Электрические цепи с нелинейными элементами

41

Физика

Механика: 1970 — № 6, с. 39; 1971 — № 2, с. 44; № 5, с. 50; № 9, с. 47; № 11, с. 54; 1972 — № 3, с. 58; № 9, с. 51; 1973 — № 9, с. 68; № 11, с. 57; 1974 — № 3, с. 52; № 11, с. 60; 1975 — № 1, с. 60; 1976 — № 12, с. 40; 1977 — № 2, с. 50; № 3, с. 46; № 11, с. 77; № 12, с. 52; 1978 — № 3, с. 54; № 11, с. 48; № 12, с. 42; 1979 — № 10, с. 49; 1980 — № 3, с. 41; № 11, с. 38; № 12, с. 45; 1981 — № 1, с. 43; № 10, с. 47.

Жидкость и газы: 1972 — № 12, с. 53.

Молекулярная физика, тепловые явления: 1972 — № 5, с. 45; 1973 — № 1, с. 43; 1974 — № 1, с. 60; 1976 — № 3, с. 58; 1977 — № 6, с. 67; 1978 — № 1, с. 42; 1979 — № 1, с. 50; 1981 — № 2, с. 44; 1981 — № 11, с. 36; 1982 — № 12, с. 42.

Основы электродинамики: 1972 — № 2, с. 54; № 4, с. 62; № 6, с. 55; № 6, с. 59; № 7, с. 48; № 7, с. 51; 1973 — № 3, с. 50; № 7, с. 35; 1974 — № 5, с. 64; 1975 — № 4, с. 41; № 12, с. 51; 1978 — № 4, с. 42; № 5, с. 38; 1979 — № 2, с. 52; № 3, с. 45; № 4, с. 43; 1980 — № 6, с. 36; 1981 — № 7, с. 39.

Колебания и волны: 1974 — № 6, с. 31; 1976 — № 2, с. 51; 1981 — № 3, с. 46.

Оптика: 1971 — № 7, с. 41; 1977 — № 4, с. 50; 1979 — № 5, с. 39; № 6, с. 30; 1980 — № 4, с. 44; 1981 — № 5, с. 37; № 6, с. 45.

Кроме того, некоторые общим вопросам построения статики: 1970 — № 12, с. 50; 1972 — № 6, с. 62; № 10, с. 52; 1973 — № 4, с. 52; № 5, с. 43; № 7, с. 30; 1975 — № 5, с. 60; № 11, с. 50; 1978 — № 6, с. 65; 1979 — № 7, с. 41; 1981 — № 4, с. 40; № 9, с. 42.

В. Тугущев

Электрические цепи с нелинейными элементами

При расчете любой электрической цепи основная задача состоит в определении токов и напряжений на всех участках цепи. Связь между током и напряжением на каждом участке называется волтамперной характеристикой участка. Она обусловлена, с одной стороны, физическими процесами, произходящими при движении зарядов в веществе под действием электрического поля, а с другой — конструкцией самой цепи (то есть соединением ее элементов).

Простейшая линейная волтамперная характеристика имеет место, например, для металлического проводника:

$$U = IR,$$

где $R$ — коэффициент пропорциональноности между напряжением и током, называемый сопротивлением. Сопротивление определяется материалом, размерами и температурой проводника.

Существуют, однако, многочисленные устройства и элементы, физические и конструктивные особенности которых приводят к нелинейной зависимости между током и на

42

1. а. Изображим на этом же рисунке прямую (красная линия), задаваемую уравнением (*). Очевидно, что существует только одна точка пересечения этой прямой с волтамперной характеристикой нелинейного элемента, ей соответствует ток
   $$I_2 = 10 \text{ мА}.$$
   Задача 2. Найдите ток через резистор сопротивлением $R_0$ в схеме, изображенной на рисунке 2, а. Волтамперная характеристика диода (нелинейного элемента) приведена на рисунке 2, б.

Очевидно, что схема может работать в двух режимах: когда диод запрет и когда диод открыт.

Если диод запрет, ток течение последовательную цепочку резисторов с сопротивлениями $R_0$ и $R$, и он равен
$$i_1 = \frac{u(t)}{R_0 + R}.$$
Во втором случае, когда диод открыт и направление на нем равно $U_0$ и не меняется со временем, ток $i_1$ развивается в точках $A$ и $B$ так, что (см. рис. 2, а)
$$i_{II} = i_1 + i_2.$$
Кроме того, для различных участков схемы между точками $A$ и $B$ выполняется равенства
$$U_0 + i_1 R = i_2 R,$$
$$i_2 R = u(t) - i_{II} R_0.$$
Из последних трех уравнений найдем $i_{II}$:
$$i_{II} = \frac{2u(t) - U_0}{R + 2R_0}.$$
Тепер выясим, при каких условиях режимы I и II. Ясно, что в моменты открытия и запирания диода направление на участке $AB$ должно быть равно $U_0$, то есть
$$i_1 R = U_0,$$ или $$\frac{u(t) R}{R_0 + R} = U_0.$$
Отсюда следует, что при направлениях
$$u(t) = U_0 \frac{R_0 + R}{R}.$$
будет произходить смена режимов I и II. В частности, первая смена режимов произойдет в момент, когда
$$\cos \omega t = \frac{U_0}{U_M} = \frac{R_0 + R}{R} \left(U_M > U_0 \frac{R_0 + R}{R}\right).$$
График зависимости искомого тока от времени для $U_M = 300 \text{ В}, U_0 = 100 \text{ В}, R_0 = 10 \text{ кОм}$ и $R = 20 \text{ кОм}$ представлен на рисунке 2, в.
Задача 3. Ток I двухэлектронной лампы в определенном диапазоне

43

напряженный может быть связан с разностью потенциалов $U$ между электродами соответствием $I = aU + bU^2$ при $U > 0$ ($a, b > 0$) и $I = 0$ при $U \leq 0$. Две такие лампы включаны в цепь, как показано на рисунке 3. Параметры $a$ и $b$ для обих ламп равны соответствию $a_1 = 0,06$ мА/B, $b_1 = 0,008$ мА/B$^2$ и $a_2 = 0,04$ мА/B, $b_2 = 0,002$ мА/B$^2$. Считая $\mathcal{E} = 200$ В и $R = 10$ кОм, вычислите мощность, потребляемую лампами.

Искомую мощность $P_{\text{lamп}}$ можно найти из закона сохранения энергии $P_{\text{lamп}} + P_R = P_\mathcal{E}$.

Здесь $P_R = I_0^2 R$ — мощность, расходящая в резисторе ($I_0$ — ток, текущий через резистор и батарею), а $P_\mathcal{E} = \mathcal{E} I_0$ — мощность, отдаваемая батареей.

Согласно закону Ома,

$$I_0 = \frac{\mathcal{E} - U}{R}.$$

Кроме того (см. рис. 3),

$$I_0 = I_1 + I_2,$$

рис. 3.

Рис. 4.

где $I_1$ и $I_2$ — ток в первой и во второй лампах соответственно.

Из последних двух уравнений, используя связь между токами в лампах и напряжением на них, получим квадратное относительное $U$ уравнение

$$(a_1 + a_2) U + (b_1 + b_2) U^2 = \frac{\mathcal{E} - U}{R},$$

из которого найдем $U$:

$$U = \frac{-(a_1 + a_2 + 1/R)}{2(b_1 + b_2)} + \frac{((a_1 + a_2 + 1/R)^2 + 4 \mathcal{E}(b_1 + b_2)/R)^{1/2}}{2(b_1 + b_2)} \approx 35,8 \text{ В}.$$

Отрицательный корень квадратного уравнения отбрасывается, поскольку он не соответствует физическому смыслу задачи: при $U < 0$ лампы заперты и тока не проводят.

Тепер из закона сохранения энергии найдет искомую мощность $P_{\text{lamп}}$, потребляемую лампами:

$$P_{\text{lamп}} = P_\mathcal{E} - P_R = \frac{(\mathcal{E} - U) U}{R} \approx 0,6 \text{ Вт}.$$

Задача 4. Нарисуйте график зависимости тока в напряжке $I_{\text{вых}}$ от входного напряжения $U_{\text{вх}}$ в схеме, представленной на рисунке 4, а. Все диоды ($\varDelta I_1, \varDelta I_2, \dots, \varDelta I_n$) — идеальные, то есть их сопротивление в одном направлении неограниченно велико, а в другом — бесконечно мало.

Обозначим через $R$ ($R = 1000 \text{ Ом}$) сопротивление крайнего левого резистора (см. рис. 4, а), через $R/2$ ($R/2 = 500 \text{ Ом}$) — сопротивления всех остальных резисторов и через $\mathcal{E}(\mathcal{E} = 1 \text{ В})$ — ЭДС источника, включенного последовательно с перым диодом.

Пока напряжение на входе не превышает 1 В, все диоды заперты, и ток течет только по крайнему левому ветви схемы:

$$I_{\text{вых}} 0 = \frac{U_{\text{вх}}}{R} (U_{\text{вх}} < 1 \text{ В})$$

— по мере роста напряжения ток линейно нарастает.

Как только входное напряжение достигает 1 В, откроется перый диод, и через него появят ток, равный $\frac{U_{\text{вх}} - \mathcal{E}}{R/2}$. При этом зависящать

44

выходного, тока от напряжения на входе будет иметь вид

$$I_{\text{вых}} 1 = I_{\text{вых}} 0 + \frac{U_{\text{bx}} - \varepsilon}{R/2} = \frac{3U_{\text{bx}}}{R} - \frac{2\varepsilon}{R} \quad (1 \text{ В} \leqslant U_{\text{bx}} < 2 \text{ В}).$$

При дальнейшем росте напряжения на входе будет открытый для диоды $D_1$, $D_2$ и т. д. График зависимости тока $I_{\text{вых}}$ от напряжения $U_{\text{bx}}$ изображен на рисунке 4, 6.

Посмотрите внешательно на этот график, и вы увидите, что здесь по отрезкам прямых воспроизведена парабола. Так на примере данной задачи вы познакомились с работой свободного электронного устройства — функционального преобразования (квадратора). С помощью системы диодов, резисторов и источников тока он моделирует операцию возвления функции в квадрат. Подобные устройства применяются при электронном моделировании различных физических процессов.

Задача 5. Найдите связь между током и напряжением для металлического проводника с учетом зависимости его сопротивления от температуры. Скорость теплотдачи в окружающей среду считать пропорциональной разности температур проводника и среды.

Обчная связь между током и напряжением $U = IR$ предполагает, что сопротивление $R$, зависит от температуры, берется при температуре $T$ проводника. Но эта температура, вообще говоря, отличается от температуры $T_0$ окружающей среды. В результате между проводником и средой пропускит теплобмен, причем при небольшой разности температур $T - T_0$ количество тепловызда за время $\Delta t$, дается соответствием

$$\frac{\Delta Q_{\text{пер}}}{\Delta t} = C (T - T_0),$$

где $C$ — постоянный коэффициент пропорциональнойности.

Во время протекания тока проводник нагревается. (С микросопперской точки зрения это обусловлено стольновыми электронов, движущихся в проводнике под действием электрического поля, с количествомся нанами кристалической решетки, с различными дефектами и недорогостями.) Количество тепловызда в проводнике за время $\Delta t$, связано с током $I$ в проводнике, с сопротивлением $R$ проводника и с напряжением $U$ на нем:

$$\frac{\Delta Q_{\text{выд}}}{\Delta t} = I^2 R = \frac{U^2}{R_0 (1 + \alpha (T - T_0))}.$$

Здеся $R_0$ — сопротивление при температуре проводника $T_0$, $\alpha$ — температурный коэффициент сопротивления. (Если температура $T_0$ близка к $0^\circ C$ и разность $T - T_0$ мала, то зависимости сопротивления от температуры действительно можно представить в виде $R = R_0 (1 + \alpha (T - T_0))$.)

Нагрев проводника будет просходить до тех пор, пока скорость выделения тела в проводнике не сравняется со скоростью тепловызда в окружающей среду.

$$\frac{\Delta Q_{\text{выд}}}{\Delta t} = \frac{\Delta Q_{\text{пер}}}{\Delta t},$$

или

$$\frac{U^2}{R_0 (1 + \alpha (T - T_0))} = C (T - T_0).$$

Отсюда разность температур

$$T - T_0 = \frac{-R_0 C + (R_0^2 C^2 + 4 U^2 \alpha R_0 C)^{1/2}}{2 \alpha R_0 C},$$

и связь между током и напряжением имеет вид

$$I = \frac{U}{R_0 (1 + \alpha (T - T_0))} = \frac{U}{R_0 \left(1 + \frac{(R_0^2 C^2 + 4 U^2 \alpha R_0 C)^{1/2} - R_0 C}{2 R_0 C}\right)}$$

(отрицательное значение $T - T_0$ отбрасывается, так как оно не имеет физического смысла).

Проанализируем полученный результат. Нетрудно видеть, что при $U^2 \ll R_0 C / (4 \alpha)$ зависит также практические всегда, поскольку всегда мала поправка к сопротивлению, вызванная нагреванием.