Задачи

31

Задание

1. В магазина привезли муку в мешках. Известно, что в первом, втором и третьем мешках не менее 60 кг муки, первом, втором и четвертом — не более 50 кг муки, первом, третьем и четвертом — не более 40 кг муки, а во втором, третьем и четвертом — не более 30 кг муки. Сколько муки было в каждой мешке?

2. Расшифруйте ребус ДВА×ДВА, изобразенный на рисунке. Одинаковым буквам соответствует одинаковые цифры, разным — разные. Точки могут быть любыми цифрами.

3. Оdnажды придворный Математик, получив свое желание за год серед娠ными талерами, разложил монеты в девять неравных столбков (см. рисунок) так, что числа монет в столбках образовали магический квадрат треться порядка*); при этом неокоторые столбки получились довольно высокими, но все же столбка, который насчитывает бы больше трехсот монет, не было. Королю понравилась затем Математика; он только пожалел, что все числа получились составными. «Если бы Ваше величество, — сказал Математик, — добавило к моему желанию еще 9 талеров, я положил бы в каждой столбке еще по монете, и тогда сохранили бы магический квадрат, но все числа монет в столбках были бы уже простыми». Король совсем уже было собрался увеличить желание Математики, как в разговором вместе Шут. Он взял из каждой столбка по монете, и новые числа все оказались простыми (а квадрат, разумется, остался магический!) Как сложил свои монеты Математик?

Эти задания нам предложили
В. Бережной и Б. Рублев
(ученики 9 класса ФМШ
при КГУ, Киев),
А. Швецов, Г. Шишкина

*) Квадрат 3×3 из девятки чисел, суммы которых по строкам, столбцам и диагоналям одинаковы.

32

А. Калинин

Эта удивительная вязь колец

«Квант» уже рассказывал о колцах Борромео (А. Савин «Олимпийские колца» — «Квант», 1980, № 7). Это три колца, переплетенные между собой так, что их не расцеппились, хотя любые два из них не зацепплены. Известны они издавна — когда-то они так поразили воображение основателей древних родов Нормандии, Бургундии и Ломбардини, что те помещали эти колца в свои гербы. По древнему итальянскому роду патрицев из города Милана, роду Борромео, чьи воины носили на одежде нашивки из трех переплетенных колцез, эти колца и стали называть колцами Борромео. А на надгробье Великого Микеланджело (см. вторую страницу обложки) три венка: лавровый, оливковый и дубовый, переплетясь между собой, как колца Борромео, символизирует три взаимосвязанных вида искусства, в которых прославился Микеланджelo Буонарроти, скульптур, живопись и архитектуру. Такое же переплетение вenkов показано и на одной из медалей, отчеканенной в честь этого Великого художника эпохи Возрожжения (рис. 1).

Но нас интересует не естественное или символьческая сторона дела, а математическая. Почему колца Борромео не расцеппются? Можно ли аналогично зацеппить большее число колцез? Имеются ли у зацеппленных колцез полезные применения? Ответить на эти вопросы нам помогут

Рис. 1.

Проволочные модели

Изготовим колца Борромео из гибкой проволоки (или веревки). Выбрав какие-нибудь два колца (скажем, красное и синее), разведем их, не изгибая, друг от друга (рис. 2). При этом третье (желтое) колцо изогнется, образуется нечто вроде двойной скобы. Эта скоба вставлена в синее колцо, а красное колцо служит замком, не позволяет нам вынуть скобу из синего колцца. Но оборвешь любое колцо — все развалится!

Рис. 2.

33

Фото 1.

Будем говорить, что совокупность проводочных колес образует тривиальное зацепление, если они на самом деле не зацеплены, то есть их можно отделить друг от друга (разрешается их гнуть и как уголно двигать, но равь неельзя). В противном случае мы скажем, что кола образуют неправильное зацепление или что они зацеплены. На языке этих терминов мы можем о колых Борромео сказать, что, во-первых, они зацеплены и, во-вторых,

Фото 2.

удаление любого колца приводит к тривиальном зацеплению.

Нетрудно изготовить переплетение любого числа колес, обладающих тем же свойствам, если расположить колца в виде

Цепочки

Цепочка на рисунке 3, а — наиболее естественное и известное зацепление, но возможно и другие варианты (рис. 3, б, в). Можно быть, вы придумаете какой-нибудь новый вариант?

Подобные цепочки значительное проще изготовить, чем обычные цепи. Действительно, у обычной цепи приходится сваривать внутренние звены, предварительно зацепив их с соседними, в то время как у наших цепочек все звены (кроме двух концевых) изготовляются независимо. Недаром эта конструкция изделия применяется в быту (дверные цепочки — см. фото 2) и для украшения (древние подвески народностей Кавказа — см. фото 1).

Рис. 3.

34

Рис. 4.

Цепочки полезны, конечно, но менее красивы, чем колца Борромео. Однако, если звенья цепочки попробовать расправить так, чтобы они снова стали плоскими, то цепочки разворчиваются в красивые розетки.

На рис.хах 4,а и 4,б изображены розетки, полученные соответствующим образом.

Венно из 5-звенной и 12-звенной цепочки типа той, что на рисунке 3, а. Пользовать цветными проводами, попробyte осуществить переход от переплетения 3,а к 4,б. Постраайтесь получить розетки и из цепочки 3,б и 3,в.

«Коврик», получившийся на рисунке 4,б, сплетен не из одной или двух нитей, а из 12 довольно больших колцез: удаление любого из них приводит к тривиальнойзацепленню — вес «коврик» рассыпается. Из последнего рисунка видно, что количество колцез, из которых состоит «коврик», может быть сколь годно большим, и тем не менее достаточно разорвать одно (притом любое!) колцез, чтобы «коврик» распался на отдельные колцез.

Построения типа колцез Борромео можно использовать и для изготовления

Кольчуги

Здесь уже нужны маленькие, жесткие колчуки; переплетать их можно по-разному (см., например, рисунки 5,а и 5,б). Возможны и другие интересные варианты. Подумайте!

Заметим, что, хотя построение на рисунке 5,а основано на повторении рисунка колцез Борромео, удаление одного колчука не приводит к полному разпадению колчуги. Например, при удалении красного колчча колчуга 5, а распадается на два куска; впрочем, если бы в колчуч-

Рис. 5.

35

Рис. 6.

ге было больше трех рядов, удаление одного колечка привело бы лишь к небольшой дырке или разрыву.

Иначе ведет себя колчучга на рисунке 6, составленная из «двойных скобок» — при удалении любой из них она полностью рассыпается!

Как здесь не вспомнить трикотажные изделия или капроновые чулки — разорвалась петелька, и по ткани «поползла стрелка». Как хорошо было бы женщинам, если бы капроновые чулки делали не из одной нитки, а из множества мелких колечек, как на колчучге 5,a! В решении такой задачи может помочь математическое исследование哉епленной колец. Этими вопросами занимается ветвь математики, называем-

Рис. 7.

мая тополозей, вернее, ее раздел — теория узлов и зацепленный, сочетаюший в себе тонкую геометрию и остроумную алгебру.

К примеру, старшеклассики, прочитавшие статью О. Виро («Квант», 1981, № 3), без труда дадут строгое математическое доказательство того, что колца Борромео образуют нетривиальное哉епленение: они не имеют «правильной раскраски».

Не вникая в непростые алгебраические методы этой науки, начинаю с изображения новых интересных哉епленной разных типов. Так, красивые «зацепления плоскости», показанные на первой странице обложки «Квант» № 7 за 1980 год, придуманы совсем недавно А. Савиным, хотя они основаны на древней идее колц Борромео. Это легко понять, изучив наш последний рисунок (рис. 7).

Если эта тематика вас занighteрует, присылайте нам ваш соображение и рисунки.