Bài toán độc giả của chúng tôi

39

trong phiên bản trò chơi “đá” của Gelfand: Tôi sẽ di chuyển một quân cờ xung quanh bàn cờ và lấy hoặc di chuyển các viên đá theo cách thích hợp. “Và tôi có thể đưa ra một quy tắc rất đơn giản,” Kolya nói. - Nhìn xem, ô bị mất là ô có cả hai “tọa độ” chẵn; các ô chiến thắng có ít nhất một “tọa độ” lẻ. Như vậy, trong trò chơi “đá” của Gelfand, chiến lược của người mới chơi rất đơn giản: anh ta phải lấy đá sao cho cả hai cọc có số đá chẵn và nếu mỗi cọc có số lẻ đá thì có thể thực hiện theo hai cách: lấy một viên đá từ mỗi cọc hoặc bằng cách di chuyển một viên đá từ cọc này sang cọc khác. “Nhưng đây chính xác là điều chúng ta không nên làm,” tôi nói, “vì vậy chúng ta sẽ chơi từng quân cờ từ cọc này sang cọc khác đến vô tận. Trong trường hợp này, bạn cần lấy hai viên đá, khi đó tổng số đá trong cọc sẽ giảm liên tục và người mới bắt đầu sẽ có thể chiến thắng, tất nhiên, nếu anh ta thực hiện nước đi đầu tiên đúng - trên sân (6, 6) - và sau đó bám sát chiến lược của chúng ta.

Như vậy, chúng tôi đã hoàn toàn hiểu được “trò chơi Gelfand”, và nếu vậy thì việc chơi nó không còn thú vị nữa. Một điều nữa là cờ vua! Có lẽ hàng triệu trò chơi đã được chơi ở đó nhưng chiến lược chiến thắng vẫn chưa được tìm ra. Nhưng có thông tin mới (từ các bài báo «Kvant», các khóa học tự chọn và tài liệu bổ sung).

Lời giải trong số bài toán này thường được đăng trên số tiếp theo của tạp chí.

Trong số này, chúng tôi mang đến cho bạn một số bài toán khó về đại số và số học số nguyên.

1. Chứng minh rằng số tạo thành 1980 cho 2 thì chia hết cho 1982. Gợi ý. Sử dụng Định lý nhỏ Fermat: nếu p là số nguyên tố và a không chia hết cho p thì ap^-1 - 1 chia hết cho p («Kvant», 1978, Số 10, trang 7 hoặc 1972, Số 10, trang 2).

S. Manukyan

2*. Chứng minh rằng nếu m! / n!(m—n)! chia hết cho p^r và p là số nguyên tố thì p^r ≤ m. Với m nào sự bình đẳng có thể đạt được?

V. Lev

3. Về đa thức 8x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d người ta biết rằng với mọi x từ khoảng [-1; 1] giá trị mô đun của nó không vượt quá đơn vị. Chứng minh rằng đây là đa thức Chebyshev T_4(x) (xem bảng 1 từ bài viết của N. Vasiliev và A. Zelevinsky ở trang 12). Gợi ý. Xét các giá trị của đa thức này tại x=0, ±1/√2, ±1/2, ±1.

O. Astakhov