Nhập học mới vào Malyi Mekhmat

54

Schnege trong lãnh thổ liên quan đến bất kỳ chi nhánh nào của VZMSH, gửi tác phẩm của họ theo chi nhánh; nếu được nhận vào, họ sẽ theo chương trình giống như những học sinh khác được nhận vào VZMSH. Địa chỉ các chi nhánh có thể tìm thấy ở «Kvant», 1979, số 2, tr. 59. Sinh viên sống ở phần còn lại của Liên Xô nộp tác phẩm của mình cho VZMSH theo địa chỉ: 117234, Moscow, V-234, Moscow State University, VZMSH, để tham gia cuộc thi.

Học sinh sống trong khu vực hoạt động chung của VZMSH và các chi nhánh của nó với MMMF - một khoa của VZMSH tại Khoa Cơ và Toán của Đại học Tổng hợp Moscow (xem bên dưới) chọn một trong những trường này theo ý riêng của mình.

Những học sinh không vượt qua cuộc thi tại VZMSH hoặc chi nhánh của VZMSH có cơ hội học tập theo nhóm “Tập thể sinh viên của VZMSH”. Mỗi nhóm như vậy là một nhóm toán học của trường, làm việc dưới sự hướng dẫn của giáo viên toán riêng theo chương trình VZMS. Việc tuyển sinh vào các nhóm này được thực hiện cho đến ngày 20 tháng 9 năm 1982 theo hai luồng: dành cho những người sẽ bắt đầu học lớp 8 từ tháng 9 năm 1982 và dành cho những người sẽ bắt đầu học lớp 9.

Các nhóm “sinh viên tập thể” được nhận vào VZMSH mà không cần kiểm soát công việc ban đầu. Để tổ chức một nhóm, chỉ cần có đơn đăng ký của giáo viên toán dẫn đầu vòng tròn, nêu rõ danh sách học sinh. Hồ sơ phải có xác nhận của giám đốc nhà trường và đóng dấu. Công việc của nhóm trưởng “Tập thể sinh viên VZMSH” có thể chi trả cho các trường theo yêu cầu của VZMSH là các lớp tự chọn. Đơn đăng ký phải được gửi đến VZMSH.

Kiểm tra đầu vào

1. Tìm số có bốn chữ số có dạng $a^{19b}$ (với các chữ số theo thứ tự $a, 1, 9, b$), thực hiện bằng 82.

2. Một hệ tọa độ hình chữ nhật $XOY$ được vẽ trên một tờ giấy, tờ giấy được uốn dọc theo một trục tọa độ, rồi dọc theo trục tọa độ kia, và tờ giấy được gấp làm bốn theo cách này được cắt bằng kéo dọc theo một đường gãy có các đỉnh tại các điểm (0; 1), (1; 4), (2; 2), (4; 1), (1; 0). Vẽ một “bông tuyết” mang tính giáo dục khi mở một tờ giấy và tìm diện tích của nó.

3. Được biết, $x+y+z=0$ và $xyz\neq 0$. Tính toán

$$\frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{xz} + \frac{z^2}{xy}.$$

4. Các điểm $A_1, B_1$ và $C_1$ lần lượt được lấy trên các cạnh BC, CA và BA của tam giác vuông đều ABC ($\hat{C}=90^\circ$). Đồng thời $|BA_1|:|A_1C|=|CB_1|:|B_1A|=|AC_1|:|C_1B|=2:1$. Chứng minh rằng các đoạn $C_1C$ và $B_1A_1$ có độ dài bằng nhau và vuông góc.

5. Có ba hợp kim. Loại thứ nhất chứa 40% đồng và 60% niken, loại thứ hai - 60% đồng và 40% canxi, loại thứ ba - 60% canxi và 40% niken. Từ chúng cần phải chế tạo ra một hợp kim mới nặng 1 kg chứa 40% canxi. Hàm lượng đồng thấp nhất mà hợp kim mới này có thể chứa là bao nhiêu?

6. Có thể cắt hai hình chữ nhật từ một tam giác sao cho tổng diện tích của chúng bằng hai lần diện tích của tam giác không?

7. Người ta biết về ba số mà nếu mỗi số

Cộng một trong số chúng với bình phương của tổng của hai số còn lại, sau đó mỗi lần bạn nhận được 1/2. Những con số này có thể là gì?

8. Hình vuông có chiều dài 1 cạnh được cắt thành 4 hình chữ nhật. Tổng chu vi của chúng có thể nhận những giá trị nào?

9. Có số tự nhiên $n$ sao cho tích $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$ của tất cả các số nguyên từ 1 đến $n$ có ​​kết thúc chính xác là 30 số 0 không?

10. Mười số được viết liên tiếp (trung bình của chúng có thể giống nhau). Sau đó, dưới mỗi số, chúng ta viết có bao nhiêu số trong chuỗi này nhỏ hơn nó và do đó chúng ta có được một chuỗi mới gồm mười số. Điều này có thể dẫn đến chuỗi: a) 9 00 2 5 3 6 3 6 6, b) 5 6 1 1 4 8 5 8 0 1?

11. Nhà của Andrey và Kolya được nối với nhau bằng một con đường thẳng tắp. Andrey đi nhanh hơn Kolya gấp rưỡi. Mỗi người trong số họ đạp xe nhanh gấp đôi tốc độ đi bộ, trong khi Andrey có thể đi bộ từ nhà đến Kolinoye trong 1 giờ. Vào lúc 12 giờ, cả hai cùng khởi hành từ nhà về phía nhau, và một trong số họ có một chiếc xe đạp (được phép để không có người trông coi). Sớm nhất là khi nào thì mỗi người trong số họ đã chào đón người kia vào nhà?

12. Có rất nhiều đồng xu tròn giống hệt nhau. Có thể phân tích trên một mặt phẳng: a) 1980, 6) 1981, c) 1982 trong số chúng sao cho mỗi số tiếp xúc với ba số còn lại? d) Có thể đặt một neoctor trên một mặt phẳng (một số lượng hữu hạn các đồng xu tròn giống hệt nhau sao cho mỗi đồng xu chạm vào bốn đồng xu khác? (Trong tất cả các điểm a) - d) các đồng xu không thể được đặt chồng lên nhau và đặt trên cạnh của chúng.)

Nhập học mới vào Malyi Mekhmat

Đối với học sinh thuộc các tầng lớp nông thôn sống trên lãnh thổ khu vực Châu Âu của RSFSR (trừ các khu vực Tây Bắc), ở Belarus và Kazakhstan, họ đang theo học vào Khoa Cơ học và Toán học Nhỏ (MMMF) - một trường toán tương ứng tại Khoa Cơ học và Toán học của Đại học quốc gia Moscow.

Chương trình MMMF nhằm mục đích đào sâu kiến ​​thức về các phần quan trọng nhất của chương trình học ở trường và phát triển ở học sinh khả năng sử dụng công nghệ để học toán

55

toán học, được biên soạn dưới sự hướng dẫn của các giảng viên. Chương trình này có tính đến các đặc điểm của kỳ thi tuyển sinh vào Khoa Cơ học và Toán học của Đại học quốc gia Moscow.

Các lớp học sẽ bắt đầu vào ngày 1 tháng 9 năm 1982. Đào tạo miễn phí. Thời gian đào tạo là ba năm. Một người học thành công tại Khoa Cơ và Toán nhỏ có thể được mời tham gia kỳ thi tuyển sinh miệng để được nhận vào trường nội trú số 18 tại Đại học quốc gia Moscow (xem «Kvant», 1979, số 1). Học sinh hoàn thành tốt tất cả các bài tập sẽ nhận được chứng chỉ hoàn thành từ MMMF.

Những người muốn đăng ký vào Cơ học nhỏ và Toán cơ học phải gửi lời giải càng nhiều càng tốt bài toán bài kiểm tra giới thiệu tới MIMF, được xuất bản bên dưới, không muộn hơn ngày 15 tháng 4.

Các sinh viên bán cổ điển sống ở Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Belarus, ở Astrakhan, Belgorod, Bryansk, Vladimir, Volgograd, Voronezh, Gorky, Ivanovo, Kalinin, Kaluga, Kostroma, Kuibyshev, Kursk, Lipetsk, Moscow, Orenburg, Oryol, Penza, Perm, Rostov, Ryazan, Saratov, Sverdlovsk, Smolensk, Tambov, Tula, Ulyanovsk, Chelyabinsk và Các vùng Yaroslavl, ở Bashkir, Dagestan, Kabardino-Balkarian, Kalmyk, Mordovian, Bắc Ossetian, Tatar, Udmurt, Chechen-Iggush và Chuvash ASSR, ở Lãnh thổ Krasnoarsk và Stavropol, đã giao công việc tại địa chỉ: 117234, Moscow, V-234, Đại học quốc gia Moscow, Cơ học và Toán học, MMMF. Học sinh đến từ Kazakhstan phục vụ MSU MMMF Tài chính Kazakhstan và phân công công việc tại địa chỉ: 480012, Alma-Ata, st. Kirova-Masanchi 47/39, Đại học Kazakhstan, Khoa Toán học, MMMF Tài chính Kazakhstan MSU.

Bài kiểm tra đầu vào phải được hoàn thành trong lớp học lồng ghép của học sinh. Một tờ giấy có thông tin sau được dán lên bìa của terradi:

1. Vùng (vùng, tài nguyên)
2. Họ và tên của học sinh
3. Lớp và trường (tên đầy đủ)
4. Họ, tên và họ của giáo viên dạy toán
5. Địa chỉ bưu điện đầy đủ

Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Belarus, vùng Minsk.
Ivanov Petr
Lớp 7 trường “A” số 13, Molodechno
Nikanorov Vladimir Alekseevich
220456, BSSR, vùng Minsk, Molodechno. St. Stroitel, 27, thích hợp. 171

6. Thông tin phụ huynh:
   cha - họ, tên và tên viết tắt, ông làm việc ở đâu và bởi ai
   mẹ - họ, tên và tên đệm, bà làm việc ở đâu và bởi ai

Ivanov Vasily Grigorievich, tài xế nhà máy ô tô số 1
Ivanova Maria Nikolaevna, y tá tại phòng khám số 10

Kết quả kiểm tra

Tác phẩm bao gồm một mảnh giấy 14 cm × 6 cm có ghi địa chỉ nhà.
Những người tham gia Olympic Toán có thể được nhận vào Malyi Mekhmat trên cơ sở đơn đăng ký (có dữ liệu 1-6) và một tài liệu xác nhận việc họ tham gia Olympic.

Đối với học sinh Moscow từ lớp 7–10, Trường Toán học Trẻ hoạt động tại Khoa Cơ học và Toán học của Đại học Tổng hợp Moscow (để biết thông tin, hãy gọi 139-39-43).

Bài tập cho bài kiểm tra đầu vào tại MIMF năm 1982

1. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{x^2}{x-1} \ge 0.$$

2. Có thể sắp xếp các số 1, 2, 3, …, 11, 12 trên một vòng tròn sao cho hai số liền kề bất kỳ khác nhau không?
   a) không nhiều hơn một;
   b) không quá hai?

3. Có bao nhiêu số 0 trong số 25? = 1 • 2 • 3 • … • 24 • 25?

4. Để có 16 quả chanh, bạn cần lập kế hoạch số lượng rúp mà bạn có thể mua chanh với giá một rúp. Một quả chanh giá bao nhiêu?

5. Chứng minh rằng tổng độ dài các đường chéo của một tứ giác lồi luôn nhỏ hơn chu vi của tứ giác đó.

6. Bảy chú lùn quyết định mỗi người sẽ tặng Bạch Tuyết ít nhất bảy bông tuyết vào ngày sinh nhật của cô. Khi tất cả các bông hoa được tặng, Bạch Tuyết nói rằng số lượng của chúng không vượt quá 50. Nghe vậy, chú lùn nhỏ nhất trong số các chú lùn ngay lập tức tuyên bố rằng mình có thể gọi tên chính xác số lượng bông tuyết được tặng. Mỗi chú lùn tặng Bạch Tuyết bao nhiêu bông hoa?

7. Tìm tổng tất cả các hệ số của đa thức thu được sau khi mở ngoặc trong biểu thức
   $$(x+2)(x+3)(x-5)(x-1)+4.$$