Bài toán

31

Bài tập

1. Bột được mang đến cửa hàng trong các túi. Được biết, bao thứ nhất, thứ hai và thứ ba chứa ít nhất 60 kg bột mì, bao thứ nhất, thứ hai và thứ tư - không quá 50 kg bột mì, bao thứ nhất, thứ ba và thứ tư - không quá 40 kg bột mì, bao thứ hai, thứ ba và thứ tư - không quá 30 kg bột mì. Có bao nhiêu bột trong mỗi túi?

2. Giải mã rebus HAI × HAI được hiển thị trong hình. Các chữ cái giống nhau tương ứng với các số giống nhau, các chữ cái khác nhau - các số khác nhau. Các dấu chấm có thể là bất kỳ số nào.

3. Ngày xửa ngày xưa, nhà toán học của triều đình, sau khi nhận được nguyện vọng một năm ở thalers giữa, đã sắp xếp các đồng xu thành chín cột không bằng nhau (xem hình) sao cho số lượng đồng xu trong các cột tạo thành một hình vuông kỳ diệu bậc ba*); Đồng thời, một số cột hóa ra khá cao, nhưng vẫn không có cột nào có thể chứa hơn ba trăm đồng tiền. Lúc đó nhà vua thích môn Toán; anh chỉ tiếc rằng tất cả các con số đều là hợp số. “Nếu Bệ hạ,” nhà toán học nói, “thêm 9 thaler nữa vào điều ước của tôi, tôi sẽ đặt một đồng xu khác vào mỗi cột, và khi đó hình vuông ma thuật sẽ được giữ nguyên, nhưng tất cả số đồng xu trong các cột sẽ là số nguyên tố.” Nhà vua vừa định tăng thêm niềm đam mê Toán học thì Jester cùng nhau nói chuyện. Anh ta lấy một đồng xu từ mỗi cột, và các số mới hóa ra đều là số nguyên tố (và hình vuông, tất nhiên, vẫn rất kỳ diệu!) Nhà toán học đã cộng các đồng xu của mình như thế nào?

Những nhiệm vụ này đã được cung cấp cho chúng tôi
V. Berezhnoy và B. Rublev
(học sinh lớp 9 trường Toán-Vật lý
tại KSU, Kiev),
A. Shvetsov, G. Shishkina

*) Một hình vuông 3×3 gồm chín số có tổng theo hàng, cột và đường chéo bằng nhau.

32

A. Kalinin

Sự kết nối tuyệt vời của những chiếc nhẫn này

«Kvant» đã nói về các vòng Borromean (A. Savin “Nhẫn Olympic” - «Kvant», 1980, Số 7). Đây là ba chiếc nhẫn đan xen vào nhau để chúng không bị tách rời, mặc dù cả hai chiếc nhẫn đều không được đính vào nhau. Chúng đã được biết đến từ lâu - sau khi chúng chiếm được trí tưởng tượng của những người sáng lập các gia đình cổ xưa ở Normandy, Burgundy và Lombardini đến mức họ đã đặt những chiếc nhẫn này vào quốc huy của họ. Theo gia đình yêu nước cổ xưa người Ý đến từ thành phố Milan, gia đình Borromeo, nơi các chiến binh đeo sọc gồm ba chiếc nhẫn đan xen vào nhau trên quần áo, những chiếc nhẫn này bắt đầu được gọi là nhẫn Borromeo. Và trên bia mộ của Michelangelo vĩ đại (xem trang thứ hai của trang bìa) có ba vòng hoa: nguyệt quế, ô liu và gỗ sồi, đan xen vào nhau như những chiếc nhẫn Borromean, tượng trưng cho ba loại hình nghệ thuật có mối liên hệ với nhau mà Michelangelo Buônarroti trở nên nổi tiếng, điêu khắc, hội họa và kiến ​​trúc. Sự đan xen tương tự của các con venks cũng được thể hiện trên một trong những huy chương được đúc để vinh danh Nghệ sĩ vĩ đại thời Phục hưng này (Hình 1).

Nhưng chúng tôi không quan tâm đến khía cạnh tự nhiên hay biểu tượng của vấn đề mà quan tâm đến khía cạnh toán học. Tại sao vòng Borromean không tách rời? Có thể móc số lượng vòng lớn hơn theo cách tương tự không? Nhẫn móc có ứng dụng hữu ích không? Hãy giúp chúng tôi trả lời những câu hỏi này

Hình 1.

Mô hình dây

Hãy làm những chiếc nhẫn Borromean từ dây (hoặc dây thừng) dẻo. Sau khi chọn một số hai vòng (ví dụ: đỏ và xanh), chúng tôi tách chúng ra khỏi nhau mà không uốn cong (Hình 2). Trong trường hợp này, vòng thứ ba (màu vàng) sẽ uốn cong, tạo thành thứ gì đó giống như một dấu ngoặc kép. Chiếc ghim này được lắp vào vòng màu xanh, còn chiếc vòng màu đỏ đóng vai trò như một chiếc khóa, ngăn chúng ta tháo chiếc ghim ra khỏi vòng màu xanh. Nhưng nếu bạn làm vỡ bất kỳ chiếc nhẫn nào, mọi thứ sẽ tan vỡ!

Hình 2.

33

Ảnh 1.

Chúng ta sẽ nói rằng bộ bánh xe dây tạo thành một sự gắn kết tầm thường nếu chúng không thực sự ăn khớp với nhau, nghĩa là chúng có thể tách rời khỏi nhau (được phép uốn cong và di chuyển chúng một góc, nhưng chúng không thể thẳng hàng). Nếu không, chúng tôi sẽ nói rằng số tiền đặt cược hình thành một sự tham gia không chính xác hoặc chúng đã được tham gia. Theo ngôn ngữ của những thuật ngữ này, chúng ta có thể nói về cổ phần Borromean rằng, thứ nhất, chúng bị cuốn hút và thứ hai,

Ảnh 2.

việc loại bỏ bất kỳ vòng nào sẽ dẫn đến một liên kết tầm thường.

Không khó để tạo ra sự đan xen của bất kỳ số lượng bánh xe nào có cùng đặc tính nếu bạn sắp xếp các vòng theo mẫu

Dây chuyền

Chuỗi trong Hình 3, a là sự tham gia tự nhiên và nổi tiếng nhất, nhưng cũng có thể có các lựa chọn khác (Hình 3, b, c). Có lẽ bạn có thể nghĩ ra một số lựa chọn mới?

Những chuỗi như vậy dễ thực hiện hơn nhiều so với những chuỗi thông thường. Thật vậy, trong một chuỗi thông thường, cần phải hàn các liên kết bên trong, trước đó đã gắn chúng với các liên kết lân cận, trong khi trong chuỗi của chúng ta, tất cả các liên kết (ngoại trừ hai liên kết cuối) đều được thực hiện độc lập. Không phải vô cớ mà thiết kế này của sản phẩm được sử dụng trong cuộc sống hàng ngày (chuỗi cửa - xem ảnh 2) và để trang trí (mặt dây chuyền cổ của các dân tộc vùng Kavkaz - xem ảnh 1).

Hình 3.

34

Hình 4.

Tất nhiên, dây chuyền rất hữu ích nhưng kém đẹp hơn nhẫn Borromean. Tuy nhiên, nếu bạn cố gắng làm thẳng các mắt xích của sợi dây để chúng phẳng trở lại, thì sợi dây sẽ mở ra thành những bông hồng xinh đẹp.

Hình 4,a và 4,b thể hiện các ổ cắm thu được tương ứng.

Vienna từ chuỗi 5 mắt xích và 12 mắt xích như trong Hình 3, a. Sử dụng dây màu, cố gắng chuyển từ dệt 3, a sang 4, b. Cố gắng lấy ổ cắm từ chuỗi 3, b và 3, c.

“Tấm thảm” thu được trong Hình 4, b, được dệt không phải từ một hoặc hai sợi mà từ 12 vòng khá lớn: việc loại bỏ bất kỳ vòng nào trong số chúng sẽ dẫn đến sự vướng víu tầm thường - trọng lượng của “tấm thảm” sẽ vỡ vụn. Từ hình cuối cùng, rõ ràng là số lượng vòng tạo nên “tấm thảm” có thể nhiều nhất có thể, tuy nhiên chỉ cần phá vỡ một (và bất kỳ vòng nào!) để “tấm thảm” vỡ thành các vòng riêng biệt.

Các công trình như vòng Borromean cũng có thể được sử dụng để chế tạo

Chuỗi thư

Ở đây chúng ta cần những người bảo vệ nhỏ và cứng; chúng có thể được đan xen theo những cách khác nhau (ví dụ, xem Hình 5, a và 5, b). Có thể có những lựa chọn thú vị khác. Nghĩ!

Lưu ý rằng, mặc dù cấu trúc trong Hình 5a dựa trên sự lặp lại mô hình các vòng Borromean, việc loại bỏ một thư không dẫn đến sự tan rã hoàn toàn của thư. Ví dụ: khi tháo chuỗi thư màu đỏ, chuỗi thư 5, a sẽ vỡ thành hai mảnh; tuy nhiên, nếu ở kolchuch-

Hình 5.

35

Hình 6.

Nếu có nhiều hơn ba hàng, việc tháo một vòng sẽ chỉ dẫn đến một lỗ nhỏ hoặc vết rách.

Chuỗi thư trong Hình 6, được tạo thành từ “dấu ngoặc kép”, hoạt động khác—khi bất kỳ dấu ngoặc nào bị loại bỏ, nó sẽ hoàn toàn sụp đổ!

Làm sao người ta có thể không nhớ đến hàng dệt kim hoặc tất nylon - chiếc vòng bị đứt và một mũi tên “bò” trên vải. Sẽ tuyệt vời biết bao đối với phụ nữ nếu những chiếc tất nylon không được làm từ một sợi chỉ mà từ nhiều vòng nhỏ, giống như trên chuỗi thư 5,a! Trong lời giải như vậy bài toán một nghiên cứu toán học về các vòng xích có thể giúp ích. Những câu hỏi này được giải quyết bởi một nhánh của toán học gọi là

Hình 7.

May topolos, hay đúng hơn là phần của nó - lý thuyết về nút thắt và bánh răng, kết hợp hình học tinh tế và đại số khéo léo.

Ví dụ, học sinh trung học đã đọc bài viết của O. Viro («Kvant», 1981, số 3) sẽ dễ dàng đưa ra một bằng chứng toán học chặt chẽ rằng các vành Borromean tạo thành một mạng lưới không hề tầm thường: chúng không có “màu sắc chính xác”.

Không đi sâu vào các phương pháp đại số phức tạp của khoa học này, tôi bắt đầu bằng cách mô tả các loại khác nhau thú vị mới. Do đó, những “liên kết mặt phẳng” tuyệt đẹp hiển thị trên trang đầu tiên của trang bìa «Kvant» Số 7, 1980, được A. Savin phát minh ra khá gần đây, mặc dù chúng dựa trên ý tưởng cổ xưa về các vòng Borromean. Điều này thật dễ hiểu bằng cách xem xét bản vẽ cuối cùng của chúng tôi (Hình 7).

Nếu chủ đề này làm bạn quan tâm, hãy gửi cho chúng tôi ý tưởng và bản vẽ của bạn.