36
А. Савин
Камушки
и шахматная доска
(воспоминания
о летних каникулах)
Жарким юльским днем мы с Колей отправились на пляж. Вдоволь накупавшись, мы улеглись на песке загорать. Рядом с нами двое мужчин играли в шахматы. Естественно, мы точас начали обсуждать позицию на доске и подсказывать: я — одному, а Коля — другому. Но игроки были невозмутимы и на наш подсказки совершенно не реагировали. Отчаявшись превращить эту партию в шедевр шахматного искусства, мы стали думать, чем же нам заняться.
«А не сыгать ли нам в камушки?» — спросил у меня Коля. «Это что — подбрасывать и ловить?» «Да нет! — ответил он, — Гораздо интереснее! Для начала сыгаем в такую игру.
Имеется кучка камней. Мы по очереди берем по одному, по два или по три камня. Вы瑟ывает тот, кто берет последний камень».
Я решил играть так, чтобы у меня всегда было четное число камней, — и проиграл. Во второй партии я стал брать камни так, чтобы у меня все время было нечетное число камней, — и снова проиграл. Проиграть в третий раз мне очень не хотелось, и я решил попытаться понять смысл игры.
И в первый раз получилось так, что перед моим последним ходом вкуке оказалось 4 камня. Если я брал только один камень, Коля забирал остальные три. Если же я брал два или три камня, он забирал оставшиеся два или единственный последний камень.
Как же мне сделать, чтобы новь не оказаться перед четырьмя камнями? Оставлять ему 5, 6 или 7 камней нельзя: взяв 1, 2 или 3 камня, он вновь оставит мне 4 камня. А если я оставило ему 8 камней? Тогда уже он будет вынужден оставить мне 5, 6 или 7 камней, а я заставло его делать ход в ситуации, когда вкуке лежит 4 камня. И тут меня осенило! Если игрок получает на своем ходе кучку камней, количество которых делится на 4, то после любого его хода количество оставится на 4, а его партнер новь сможет сделать ход, приводя-
38
Рис. 3.
рошенько обдумывать позицию. Однако тут вернулись наши соседи, и нам пришлось, извивившись, вернуть им dockу с пешкой. «Не расстраивайся, — сказал мне Коля, — в эту игру можно играть и при помощи камушков».
Я тут же расчертил на песке квадрат, провел линия, деляшие его на 64 квадратника, а на угловое поле поставил камушек.
«Можно, конечно, и так, — сказал Коля, — но я имел в виду совем другое».
Он сложил две кучки камней, по 7 камней в каждой. «Будем по очереди брать камни: либо один камень из первого кучки, либо один камень из второго кучки, либо два камня — по одному из каждого кучки; а можно не брать камни, а переложить один камень из одной кучки в другую. Выпрывает тот, кто забирает последний камень».
«Не хочу я играть в твои дурацкие камни, — возмутился я, — давай играть в игру Гельфанда! Ты что — боншься?» «А это и есть та самая игра Гельфанда, — ответил Коля. — Вот смотри!» И он нарисовал на песке около начерченного мной квадрата цифры от 0 до 7 сначала вдоль одной стороны, а потом вдоль другой стороны, как на рисунке 3.
«Посмотри, что проискодит. Пусть фишка стоит на поле, скажем, (5;6), то есть на пересечении вертикали, помещенной цифрой 5, и горизонтали, помещенной цифрой 6 (см. рис. 3). Положим в стороне две кучки камней: в первой 5 камней, а во второй 6. В какие клетки я имею право перединуть фишку? В клетки (6; 5), (5; 5), (4; 5), (4; 6) и (4;7). Как из наших двух кучек, содержащих 5 и 6 камней, получить кучки, соответствующие новым положениями фишки? Очень просто! Чтобы получить положение (6; 5), нужно один камень переложить из второй кучки в первый; положение (5; 5) получается, если взять из второй кучки один камень; (4; 5) — если взять по камню из обеих кучек; (4; 6) — если взять один камень из первого кучки; наконец, положение (4; 7) получается, если один камень переложить из первого кучки во второй. Поскольку полезное поле занумеровано цифрами (7; 7), вначале в каждой кучке должен быть по 7 камней. Конечно же полезное занумеровано цифрами (0; 0) — в кучках не остается ни одного камня».
«А мне игра на шахматной доске нравится гораздо больше, — сказал я. — Вот смотри: клетка (0; 0) — проигрывшая в том смысле, что если ход мои, а фишка уже стоит в этой клетке, то я проигравал. А соседние с ней клетки (0; 1), (1; 1) и (1; 0) — выигрались. Тогда клетки (0; 2) и (2; 0) — проигрывшие, так как с них можноойти лишь на выигрышные клетки (на рисунке 4 проигрывшие клетки помещены буквой П, а выигрышные — знаком +). Продолжая эти расчужнения, я смогу для каждой клетки определить, выиграшная она или проигрывшая, — сказаю, заканчивая разметку полей квадрата (в результате получился рисунок 4). — Теперь я могу с тобой сыгать и