаем биссектрису $AK$ до пересечения с ним в точке $D$ (рис. 3). Итак, точки $A$ и $D$ лежат на окружности, описанной вокруг искомого треугольника, а ее центр $O$ , очевидно, находится на прямой $MD$ . — средином perпендикуляре к одной из ее хорд, и на срединном perпендикуляре к отрезку $AD$ , который также является одной из ее хорд. Построив точку $O$ , как точку пересечения указанных прямых, можно проверить окружность, описанной вокруг искомого треугольника, поскольку мы знаем ее центр $O$ и радиус $|OA|$ . Точки $B$ и $C$ пересечения этой окружности с прямой $l$ дают недостающие вершины $B$ и $C$ искомого треугольника.

Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было развито в Древней Греции в высокой степени. Однако из труднейших задач на построение, которые тогда умели выполнять, является задача построения окружности, касающейся трех данных окружностей. Эта задача носит название задачи Аполлония по имени выдающегося греческого геометра Аполлония из Перги (около 260—170 г. до н. э.).

Однако древнегреческий геометрамник не удавалось выполнить некоторые построения, использующие линейку и линейку, а построение, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими. К числу таких построений относятся построение квадрата, равновеликого данному кругу («квадратура кругга»); деление произвольного угла на три равные части («трисекция угла») и построение сторон куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба («удвоение куба»).

Эти три значенные задачи привлекали внимание выдающихся математиков на противженни столетий, но окончательное решение получили лишь в середине прошло века, когда была доказана их неразрешимость, то есть невозможность указанных построений лишь с помощью циркуля и линейки. Эти результаты были получены средством не геометрики, а алгебры, что еще раз подчеркнул единство математики.

Еще одной интереснейшей задачей на построение с помощью циркуля и линейки является задача построения правильного многоугольника с заданным числом сторона. Древние греки умели строить правильный треугольник, квадрат, правильные пятугольник и пятнадцатугольник, а также все многоугольники, которые получаются из них удвоением числа сторона, — и только их.

Новый шаг в этой области был сделан лишь в 1801 году Великим немецким математиком К. Ф. Гауссом. Он указал способ построения циркуля и линейкой правильного 17-угольника и все значения $n$ , при которых построение правильного $n$ -угольника возможно указанным средством. Эти многоугольники оказались лишь те многоуголь-

ники, у которых количество сторон является простым числом Ферма*) или произведениями несколько различных простых чисел Ферма, а также те, которые получаются из них удвоением числа сторона. Таким образом, была доказана невозможность построения с помощью циркуля и линейки правильных семиугольника, девятугольника, одинадцатугольника, тринадцатугольника.

Теория построения при помощи циркуля и линейки получила широкое развитие в конце XIX века. Например, было показано, что любое построение, выполяемое с помощью циркуля и линейки, можно выполнить с помощью лишь одной линейки, если в плоскости построения задана некоторая окружность и указаан ее центр.

Все эти исследования внесли огромный вклад в развитие математики. Однако в практических построениях ничего не ограничивает нас в наборе инструментов. Для больших построений в полне достаточно линейки с делениями и транспортира.

Довольно любопытные некоторые приближенные способы построения. Например, приближенная квадратная круга получается, если за сторону квадрата взять хорду, проходящую через конец одного из diamетров круга и середину перpendикularного ему радиуса (рис. 4). Этому построению соответствует значение π=3,2.

Способ приближенной трисекции угла при помощи циркуля и линейки

предложил наш читатель А. Падалко. Вот его метод: «Чтобы проведти трисекцию угла с вершиной O₁ (см. рис. 5), описываем друг AmB с центром O₁ произвольного радиуса и проводим хорду AB; пусть O — ее середина. Радиусом, равным |AO|, описываем полученную AnB с центром O. Из точки B делаем на этой полученную засечку C радиусом |AO|; легко видеть, что BC = \frac{AmB}{3}. Затем находим точку D такую, что |BD| = \frac{|AB|}{3}. Соединием точки C и D и из середины E отрезка CD восстанавливаем перpendикular к [CD]. Пусть Y — точка пересечения этого перpendикularа с продолжением [AB]. Радиусом |DY| проводим из Y друг; пусть X — пересечение этой дуги с другой AmB. Тогда BX = \frac{AmB}{3}, то есть BO₁X ≈ \frac{AO₁B}{3}.

Оценку точности этого построения мы получили ЭВМ. Машина выдала следующий результат: точность построения не менее 0,1°, нахудший результат — при угле около 78°, относительная ошибка, то есть отношение величины отклонения к величины самого угла, не превыходит 0,01 и максимальная при угле около 158°.