Решения задач М636—М640; Ф647—Ф655

Квант 1981, №5 с. 22-29 Тег 1EJ7

Слой входит луч света. При каких значениях угла α (см. рис. 4) луч вернется в оптически более плотную среду? При каком значении угла α₀ расстояние между точками входа и выхода луча максимально?

П. Калуцин, ученик 10 кл. (Москва, с. шт. № 444)

Решения задач

M636—M640; Ф647—Ф655

Множество {1, 2, 3, 5, 10, 20, 25, 50, 100} удовлетворяет условием задачи. Значит, искомое множество содержит не более девяты элементов. Упорядочим его элементы по возрастанию:

$1 = k_1 < k_2 < \dots < k_n = 100, n \leqslant 9.$

Так как $k_j \leqslant 2 \cdot k_{j-1}$ ( $j=2, 3, \dots, n$ ), для любого $j$ имеем $k_j \leqslant 2^{j-1}$ . Пусть $r$ — наиболее индекс такой, что $k_r \neq 2k_{r-1}$ . Тогда $100 = k_n = 2^{n-r} \cdot k_r \leqslant 2^{n-r}(k_{r-1} + k_{r-2}) \leqslant 2^{n-r} \cdot 2(2^{r-2} + 2^{r-3}) = 3 \cdot 2^{n-3}$ . Из неравенства 100 $\leqslant 3 \cdot 2^{n-3}$ следует, что $n \geqslant 9$ . Итак, $n=9$ и множество {1, 2, 3, 5, 10, 20, 25, 50, 100} является исключим.

Отметим, что существуют и другие множества из девяты элементов, удовлетворяющие условию задачи. Например, годится и множество {1, 2, 4, 6, 10, 20, 30, 50, 100}.

Ю. Нестеренко

М637. Дан правильный треугольник ABC. Некоторые прямая, параллельная прямой AC, пересекает прямые AB и BC в точках M и P соответственно. Точка D — центр треугольника PMB, точка E — середина отрезка AP. Определите углы треугольника DEC.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.
Рис. 6.
а)
Б=M=P=D
x=0
б)
x=1
Рис. 7.
x=1
Рис. 8.

М638. Некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги выкрашены в красный цвет, остальные — в синий, причем так, что каждый прямоугольник из 6 клеток размером 2×3 содержит в точности две красные клетки. Сколько красных клеток может содержать прямоугольник из 99 клеток размером 9×11?

Тоchnи $D$ и $D_1$ как центры треугольников $MBP$ и $M_1BP_1$ соответственно лежат на отрезке $MP_1$ и делят его на три равные части. Следовательно, $D_1E_1$ — средняя линия в треугольнике $DP_1C$ , $|D_1E_1| = \frac{1}{2}|DC| = |DE|$ , причем $[D_1E_1] \parallel [DC]$ . Но $[D_1E_1]$ получается из $[DE]$ поворотом на 60°; следовательно, $EDC = 60^\circ$ . Остальное очевидно.

Третье решение (алгебраическое, но почти без вычислений).

Пусть 1 — длина стороны треугольника $ABC$ , $x$ — длина стороны треугольника $MBP$ (рис. 6). При $x=0$ и $x=1$ (см. рис. 7)

$|DC|^2 - |DE|^2 - |EC|^2 = 0.$ (1)

Равенство (1) несложно проверяется и для $x = \frac{1}{2}$ (рис. 8). В этом месте надо немного повыслить: проведем $(DH) \parallel (AB)$ и $(DF) \parallel (AC)$ . Имеем $|DH| = \frac{1}{3}, |HE| = \frac{1}{12}, |EK| = \frac{1}{4}, |DF| = \frac{1}{6}$ , а каждый из углов $DHE, EKC$ и $DFC$ равен 120°. По теореме косинусов в треугольниках $DHE, EKC$ и $DFC$

$|DE|^2 = \frac{1}{9} + \frac{1}{144} + \frac{1}{36} = \frac{21}{144}, |EC|^2 = \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{63}{144}, |DC|^2 = \frac{1}{36} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{84}{144},$

откуда следует (1).

Левая часть соответствия (1) является квадратным треугольном от $x$ (квадраты длин стороны выразывать из соответствующих треугольников при помощи теоремы косинусов). В силу сказанного выше, этот треугольник в трех точках ( $x=0, x=\frac{1}{2}$ и $x=1$ ) обращается в нуль. Значит, он тоже действенно равен нулю.

Следовательно, (1) выполняется при всех $x$ , то есть при всех $x$ треугольник $DEC$ — прямогольный: $DEC = 90^\circ$ .

Аналогично проверяется, что квадратный треугольен

$|DE|^2 - \frac{1}{4} \cdot |DC|^2$ (2)

в трех точках ( $x=0; \frac{1}{2}, 1$ ) также принимает нулевое значение, а потому тоже действенно равен нулю. Значит, $|DE| = \frac{1}{2}|DC|$ , то есть $CDE = 60^\circ$ .

Еще одно, четвертое, решение основано на таком наблюдении: треугольник $DPC$ получается из треугольника $DKE$ таким центральной подогром: композицией повората на угол 60° с центром $D$ и готовет с коэффициентом 2. Попробуйте записать это решение так, чтобы оно годилось сразу для всех трех случаем (см. рис. 1, 2, 3).

Л. Купцов

◆

Ответ. В любом прямогольнике $9 \times 11$ содержится 33 красные клетки.

Доказательство. Рассмотрим произвольную красную клетку $K_0$ и рассмотрим квадрат $3 \times 3$ с центром в этой клетке. Соседние с $K_0$ по горизонтали или вертикали клетки не могут быть красными: если, например, как на рисунке 1, красной окзалась клетка $K$ , то в правом илевом прямоугольнике $2 \times 3$ больше красных клеток не будет, поэтому таком прямогольнике окзается всего одна красная клетка ( $K_0$ ) — противоречие с условиям. Итак, соседние с $K_0$ клетки — синице.

Далее, в правом прямогольнике должана быше одна красная клетка — пуст, например, это будет клетка $K_1$ , как на рисунке 2. Рассматривая верхний илевый прямогольник

Рис. 1. Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

М639. В тетраэдре ABCD (AC) ⊥ (BC) и (AD) ⊥ (BD). Докажите, что косинус угла между прямыми AC и BD меньше, чем |CD|/|AB|.

М640. Число $x \in [0; 1]$ записано в виде бесконечной десятичной дроби. Переставив ее первые 5 цифр после запятой в произвольном порядке, получим новую бесконечную десятиную дробь, отвецающего неекоторому числу $x_1$ . Переставив в десятичной запись числа $x_1$ цифры со 2-й по 6-ю после запятой, получим десятиную запись числа $x_2$ . Вообще, десятиная угольник $2 \times 3$ , из условия задачи выводим, что в углу на шшего квадрата $3 \times 3$ , противоположном клетке $K_1$ , тоже должна стоять красная клетка — $K$ , и красные клетки в этом квадрате расположены по диагонали. Расматривая такие квадраты с центрами в клетках $K_1$ и $K$ и свигая эти квадраты далее по «красной диагонали», из приведенного расчудения получаем, что весь диагональный ряд $KK_0K_1$ состоит из красных клеток, а по два диагональных ряда выше и ниже красного — из синих клеток, как показано на рисунке 3. Рассуждая аналогично (см. рис. 3), получаем, что два следующих (сверху и снизу) клетки, а так как прямогольник $9 \times 11$ можно разбит на 9 квадратов $3 \times 3$ и 3 прямогольника $2 \times 3$ , заключаем, что в этом прямогольнике $9 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 33$ красные клетки.

Легко видеть, что раскраска рисунка 4 удовлетворяет условиям задачи. При этом каждой квадрат $3 \times 3$ содержит в точности три красные клетки, а так как прямогольник $9 \times 11$ можно разбит на 9 квадратов $3 \times 3$ и 3 прямогольника $2 \times 3$ , заключаем, что в этом прямогольнике $9 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 33$ красные клетки.

В приведенном расчудении доказано больше, чем требовалось условиям задачи — фактически нами описаны все возможные раскраски.

Большинство читателей расчудали инчае: прямогольник $9 \times 11$ легко разбит на 16 прямогольников $2 \times 3$ , после чего останется полоска $1 \times 3$ . Из условия нетрудно получить, что в этой полоске может содержаться только одна красная клетка, поэтому во всем прямогольнике — только $16 \cdot 2 + 1 = 33$ красные клетки. После этого достаточно привести пример раскраски, которая удовлетворяет условиям задачи.

Отметим, что в этой задаче совсем не обязательно расчудить раскраску всей плоскости — можно было ограничиться раскраской 99 клеток прямогольника $9 \times 11$ .

А. Земляков

Проведем $(BE) \parallel (CA)$ и $(AE) \parallel (CB)$ (см. рисунок). Косинус угла между прямыми AC и BD — это $|\cos DBE|$ .

С другой стороны, четырехугольник $ACBE$ — прямогольник, поэтому $|AB| = |CE|$ и $|CD|/|AB| = |CD|/|CE|$ .

Заметим, что вершины прямых углов $ACB, ADB, AEB$ лежат на сфере с диаметром $AB$ . Отрезок $CE$ тоже является диаметром этой сферы, поэтому угол $CDE$ — прямой и $|CD|/|CE| = \cos DCE$ . Нужное неравенство принимает теперь вид $|\cos DBE| < \cos DCE$ .

Пусть $R$ — радиус сферы и $r$ — радиус окружности, получащейся в сечении сферы плоскостью $BDE$ . Так как эта плоскость не проходит через центр сферы, $r < R$ и из равенств $2r \cdot \sin DBE = |DE| = 2R \cdot \sin DCE$ получаем $\sin DBE > \sin DCE$ . Значит, $|\cos DBE| < |\cos DCE| = \cos DCE$ .

Ю. Нестеренко

запись числа $x_{k+1}$ получается перестановкой цфра в записи $x_k$ с $(k+1)$ -й по $(k+5)$ -ю после запятой.
a) Докажите, что как бы ни переставлялись цфры на каждой шае, получаются последовательность чисел $x_k$ всегда имеет некоторый предел.
Обозначим этот предел через $y$ .
b) Выясните, можно ли с помощью описанного процесса из рационального числа $x$ получить irrationalное число $y$ .
b) Придумайте такую дробь $x$ , для которого данный процесс всегда приводит к irrationalным числам, каковые бы ни переставки пятерок цфра на каждой шае.

В) Пусть $y$ дроби $x$ на местах с номерами $10^n < k \leq 10^n+5$ при всех натуральных $n$ стоян единиц, остальные цфры — нулы. Покажем, что ни при каком перемещении дробь $x$ не превращается в периодической. Предположим противное: при каком-то последовательном перемещении пятерок цфра получилась периодическая дробь $y$ . Заметим, что при перемещении номер данной цфры (нуля или единиц) не может уменьшиться более, чем на четые. Среди цфра от первой до $(10^n+5)$ -й после запятой всего $5n$ единиц, и, в силу предыдущего заменения, их число на этом участке не может увеличиться. Если бы в периоде дроби $y$ было $p$ цфра и среди них $q>0$ единиц, то при достаточно большом $n$ на участке цфра с номерами $1 \leq k \leq 10^n$ было бы по крайней мере $q \cdot \left[ \frac{10^n-N}{p} \right]$ единиц, где $N$ — номер цфры $y$ , с которой начинается периодность. Таким образом, получаем неравенство $q \cdot \left[ \frac{10^n-N}{p} \right] \leq 5n$ , неверное при достижению больших $n$ . Следовательно, единица не может начиная с некоторого места должны идти одни нуля.

Теперь показем, что при любом перемещении дроби $x$ сколько угодно делено от запятой должны остаться единицы. Среди цфра дроби $x$ от первой до $(10^n+1)$ -й после запятой имеет некоторое количество нулей. Так как более далеко от запятой нулю имеет номера, начиная с $10^n+6$ , после перемещения они не могут попасть в указанный участок; число нулея на нем не увеличится, а число единиц соответствует не уменьшится. Следовательно, стоящие в дроби $x$ на участке цфра с номерами $10^n+1 \leq k \leq 10^n+5$ единиц не могут все сдивнуть вправа — хотя бы одна единица должна остаться на участке от первой до $(10^n+1)$ -й цфры. С другой стороны, сдивнуть вправа чем на четые места они тоже не могут, поэтому при любом $n$ на участке цфра с номерами $10^n-3 \leq k \leq 10^n+1$ у дроби $y$ остаются бы одна единица. Очевидно, это противечит тому, что период дроби состоит только из нуля.

A. Земляков

Ф647. Крупная дождевая капля покинула облака в безветренную поеду на больший высоте. В момент, когда ускорение капли было равным 7,5 м/c², ее скорость составляла 20 м/c. Вблизи капля nadала с постоянной скоростью $u$ , попав на боковое стекло автоматически, оставила на нем след под углом $30^\circ$ к вертикали. Ошибфтует ли инспектор ГАН водителя за превышение скорости, если разрешенная скорость движения автоматically 60 км/ч? Сили сопротивления воздуха считать пропорциональной каудрату скорости капли.

♦

Запишем второй закон Ньютона для момента, когда ускорение капли равно $a=7,5$ м/c², а скорость $v_1=20$ м/c:

$ma=mg-kv_1^2,$

где $kv_1^2$ — значение силы сопротивления в этот момент.

Вблизи земли капля движется с некоторой постоянной скоростью $v_2$ , следовательно:

$mg=kv_2^2.$

Так как след, оставленный каплей на стекле, составляет с вертикальной угол $\alpha=30^\circ$ , скорость капли и скорость автоматической $v$ связаны соотношением

$v=v_2tg\alpha.$

Из уравнения (1) — (3) найдем скорость автоматической:

$v=\frac{v_1tg\alpha}{\sqrt{1-a/g}} \approx 23,8\text{ м/c} \approx 85,7\text{ км/ч}.$

Штраф придает запалить.

B. Белонукин

Ф648. Шарнирная конструкция состоит из трех ромбов, стороны которых относится как 3:2:1 (рис. 1). Вершина $A_3$ перемещается в горизонтальном направлении со скоростью $v_0$ . Определить скорость вершин $A_1, A_2, B_1$ в тот момент, когда все конструции прямые.

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф649. В ведре находится смесь воды со льdom. Масса смеси 10 кг. Ведро внесли в комнату и сразу же начали изменять температуру смеси. Получившийся график зависимости $t(\tau)$ изображен на рисунке. Известны удельная темперакость воды $c_B = 4200$ Дж/(кг·К) и темпераплевия льда $\lambda = 3,4 \cdot 10^5$ Дж/кг. Определите, сколько льда было в ведре, когда его внесли в комнату. Теплоемкость ведра пребрежь.

Ф650. Для получения напряжения, величины которого мало зависит от температуры, собранa схема по рисунку 1. Вольтметрные характеристики диода Д при трех различных температурах окружающей среды $t_1 = 125^\circ C$ , $t_2 = 25^\circ C$ , $t_3 = -60^\circ C$ приведе-

Из условия задачи следует, что во время движения конструкции между длинами $l_1, l_2, l_3$ отрезков $A_0A_1, A_0A_2, A_0A_3$ сохраняется соответствие

$l_1:l_2:l_3 = 3:5:6.$

Поэтому скорости точек $A_1, A_2, A_3$ соответствия

$|\vec{v}_{A1}|:|\vec{v}_{A2}|:|\vec{v}_{A3}| = 3:5:6,$

и следовательно,

$|\vec{v}_{A1}| = \frac{v_0}{2}, |\vec{v}_{A2}| = \frac{5v_0}{6}.$

Рассмотрим теперь движение среднего звена ( $A_1B_2A_2C_2$ ) в тот момент, когда углы конструкции прямые. В системе отчета, движущейся со скоростью $\vec{v}_{A1}$ , в этот момент скорость $\vec{v}'_{B2}$ точки $B_2$ направлена вдоль стороны $B_2A_2$ ; скорость точки $A_2$ направлена горизонтально и равна

$|\vec{v}'_{A2}| = |\vec{v}_{A2} - \vec{v}_{A1}| = \frac{v_0}{3}.$

Из условия нерактимости стержня $B_2A_2$ следует (рис. 2, а):

$|\vec{v}'_{B2}| = |\vec{v}'_{A2}| \sin 45^\circ = \frac{v_0 \sqrt{2}}{6}.$

Скорость точки $B_2$ относительно неподвижной системы отчета найдем, воспользовавшись теоремой косинусов (рис. 2, б):

$|\vec{v}_{B2}|^2 = |\vec{v}_{A1}|^2 + |\vec{v}'_{B2}|^2 + 2 \frac{\sqrt{2}}{2} |\vec{v}_{A1}| |\vec{v}'_{B2}| = \frac{17}{36} v_0^2,$

$|\vec{v}_{B2}| = \frac{v_0}{6} \sqrt{17}.$

С. Кротов

◆

Как видно из графика, первые 50 мин температура смеси не менялась и оставалась равной 0°С. Все это время тепло, получаемое смесю из комнаты, шло на тяние льда. Через 50 мин весь лед растал, температура воды начала повышаться. За 10 мин (от $\tau_1 = 50$ мин до $\tau_2 = 60$ мин) температура повышалась на $\Delta t = 2^\circ C$ . Тепло, поступившее к воде из комнаты за это время, равно $q = c_B M \Delta t = 8,4 \cdot 10^4$ Дж ( $M = 10$ кг — масса воды). Значит, за первые 50 мин смеси из комнаты поступило количество теплла $Q = 5q = 42 \cdot 10^5$ Дж. Это теплло и пошло на тяние массы $m$ льда: $Q = \lambda m$ . Таким образом,

$m = \frac{Q}{\lambda} \approx 1,23 \text{ кг}.$

А. Буздин

◆

Диод подключен к источнику последовательного с резисторами, сопротивление которых $R_{06\mu}$ = $5,2 \cdot 10^3$ Ом. Следовательно, в любой момент времени (при любой температуре) ток в цепи равен

$I = \frac{U - U_0}{R_{06\mu}}.$

где $U, U_0$ — значения напряжения на источнике и на диode в данной момент.

Построим на рисунке 2 графики зависимости $I(U_\pi)$ для трех различных температур:

$t_1 = +125^\circ C - U_{125} = 8,5 \text{ B}, \quad I_{125} = \frac{8,5 - U_{\pi,125}}{5,2} \text{ мА};$

$t_2 = +25^\circ C - U_{25} = 6 \text{ B}, \quad I_{25} = \frac{6 - U_{\pi,25}}{5,2} \text{ мА};$

$t_3 = -60^\circ C - U_{-60} = 3,875 \text{ B}, \quad I_{-60} = \frac{3,875 - U_{\pi,-60}}{5,2} \text{ мА}.$

Точки пересечения этих графиков с волтамперными характеристиками диода (для соответствующих температур) определяют значения напряжения на диode и ток в цепи при данной температуре. Из рисунка 2 находится (разумеется, приближенно):

$U_{\pi,125} = 0,77 \text{ B}, \quad I_{125} = 1,48 \text{ мА};$

$U_{\pi,25} = 0,8 \text{ B}, \quad I_{25} = 1 \text{ мА};$

$U_{\pi,-60} = 3,875 \text{ B}, \quad I_{-60} = 0,58 \text{ мА}.$

Соответствие значения напряжения $U_{AB} = U_\pi + I \cdot 0,2$ (В) между зажимами $A$ и $B$ —

$U_{AB,125} = 1,07 \text{ B};$

$U_{AB,25} = 1 \text{ B};$

$U_{AB,-60} = 0,94 \text{ B}.$

Таким образом, температурный коэффициент, характеризующий относительное (относительное $U_{AB,25}$ ) изменение напряжения $U_{AB}$ при изменении температуры от $-60^\circ C$ до $+125^\circ C$ , равен

$\alpha = \frac{\Delta U_{AB}}{\Delta t \cdot U_{AB,25}} \approx 7 \cdot 10^{-4} \text{ град}^{-1}.$

По сравнению с исходным температурным коэффициентом $\alpha_0 = \frac{25 \cdot 10^{-3}}{6} \approx 4 \cdot 10^{-3} \text{ град}^{-1}$ полученное значение $\alpha$ примерно в 6 раз меньше.

Подумайте, как надо изменить сопротивления резисторов, чтобы практически полностью скоппенсировать температурную несабильность источника.

А. Зильберман

Ф651. В научно-фантастической поверхности описывается аварийная ситuation, в котором астронавт массы $M = 100$ кг оказывается на расстоянии $l = 100$ м от корабля со стаканом замерзшей воды. Обеспечивая сублимарию (испарение) льда, астронавт возврашает на корабль. Реален ли такой способ возврашения? Оцените, за какое время астронавт возврашает на корабль. Считайте, что сублимария льда просходит при постоянной температуре $T = 272$ К. Давление насыщающих паров при этой температуре $p_H = 550$ Па. Универсальная газовая постоянная равна $R = 8,3 \times 10^3$ Дж/(кмоль·К). Размеры стакана и массу льда задайте самостояльно.

Если плотно закрыть стакан, то число молекул, падающих на поверхности льда в единицу времени, будет равно числу молекул, сублимариющих с поверхности (динамическое равновесие); при этом условия и изменено давление насыщающих паров $p_H$ . Оба указаны потока массы равны по модели $\frac{1}{6} \rho_H \bar{v} S$ (кг/c), где $\rho_H = p_H \mu/RT$ — плотность насыщенных паров, $S$ — плотность поверхности льда, $\mu$ — молярная масса льда, $\bar{v} \approx \sqrt{3RT/μ}$ — средняя скорость молекул, множитель $1/6$ (или, точнее, $1/4$ ) учитывает направленность движения «в одну сторону из шести возможных». Когда стакан открыть, поток улетающий молекул прежний, а возврашает молекул нет; давление терррь равно $1/2p_H$ . Оценим время полного испарения, подставляя начальную массу льда $m \approx 0,2$ кг, плотность стакана $S \approx 30$ см $^2$ , $\mu = 18$ кг/кмоль:

$\tau \sim \frac{m}{\frac{1}{6} \rho_H \bar{v} S} \approx \frac{6m}{p_H S} \sqrt{\frac{RT}{3\mu}} \approx \frac{6 \cdot 0,2}{550 \cdot 3 \cdot 10^{-3}} \sqrt{\frac{8,3 \cdot 10^3 \cdot 272}{3 \cdot 18}} \approx 150 \text{ c}.$

Заметим, что в результате времени испарения будет больше, так как веряностить для молекул, попавшей на поверхности льда, «приплитнуть» к ней, равна так называемому коэффициенту конденсации и, естественно, меньше 1; соответственно и в поток испарения должен быть введен множитель, меньше

Далое, возможно, не все молекулы, испарившись, могут сразу улететь на бесконечность; часть из них за счет столковенной в паровой фазе может вернуть назад. Таким образом, мы получили для времени испарения оценку сизу.

Пока лед испаряется, ускорение космонавта равно $a = p_H S/2M$ . За это время он пролетит расстояние $L = a\tau^2/2 \approx 100\text{ m} = l$ .

Учитывая приближенность наших оценок, можно сказать, что космонавт вернется на корабль за время $\gtrsim 100\text{ c}$ .

A. Стасенко

Ф652. Схема, изображенная на рисунке, состоит из двух одинаковых резисторов $R_2 = R_3 = R$ и двух одинаковых неполинейных резисторов $R_1$ и $R_4$ , волтемерная характеристика которых имеет вид $U = \alpha I^2$ , где $\alpha$ — неокотрий извечный постоянный коэффициент. При каком направлении источника питания $U_0$ сила тока через галванометр $\Gamma$ равна нулю?

Ф653. Некоторые элементы Z, соединены с батареей с ЭДС $\varepsilon = 10\text{ B}$ и внутренним сопротивлением $r = 10\text{ K}\Omega$ , подключает к внешнему источнику тока так, как показано на рисунке 1. Волтемерная характеристика такой цепи показана на рисунке 2 (черная кривая). Постройте волтемерную характеристику элемента Z.

Рис. 1. Рис. 2. $I_6(U)$

Ф654. Штатив массы M стоит на главном столе. К штативу на лекой нити длины l прикреплен шарик массы m. Нить отклоняет на малый угол a и отпускают (рис. 1). Нарип

Пусть через ветвь схемы течение tok I. Поскольку одинаковый и линейные, и неполинейные резисторы, в ветвях цепи текут одинаковые токи. Наряжение источника питания равно

$U_0 = IR + \alpha I^2.$

Так через галванометр равен нулю, когда потенциаль точки A равен потенциальу точки B. Поэтому

$IR = \alpha I^2 \Rightarrow I = \frac{R}{\alpha}.$

Подставив это значение тока в уравнение (*), найдем направление источника, при котором ток через галванометр равен нулю:

$U_0 = 2 \frac{R^2}{\alpha}.$

В. Скороваров

Построим волтемерную характеристику батареи. Согласно закону Ома для полной цепи, направление $U_6$ на батарее и ток $I_6$ , текущий через батарею, связаны соотношениям

$U_6 = \varepsilon - I_6 r.$

Поскольку элемент Z и батарея соединены параллельно, $U_6 = U_2 = U$ (U — направление внешнего источника).

На рисунке 2 волтемерная характеристика батарея — синяя прямая.

Ток $I_2$ , текущий через элемент Z, равен алгебраической разности $I - I_6$ . Для построения волтемерной характеристики элемента Z надо при каждом фиксированном значении направления $U$ найти значение $I_2$ вычитанием ordinаты $I_6$ соответствующей точки волтемерной характеристики $I_6(U)$ из ordinаты соответствующей точки волтемерной характеристики цепи.

На рисунке 2 волтемерная характеристика $I_2(U)$ — красная кривая.

В. Можаев

При малом угле отклонения α перемещение шарика мало отличается от горизонтального. В горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы, и импульс системы (точнее — проекция импульса на горизонтальном ось) остается постоянным — равным нулю. Следовательно, при движении шарика шатин движется в противоположную

соответствует график зависимости скорости шатива от времени. Столковенная шарка с основанием шатива абсолютно упругие.

Рис. 1.
$\begin{align*} |AO|: |OB| &= m : M; \\ A'O'|: |O'B| &= m : M \\ A'O'| + |O'B| &= l \end{align*}$

$\Rightarrow |O'B| = l \frac{M}{m+M}.$

Рис. 2. $\tau = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{l}{g} \frac{M}{m+M}}$ .

Ф655. В настоящее время используются соленoids со сверхпроводящей обмоткой. Такие соленoids могут dlительное время создаать магнитное поле без затраты энергии. Однако, если выделение каких-либо причины участок обмотки соленода утраит сверхпроводящие свойства, произойдет авария. На этом участке током будет выделяться большое количество теля и произойдет взрыв. Придумайте простейшее приспособление, исключайте подобные аварии (не пытайтесь придумывать какие-либо схемы с реле, размыкающим цепь, — они не помогут).

сторону; абсолютные значения $v$ и $u$ скоростей шарка и шатива (точнее — проекций соответствующих скоростей на горизонтальной ось) связаны соотношением

$mv = Mu.$

Центр масс системы (точка $O$ на рисунке 1) остается неподвижным; значит, неподвижной остается и точка $O'$ .

Таким образом, движение шарка — это колебания магнитка с длиной нити

$l' = |O'B| = l \frac{M}{m+M}$

(cm. рис. 1). Частота этих колебаний равна

$\omega = \sqrt{\frac{g}{l'}} = \sqrt{\frac{g}{l} \frac{m+M}{M}};$

скорость шарка —

$v = v_M \sin \sqrt{\frac{g}{l}} \frac{m+M}{M} t,$

где $v_M = \omega x_M = \sqrt{\frac{g}{l}} \frac{m+M}{M} l \sin \alpha$ — максимальное (по моему) значение скорости, $x_M = l \sin \alpha$ — амплитуда смеси шарка.

Воспользовавшись соотношением (*), найдем скорость шатива:

$u = \left( \frac{m}{M} \sqrt{\frac{g}{l}} \frac{m+M}{M} l \sin \alpha \right) \sin \sqrt{\frac{g}{l}} \frac{m+M}{M} t =$

$= u_M \sin \sqrt{\frac{g}{l}} \frac{m+M}{M} t.$

После каждого упругого соударения направления скоростей $v_M$ и $u_M$ меняются на противоположные (проверьте это).

График зависимости скорости шатива от времени приведен на рисунке 2.

А. Зильберман

◆

Простейший способ исключить аварию при утверге каким-либо участком обмотки сверхпроводящей связи — шутировать обмотку. Раньше в качестве шутов использовали массивные медные проводники, которые размешали снаружи обмотки.

В настоящее время сверхпроводящую обмотку делают из пучка тонких жил из сверхпроводника, заключенных в матрицу из металла с высокой электро- и теплопроводностью,— из меди или алюминия. При утверге каким-либо участком обмотки сверхпроводящих связи ток идет по массивному медному проводнику с малым сопротивлением.

Г. Мякшев