Замечательные пределы, порождаемые классическими средними

13

Замечательные предыды, порождаемые классическими средними

Для двух положительных чисел $a$ и $b$, как известно, средним арифметическим называется число $\frac{a+b}{2}$, средним геометрическим — число $\sqrt{ab}$. Режке, чем эти средние, встречается среднее гармоничское $\frac{2ab}{a+b}$ (ему равна, например, средняя скорость автоматчика, проехавшего первую половину пути со скоростью $a$, вторую — со скоростью $b$). Каждое из этих средних расположено между числами $a$ и $b$ (убедитесь в этом).

Легко проверяется справедливоность herавенств

$$\frac{2ab}{a+b} < \sqrt{ab} < \frac{a+b}{2}$$

для любых положительных $a \neq b^*$.

Мы заимемся здесь следующим вопросом. Пусть данные два положительных числа $a$ и $b$, $a < b$. Вычислив какую-нибудь пару средних этих чисел, получим числа $a_1$ и $b_1$. Затем для чисел $a_1$ и $b_1$ вычислим те же средние — получим числа $a_2$ и $b_2$. С ними повторим ту же процедуру и так далее. В результате получим последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$.

Например, взяв среднее геометрическое и среднее арифметическое и отправлясь от чисел 1 и 3, получаем

$$a_1 = \sqrt{3} \approx 1.732050808, \quad b_1 = 2;$$
$$a_2 \approx 1.861209718, \quad b_2 \approx 1.866025404;$$
$$a_3 \approx 1.863616006, \quad b_3 \approx 1.863617561;$$
$$a_4 \approx 1.863616784, \quad b_4 \approx 1.863616784;$$
и т. д.

Мы видим, что в нашем примере последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ очень быстро сбижаются. Всетда ли так будет? Оказывается, подобные последовательности всегда имеют общий предел — это доказывается сравнительно легко. Но как найти значение этого предела?

Арифметико-гармоничское среднее

Мы начнем со случай, когда выбранная пара средних — это среднее гармоничское и среднее арифметическое; таким образом, члены последовательностей $(a_n)$ и $(b_n)$ определяются формулами

$$a_{n+1} = \frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}, \quad b_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}$$

($n=0, 1, 2, \dots; a_0=a, b_0=b$).

Задача о нахождения их общего предела представляет на II командиной олимпиде школа города Омска («Квант», 1979, № 12).

Из неравенств (1) следует

$$a < a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_n$$

то есть последовательность $(a_n)$ возратает «навстречу» убивающей последовательности $(b_n)$.

Таким образом, обе последовательности монотонны и ограничены; следовательно, по теореме Вейерштраса («Алгебра и начала анализа 9», п. 32) они имеют предель $\alpha = \lim_{n \to \infty} a_n, \beta = \lim_{n \to \infty} b_n$. Перейдя к пределу в одном из равенств (2), получим

$$\beta = \lim_{n \to \infty} b_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n+b_n}{2} =$$
$$= \frac{1}{2} \left( \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n \right) = \frac{1}{2} (\alpha + \beta),$$

откуда $\alpha = \beta$: последовательности $(a_n)$, $(b_n)$ имеют общий предел. Этот предел называется арифметико-гармоничским средним чисел $a$ и $b$. Найдем его. Из (2)

14

$$a_{n+1} \cdot b_{n+1} = a_n \cdot b_n = \ldots = a_1 b_1 = ab,$$
позтому
$$a^2 = \left( \lim_{n \to \infty} a_n \right)^2 = \lim_{n \to \infty} a_n \times \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_n \times b_n = ab,$$
откуда
$$\alpha = \sqrt{ab} = \beta,$$
(арифметико-гариончское среднее совпадает со средним геометрическим).

Упражнение 1. Докажите, что $b_n - a_n < \frac{b-a}{2^n}$.

Таким образом, последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ достаточно быстро сходятся к $\sqrt{ab}$. Поэтому они могут оказаться полезными для приближенного вычисления квадратных корней. Для вычисления $\sqrt{c}$ нужно начиная последовательности $(a_n)$, $(b_n)$ с таких чисел $a$ и $b$, что $c = ab$ (например, $a = 1, b = c$), причем процесс будет сходиться тем быстрее, чем меньше разность между этим множительями (например, для вычисления $\sqrt{56}$ лучше быть не $a = 1$, $b = 56$, а $a = 7$, $b = 8$). Легко убедиться, что последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ получаются по формулам
$$b_{n+1} = \frac{1}{2} \left( b_n + \frac{c}{b_n} \right), a_{n+1} = \frac{c}{b_n}.$$
Для иллюстрации вычисления $\sqrt{12}$, положив $b = 4$. Получаем $b_1 = \frac{1}{2} \left( 4 + \frac{12}{4} \right) = 3,5$, $b_2 \approx 3,464285715$, $b_3 \approx 3,464101620$, $b_4 \approx 3,464101615$ и далее все знаки стабилизируются:
$$\sqrt{12} \approx 3,464101615.$$

Арифметико-геометрическое среднее Четырнадцатилетный Карл Фридрих Гаусс*) обнаружил на числовых примерах, что при вычислении последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ с помощью геометрических иарифметических средних:
$$a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}, b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$$

($n = 0, 1, 2, \ldots; a_0 = a, b_0 = b$) эти последовательности очень быстро сходятся с ближайшими.

*) Биографию «Короля математиков» и интересные сведения о его научной деятельности читатель найдет в статье С. Гиндикна «Карл Фридрих Гаусс» («Квант», 1977, № 8).

Упражнение 2. Докажите существование и совпадение пределов последовательности (3).

Этот общий предел называется арифметико-геометрическим средним чисел $a$ и $b$ и обозначается через $\mu(a, b)$. Найти явное выражение для $\mu(a, b)$ через $a$ и $b$ очень не просто. впервые оно было получено Гауссом в результате необсячайно оструемых и виртуозных расчудений и преобразований, использующих свойства так называемых эллиптических интерголов. Приведем это выражение без доказательства*):

$$\mu(a, b) = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}}.$$

Геометрическо-гариончское среднее

Если строить последовательности $(a_n)$ и $(b_n)$ с помощью средних грамонических и средних геометрических:
$$a_{n+1} = \frac{2a_n b_n}{a_n + b_n}, b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}$$

($n = 0, 1, 2, \ldots; a_0 = a, b_0 = b$),

то в этом случае легко доказать, что они сходятся к общему пределу. Назовем его геометрическо-гариончческим чисел $a$ и $b$ и обозначим через $\nu(a, b)$. Однако ничего существенного по сравнению с последовательностями (3) здесь нет, так как из (4) усматриваем, что
$$\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{a_n} + \frac{1}{b_n}, \frac{1}{b_{n+1}} = \sqrt{\frac{1}{a_n} \cdot \frac{1}{b_n}}.$$
Позтому
$$\frac{1}{\nu(a, b)} = \mu\left(\frac{1}{b}, \frac{1}{a}\right),$$
или же, в силу формулы Гауса.

*) Если это выражение использовать «в обратном направлении», получится быстро способ приближения вычисления интеграла, стоящего в знаменателе: он равен $\frac{\pi}{2\mu(a, b)}$, а среднее $\mu(a, b)$ вычисляется приближенно с помощью последовательностей $(a_n)$ и $(b_n)$. В наш век ЭВМ эти вычисления можно проводится с огромной скоростью и точностью.