Задачи наших читателей

39

в «каменный» варианте игры Гельфанда: буду передвигать фишку по доске и соответствием образом брать или перекладывать камни. «А я могу сормулировать совем простое правило, — сказал Коля. — Посмотри, проигрывшие клетки — это те, у которых обе «координаты» четные; у выигрыших же клеток хотя бы одна «координата» нечетна. Таким образом, в «каменной» игре Гельфанда стратегия у начинающего игрока очень простая: он должен брать камни так, чтобы в обеих кучках было четное число камней, причем, если в каждой кучке нечетное число камней, то это можно сделать двумя способами: либо взяв по одному камню из каждой кучки, либо переложив камень из одной кучки в другую. «А вот этого делать как раз не следует,— сказал я,— так мы и будем проигрывать камни по очереди из одной кучки в другую до бесконечности. В этом случае нужно брать два камня, тогда общее количество камней в кучках все время будет уменьшаться и начинающий сможет торжествовать победу, если, конечно, он сделает правильный первый ход — на поле (6, 6) — и далее будет придерживать нашей стратегии».

Таким образом, мы полностью разобрались в «игре Гельфанда», а раз так, то играть в нее стало не интересно. Другое дело — шахмат! Там сыграны, наверно, уже миллионы партий, а выигрышной стратегии пока так и не нашли. Зато в ные сведения (из статей «Кванта», факультативных курсов и дополнительной литературы).

Решения этих задач обычно помещаются в следующем номере журнала.

В этом номере мы предлагаем вам несколько трудных задач по алгебре и арифметике целых чисел.

1. Докажите, что число, составленное из 1980 двое, делится на 1982. Указание. Используйте Малую теорему Ферма: если p — простое число и a не делится на p, то ар^-1 — 1 делится на p («Квант», 1978, № 10, с. 7 или 1972, № 10, с. 2).

С. Манукян

2*. Докажите, что если m! / n!(m—n)! делится на p^r и p — простое число, то p^r ≤ m. Для каких m может достигаться равенство?

В. Лев

3. Про многочлен 8x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d известно, что для всех x из промежутка [—1; 1] его значения по модулю не превосходят единицы. Докажите, что это — многочлен Чебышева T_4(x) (см. таблицу 1 из статьи Н. Васильева и А. Зелевинского на с. 12). Указание. Рассмотите значения этого многочлена при x=0, ±1/√2, ±1/2, ±1.

О. Астахов