Можно и без производной

36

Г. Перевалов

Можно и без произвольной

Преобразование графика

На вступительных экзаменах одному из абитурентов было предложено построить график функции $f(x) = 2\lg(x-1)$. Он, как рекомендует учебное пособие «Алгебра и начала анализа 9—10» (п. 27), нашел область определения функции $f$, вычислил произвольную $f'$, увидел, что она всюду на $D(f)$ положительная, сделал вывод, что функция $f$ на $D(f)$ возрастает, нашел точку пересечения графика с осью абсцисс, записал результаты исследования в виде таблицы и построил график (рис. 1, а).

Однако искомый график можно построить без всяких вычислений, если применить правила преобразования графиков, изложенные в конце упомянутого пособия («Материал для повторения», п. 9). Перечислим эти правила:

1. График функции $y=f(x)+B$ получается из графика функции $y=f(x)$ переносом $\vec{r}(0; B)$, то есть переносом параллельно оси ordinат на $B$ — вверх, если $B>0$; вниз, если $B<0$ (рис. 2).

2. График функции $y=f(x+b)$ получается из графика функции $y=f(x)$ переносом $\vec{s}(-b; 0)$, то есть переносом параллельно оси абсцисс на $-b$ — влево, если $b>0$; вправо, если $b<0$ (рис. 3).

3. График функции $y=A\cdot f(x)$ получается умножением каждой ordinаты графика функции $y=f(x)$ на $A$, то есть растяжением от оси абсцисс в $A$ раз, если $A>1$, и скатнем к оси абсцисс в $\frac{1}{A}$ раз, если $0<A<1$ (рис. 4).

3′. График функции $y=-f(x)$ получается симметрией графика функции $y=f(x)$ относительно оси абсцисс (рис. 5).

4. График функции $y=f(ax)$ получается скатнем графика функции $y=f(x)$ к оси ordinат в $a$ раз, если $a>1$, и растяжением от оси ordinат в $\frac{1}{a}$ раз, если $0<a<1$ (рис. 6).

4′. График функции $y=f(-x)$ получается симметрией графика функции $y=f(x)$ относительно оси ordinат (рис. 7).

Задно уже приведем два гораэдо менее важных, менее универсальных правил, которые могут пригодиться в «абитурентских» задачах:

5. График функции $y=|f(x)|$ совпадает с графиком функции $y=f(x)$ там, где $f(x) \geq 0$, и получается из него симметрией относительно оси абсцисс там, где $f(x) < 0$ (рис. 8).

6. График функции $y=f(|x|)$ при $x \geq 0$ совпадает с графиком функции $y=f(x)$; при $x<0$ он получается

37

симметрией «правой половины» графика функции $y=f(x)$ относительно оси ordinат (рис. 9).

Чтобы построить график функции $y=2\lg(x-1)$ метод преобразования графика, надо график функции $y=\lg x$ перевести параллельно оси абсцисс вправо на 1 и растянуть полученный график от оси абсцисс в 2 раза (рис. 1, б). Сравните, читатель, «общий» способ построения этого графика (см. начало статьи) с изложенным здесь. Неправда ли, этот намного приятнее!

Иногода, чтобы применить этот метод, надо сначала выражение, при помощи которого задана функция, преобразовать. Например, график функции $y=\frac{2x-3}{3x+5}$ легко стро-

38

Рис. 10.

Ится метод преобразования графика, поскольку
$$\frac{2x-3}{3x+5} = \left(-\frac{19}{9}\right) \cdot \frac{1}{x+\frac{5}{3}} + \frac{2}{3}.$$

Напишем «вспомогательную цепочку»:

$$y_1 = \frac{1}{x}$$
$$y_2 = \frac{1}{x+\frac{5}{3}}$$
$$y_3 = \frac{19}{9} \cdot \frac{1}{x+\frac{5}{3}}$$
$$y_4 = -\left(\frac{19}{9} \cdot \frac{1}{x+\frac{5}{3}}\right)$$
$$y_5 = \left(-\frac{19}{9}\right) \cdot \frac{1}{x+\frac{5}{3}} + \frac{2}{3}$$

Таким образом, нужный график получается из графика функции $y = \frac{1}{x}$ четырьмя последовательными преобразованиями: переносом парал-

Рис. 11.

Лельно оси абсцисс blevо на $\frac{5}{3}$, растяжением от оси абсцисс в $\frac{19}{9}$ раз, симметрией относительно оси абсцисс и переносом паралельно оси ординат на $\frac{2}{3}$ (рис. 10).

Метод преобразования графика подается очень широкий класс функций. Постройте, например, этим методом графики функции $y = \frac{1}{2x-2}$, $y = \lg(-x) + 2$, $y = 3\sin(2x-1) + 5$, $y = \sin^4x + \cos^4x$.

Не ошибитесь: график функции $y = f(ax+b)$ получается, конечно, переносом графика функции $y = f(ax)$ паралельно оси абсцисс, но переносом не на $-b$, а на $-\frac{b}{a}$ (почему?).

Правила преобразования графиков, перечисленные выше, позволяют сообщить, что если число $T$ является периодом функции $y = f(x)$, то периодом функции $y = A \cdot f(ax+b) + B$ является число $\frac{T}{a}$ из всех преобраз-

39

Действия над графиками

Иногда нужный график можно получить, произведя над «составляющим графиками» арифметические действия, указанные в формуле, задающей функцию.

Пример 1. Попробуем построить график функции $f(x) = x + \sin x$ с помощью ordinат графиков функции $y = x$ и $y = \sin x$ (рис. 11). Заметим, прежде всего, что функция $f$ — нечетная, и будем поэтому «складывать график» только при $x \ge 0$. Очевидно, там, где $\sin x > 0$, искомый график будет лежать над прямой $y = x$; на промежутках, на которых $\sin x < 0$, он будет лежать под этой прямой; в точках $x = \pi k$ ($k \in \mathbb{N}$) он будет пересекать ее.

На отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ оба слагаемых возрастают — значит, будет возрастать и их сумма $f$. Но на отрезке, скажем, $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ первое слагаемое возрастает, второе убывает — что будет с суммой $f$, не ясно. Без вычисления здесь не обойтись. $f'(x) = 1 + \cos x > 0$ всюду, кроме точек $x = \pi + 2\pi k$ ($k \in \mathbb{N}$). Значит, функция $f$ возрастает на $[0; +\infty]$.

Пример 2. Попробуем теперь построить график функции $f(x) = x \cdot \sin x$ умножением ordinат соответствующих графиков (рис. 12). Функция $f$ — четная, поэтому будет «переможать график» при $x \ge 0$.

Пример 15. На промежутке $[0; \frac{\pi}{2}]$ оба с помощью положительны и возрастают — значит, на этом промежутке будет возрастать и функция $f$. Но на промежутке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$ один из положительных с помощью реггет, второй убивает. Что будет с произведением? Если в предыдущем примере еще можно было обойтись без произвольной (доказатель без произвольной, что из $x_1 < x_2$ следует $x_1 + \sin x_1 < x_2 + \sin x_2$), то здесь это сделать вряд ли удался. Исследование произвольной ($f'(x) = \sin x + x \cdot \cos x$, $f'(x) = 0 \Leftarrow \mathrm{tg} x = -x$) показывает, что точки экстремума функций $f$ и $y = \sin x$ не совпадают (рис. 13).

Пример 3. График функции $f(x) = \frac{1}{\sin x}$ легко строится делением единиц на ordinаты функции $y = \sin x$ (рис. 14). Так же легко строится любой график вида $g(x) = \frac{1}{f(x)}$, если график функции $f$ известен (рис. 15).

Попробуйте аналогичным способом построить график функции $y = x + \lg x$, $y = 2^x \cdot \sin x$, $y = \frac{\sin x}{1 + x^2}$.