Лёгкое решение трудной проблемы

16

Легкое решение трудной проблемы

В конце прошло века английский математик Дж. Сильвестр поставил следующие проблемы:

Пусть $S$ — конечное множество точек на плоскости также, что не все его точки лежат на одной прямой. Обязательно ли существует прямая, на которой лежатрово две точки множество $S$?

Более сорока лет проблема Сильвестра оставалась нерешенной, а затем около получаются считалась очень трудной задачей. Но вдруг возникла следующая проблема идея.

Проведем всевозможные прямые через пары точки множество $S$ (быть может, на некоторых из них лежит больше двух точек). Расмотрим всевозможные расстояния от точки множество $S$ до проведенных прямых. Их — конечное число. Пусть $r$ — наименьшее из этих расстояний ($r > 0$). Возьмем ту точку $P$ и ту прямую $l$, расстояние между которых равно $r$. Докажем, что на прямой $l$ лежатрово две точки множество $S$.

Предположим, что на ней лежат три или более точки множество $S$. Опустим перепределкуляр из точки $P$ на прямую $l$; пусть $A$ — основание этого перепределкира (см. рисунок). Легко видеть, что $A \notin S$. Значит, на прямой $l$ по крайней мере с одной стороны от точки $A$ лежит не менее двух точек множество $S$; обозначаем две из них через $X$ и $Y$, причем пусть $X$ лежит близке к $A$, чем $Y$. Проведем теперь прямую через точки $P$ и $Y$. Очевидно, расстояние от точки $X$ до этой прямой меньше, чем расстояние от точки $P$ до прямой $l$, что противоречит выбору $P$ и $l$.

Следовательно, на прямой $l$ лежат лишь две точки множество $S$.

На рисунке 4 изображена «звездочка», соответствующая пятуюгольнику. На второй странице обложки журнала — «звездочка», соответствующая квадрату. Желающие могут нарисовать «звездочка», соответствующие другим правильным многоугольником, при этом в качестве точки $O$ не обязательно быть верхину на биссеktrисе угла. Получающие кривые также будут кусками улитки Паскаля, но ее «зубцы» уже не будут симметричными.

Заключение от редакции

Итак, А. Бабичев частчно решил задачу Колмогорова. Однако его решение ставит новый вопрос: существуют ли вы пуклые фигуры, отличные от круга, удовлевorioщие условия задачи? (Фигуры, полученные А. Бабичевым, все невелики.) Ждем ваших писем.

Легкое решение трудной проблемы

В конце прошло века английский математик Дж. Сильвестр поставил следующие проблемы:

Пусть $S$ — конечное множество точки на плоскости также, что не все его точки лежат на одной прямой. Обязательно ли существует прямая, на которой лежатрово две точки множество $S$?

Более сорока лет problema Сильвестра оставалась нерешенной, а затем около получаются считалась трудной задачей. Но вдруг возникла следующая проблема идея.

Проведем всевозможные прямые через пары точки множество $S$ (быть может, на некоторых из них лежит больше двух точек). Расмотрим всевозможные расстояния от точки множество $S$ до проведенных прямых. Их — конечное число. Пусть $r$ — наименьшее из этих расстояний ($r > 0$). Возьмем ту точку $P$ и ту прямую $l$, расстояние между которых равно $r$. Докажем, что на прямой $l$ лежатрово две точки множество $S$.

Предположим, что на ней лежат три или более точки множество $S$. Опустим перепределкуляр из точки $P$ на прямую $l$; пусть $A$ — основание этого перепределкира (см. рисунок). Легко видеть, что $A \notin S$. Значит, на прямой $l$ по крайней мере с одной стороны от точки $A$ лежит не менее двух точек множество $S$; обозначаем две из них через $X$ и $Y$, причем пусть $X$ лежит близке к $A$, чем $Y$. Проведем теперь прямую через точки $P$ и $Y$. Очевидно, расстояние от точки $X$ до этой прямой меньше, чем расстояние от точки $P$ до прямой $l$, что противоречит выбору $P$ и $l$.

Следовательно, на прямой $l$ лежат лишь две точки множество $S$.

Наша обложка

Поверхность причудливой формы, нарисованная на первой странице обложки, получена приемом, который уже описывался на страницах нашего журнала («Квант», 1980, № 10, с. 62): левые части уравнения трех эллипсонов.

ЭВМ ЕС-1030, выполняя чертеж по уравнению, показала два семейства линей на поверхности: их отсекают плоскости, расположенные через промежутки, параллельные координатным плоскостям $Oxz$ и $Oyz$. Получившиеся кусочки поверхности машина раскрасила в шахматном порядке.

Машина считала поверхность непрозрачной. На рисунке мы видим, таким образом, «внешнюю часть» поверхности. Подумайте — а что у нее «внутри»?