Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова

49

d=1 см, угол α=30°, удельный заряд электрона e/m=1,76·10¹¹ Кл/кг. На какое максимальное расстояние l удалится электрон от положительной пластины?

5. Над столом висит небольшая лампочка, расположенная в вершине конусаобразного абажура с углом при вершине Ф=60°. На пути лучей параллельно поверхности столом помещили плоскопараллельную стеклянную пластину с показателем преломления n=1,5. При этом диаметр светового пятна на столе уменшился на a=2 см. Какова толщина d пластины?

Математический и биологический факультеты

1. Цикл идеального газа состоит из двух изокор и двух изобар (рис. 3). Определите работу A, совершенную одним молем газа за цикл, если известно, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме, соответствующей температуре T, а температуры в точках 1 и 3 равны соответствующей T₁ и T₂.

2. На внешнем сопротивлении аккумулятора выделялась тепловая мощность P₁ = 10 Вт. Когда к концу этого сопротивления параллельно присоединили второй такой же аккумулятор, выделяемой мощность P₂ увеличилось ввое. Определите мощность P₃, выделяемого на сопротивлении, если параллельно присоединить третьий такой же аккумулятор.

3. Пройдяускоряющего разность потенциальов U=3,52·10³ В, электрон влегает в однородное магнитное поле с индукцией B(|B|=0,01 Тл) перpendикулярно линяем индукции и движется по окружности радиусом r=2 см. Вычислите отношение e/m заряда электрона к его массе.

4. С помощью тонкой линзы получают двухкратное увеличенное действительное изображение предмета. Затем линzy передвигают на a=10 см и получают минимое изображение такого же размера. Определите фокусное расстояние F линзы.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

5. У данного металла фотоэфект начинается при частоте света v₀=6·10¹⁴ Гц. Определите частоту v облучения металла, если вылетающие с поверхности металла фотоэлектроны полностью задерживаются сеткой, потенциаль которого относительно металла равен φ=3 В.

В. Бытев, С. Качин, Ю. Макаров, Г. Пынько

Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова

Matematika
Писменный экзамен

Matematiko-mеханический факультет
Вариант 1

1. Решить неравенство
   $$\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{x-\frac{1}{x^2}} \geq \frac{2}{x}.$$

2. При каких a>0 уравнение cos ax=1/4 имеетровно одно решение на отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]?$$

3. Пусть ABCD — квадрат единной площади, точки K и M лежат соответственно на продолжениях сторон [AD] и [BC], по одному стороны от прямой AB, |BM|=a+1, |CM|=a. Пусть L — точка пересечения прямых AM и BK, N — точка пересечения прямых DM и CK. При каком выборе точки K площадь четырехугольника KLMN имеет наименьшее значение?

4. Найти все пары действительных чисел x, y, для которых
   $$\log_{|x|} \cos 1 > \log_{y} \cos 1.$$

5. Пусть ABCA’B’C’ — прямая призма с основанием ABC и высотой |AA’|=h. Найти площадь сечения, проходящого через середины ребер [AB], [BB’] и [B’C’], если известно, что |AB|=|BC|=h, a ABC=90°.

Вариант 2 *)

1. Параллельные прямые l₁ и l₂ пересечены perpendикулярной им прямой l₃. Точка A удалена на расстояние a>0 от каждой из прямых l₁, l₂ и на расстояние b>0 от прямой l₃. Прямая l проходит через точку A и пересекает каждой из прямых l₁, l₂, l₃. Какое наименьшее значение может иметь

*) Этот вариант на факультете прикладной математики — процессов управления.

51

включены одинаковые сопротивления $R$ ($R < R_0$). При каком ток $I_0$ через батарею будет отсутствовать ток в галванометре $\Gamma$?

5. Теоретический вопрос. Почятие о волновых свойствах света.

Вариант В

1. Задача. В закрытый баллон емкостью $V = 24,9$ л, в котором при atmosферном давлении находятся $m_1 = 4$ г гелия, попала льдинка массой $m_2 = 1$ г, имеющая температуру $t_0 = 0^\circ C$. Каким будет давление гелия, когда льдинка растает? Газовая постоянная $R = 8,3$ Дж/(К·моль), удельная температура льда $\lambda = 3,3 \cdot 10^5$ Дж/кг. Стенки баллона не проводят и не поглощают тепло.

2. Задача. Через легкий, врашащийся без трения блок перекинит шнурок, массой которого можно пренебречь (рис. 2). На одном конце шнура высит груз массой $m_1$. По другому концу шнура скользит с направлением вниз постояным относительно шнураускорением $\vec{a}_2$ колюто массой $m_2$. Найдитеускорение $\vec{a}_1$ груза и силу трения $\vec{F}$ колюца о шнурок. Какую силу показет диамометр Д, если движение колюца относительно оси блока равномерное?

3. Задача. Точечный источник света $S$ находится в фокусе собирающей линзы, радиус круговой апертуры которого $a = 2$ см. Линзу разрезают пополам, и нижнюю половину ее помещают в плоскости второго фокуса — так, как показано на рисунке 3. Постройте изображение источника. Фокусное расстояние линзы $F = 3$ см.

4. Задача. Для регулярования напряжения на нагрузке собранна схема, изображенная на рисунке 4. Сопротивления нагрузки и регуляровочного реостата одинаковы и равны $R$. Нагрузка подключена к половине реостата. Во сколько раз изменится напряжение на нагрузке, если ее сопротивление уменьшить вдвое?

5. Теоретический вопрос. Основные положения молекулярно-kineticческой теории, ее опытное обоснование.

Задачи устного экзамена

Математiko-механический факультет и факультет прикладной математики — процессов управления

1. Математический матник длиной $l$ находится в поездаде, движущемся с постояннымускорением $\vec{a}$, направлением вправа. Каков перiod колебаний матника?

2. Когда газ, объем которого оставляется неизменным, нагрели на $\Delta T = 30$ K, его давление увеличилось на 10%. Какова начальная температура газа?

3. Два сосуда, содержащие одинаковую массу одного и того же газа, соединены трубкой с краном. В первом сосуде давление газа $p_1 = 4000$ Pa, а во втором — $p_2 = 6000$ Pa. Какое установится давление после открытия крана? (Температура газа постоянна.)

4. Определите напряжение наажимах источника питания, если он обеспечивает в цепи ток $I = 2$ А. Цепь состоит из двух параллельных включенных лампочек мощностью $P = 30$ Вт каждая. Потери мощности в проводах составляет 10% полезной мощности.