Bài toán M801—M805; F813—F817

42

Bài toán

M801 — M805; F813 — F817

M801*. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ đẳng thức

$$[\sqrt{n}] + [\sqrt[3]{n}] + [\sqrt[4]{n}] + \ldots + [\sqrt[n]{n}] = [\log_2 n] + [\log_3 n] + [\log_4 n] + \ldots + [\log_n n]$$

([$x$] có nghĩa là phần nguyên của số $x$).

V. V. Kisil

M802. Trên các cạnh $AB$ và $BC$ của tam giác $ABC$, cũng như trên các cạnh huyền, các tam giác vuông $APB$ và $BQC$ có các góc độ lớn bằng nhau $\beta$ và đỉnh chung $B$ được dựng bên ngoài nó (xem Hình 1). Tìm các góc của tam giác $PQK$, trong đó $K$ là trung điểm của cạnh $AC$.

L. P. Kuptsov

M803. Tổng của hai số khác nhau $x$ và $y$ là một số tự nhiên, tổng nghịch đảo của chúng $1/x$ và $1/y$ cũng là một số tự nhiên. $x$ và $y$ có thể là gì?

R. A. Mazov, A. P. Savin

M804. Điểm $O$ là tâm trục của một hình trụ tròn đứng, $A$ và $B$ là các điểm đối xứng đường tròn của đường tròn đáy đáy hình trụ, $C$ là một điểm nào đó của đường tròn đáy trên không nằm trong mặt phẳng $OAB$. Chứng minh rằng tổng các góc nhị diện của một góc tam diện $OABC$ (với đỉnh $O$) là 2π.

I. K. Zhuk

M805*. a) Trên các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ của tam giác $ABC$, các điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$ lần lượt được chọn sao cho các đoạn $AA_1$, $BB_1$ và $CC_1$ cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng $S_{A_1B_1C_1} \leq S_{ABC}/4$.

b) Trên các mặt $BCD$, $CDA$, $BDA$, $ABC$ của tam giác $ABC$, các điểm $A_1$, $B_1$ lần lượt được chọn,

43

$C_1, D_1$ sao cho các đoạn $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng $V_{A_1B_1C_1D_1} \leqslant V_{ABCD}/27$.

R. P. Ushakov

F813. Ba thanh bản lề không trọng lượng có chiều dài $a$, mỗi thanh bản lề tại các điểm $A$ và $B$, nằm trên cùng một phương ngang (Hình 2); $|AB|=2a$. Một tải trọng lớn $m$ được treo trên bản lề $C$. Với lực tối thiểu tác dụng lên bản lề là bao nhiêu $D$ thanh giữa có giữ được vị trí nằm ngang không?

S. K. Strokov

F814. Một quả bóng có bán kính $R$ nằm trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn của một chiếc xe đẩy. Xe bắt đầu di chuyển với tốc độ $v_0$. Tìm hình chiếu ngang của vận tốc của quả bóng tại thời điểm nó chạm sàn.

A. R. Zilberman

F815. Đầu dưới của mao quản có bán kính $r=0,2$ mm và chiều dài $l=8$ cm được ngâm trong nước, nhiệt độ của nó không đổi và bằng $0^\circ C$. Nhiệt độ ở đầu trên của mao quản là $t_0=100^\circ C$. Nhiệt độ phụ thuộc vào hệ số sức căng bề mặt $\sigma(t)$ của nước đưa vào bàn. Nước dâng lên trong mao mạch đến độ cao bao nhiêu? Độ dẫn nhiệt của mao quản lớn hơn nhiều so với độ dẫn nhiệt của nước trong đó; trao đổi cơ thể với ảnh hưởng xung quanh có thể được bỏ qua.

A. I. Buzdin

F816. Trong mạch như hình 3, điện trở của các điện trở bằng nhau và bằng $R=60$ Ohm thì điốt là lý tưởng. Một cục pin có điện áp $U=12$ V sẽ được nối với các điểm $A$ và $B$ trong thời gian $t_1=1$ s. Sau đó, đảo ngược dải, anh ta nối pin với mạch điện trong thời gian $t_2=5$ s. Tìm nhiệt lượng tỏa ra trong mạch.

L. P. Bakanina

F817. Hình 4 thể hiện sự phụ thuộc của chiết suất $n$ vào tọa độ. Một chùm ánh sáng đơn sắc hẹp chiếu vào mặt phân cách giữa môi trường I và môi trường II. Ánh sáng truyền qua môi trường III với góc tới bằng bao nhiêu?

V. V. Mozhaev

46

M788. a) Trên biểu đồ $y = x^2$, các điểm $A$ ($a; a^2$) và $B$ ($b; b^2$) được bù đắp. Đặt giữa chúng một điểm $M(m; m^2)$ mà tổng diện tích của hai đoạn giới hạn bởi đồ thị và các đoạn $AM$ và $BM$ là nhỏ nhất.
b) Trên đồ thị, các điểm $A$ và $B$ được bù bởi hàm khả vi $y = f(x)$. Được biết, đồ thị và đoạn $AB$ giới hạn vật lý lồi. Giả sử $M$ là một điểm trên đồ thị nằm giữa $A$ và $B$ sao cho tổng diện tích của hai đoạn giới hạn bởi đồ thị và các đoạn $AM$ và $BM$ là nhỏ nhất. Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M$ song song với dây cung $AB$.

Trước tiên chúng ta hãy trình bày lời giải cho trường hợp tổng quát (điểm 6), sau đó áp dụng kết quả cho các hàm $f(x) = x^2$ (điểm a).

Vì theo điều kiện, đoạn $AB$, được giới hạn bởi đoạn $AB$ và đồ thị $y = f(x)$, là một hàm lồi nên diện tích của nó bằng tổng diện tích của tam giác $ABM$ và các đoạn $AM$ và $MB$ (xem hình). Do đó, nếu tổng diện tích của các đoạn $AM$ và $MB$ là nhỏ nhất thì diện tích của tam giác $ABM$ là lớn nhất. Chia tam giác này thành hai - $AM_1M$ và $BM_1M$ - bằng một đường thẳng $MM_1$, song song với trục tọa độ. Đặt $a, b$ và $m$ là hoành độ của các điểm $A, B$ và $M$, và, để định nghĩa, $a < b$. Sau đó

$$S_{ABM} = S_{AM_1M} + S_{BM_1M} = \frac{1}{2} (m - a) \cdot |MM_1| + \frac{1}{2} (b - m) \cdot |MM_1| = \frac{1}{2} (b - a) \cdot |MM_1|,$$

Giá trị quan trọng nhất của diện tích tam giác $ABM$ đạt được khi độ dài tối đa của đoạn $MM_1$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $l(x) = kx + c$ hàm tuyến tính có đồ thị là đường thẳng $AB$, sau đó là $|MM_1| = l(m) - f(m)$. (Chúng tôi giả sử rằng dây cung $AB$ nằm phía trên biểu đồ - xem hình; nếu không thì $|MM_1| = f(m) - l(m)$.) Theo định lý Fermat (xem Đại số và Phân tích 9-10, đoạn 26), tại điểm cực đại của hàm $g(x) = l(x) - f(x)$ giá trị tùy ý của nó bằng 0, tức là $g'(m) = l'(m) - f'(m) = 0$ và $f'(m) = l'(m) = k$. Nhưng $f'(m)$ và $k$ là các hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $y = f(x)$ tại điểm $M$ và đường thẳng $AB$, và sự bằng nhau của các hệ số góc hàm ý sự song song của các đường thẳng tương ứng.

Cụ thể, nếu $f(x) = x^2$, độ dốc của đường $AB$ bằng $(b^2 - a^2) / (b - a) = a + b$ và hàm tùy ý $f(x)$ tại điểm $m$ bằng $2m$. Hình được giới hạn bởi parabol và dây cung của nó, như dễ thấy, là hình lồi. Do đó, hoành độ của điểm $M$, trong đó tổng diện tích của các đoạn $AM$ và $MB$ là lớn nhất, thỏa mãn điều kiện $2m = a + b$, tức là điểm $M$ có tọa độ $(\frac{a + b}{2}; (\frac{a + b}{2})^2)$.

E. D. Moskovsky. Yu. V. Chinayaev

M789. a) 10 điểm chia vòng tròn thành 10 phần đấu bằng nhau, nối thành từng cặp bằng 5 dây. Có nhất thiết phải có hai hợp âm có cùng độ dài giữa chúng không?
b) * 100 điểm chia vòng tròn thành 100 trận đấu bằng nhau,

48

Rõ ràng, $F$ bảo toàn bộ ba đỉnh của bất kỳ tam giác đều nào có cạnh $r$. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $F$ cũng bảo toàn bốn đỉnh của bất kỳ hình thoi $ABCD$ nào có cạnh $r$ và đường chéo $|BD|=r$ (do đó nó suy ra: $|A'C'|=|AC|=\sqrt{3}$ cho $r=1$). Chứng minh rằng $C' \neq A'$ là đủ. Để làm điều này, hãy cùng xem xét hình thoi $ABCD$ hình thoi bằng nhau $AKLM$, sao cho $|CL|=r$ (Hình 3). Nếu $C'=A'$ thì $|C'L'|$ bằng 0 hoặc $\sqrt{3} r$, điều này là không thể, hoặc $|C'L'|=|CL|=r$.

Vì vậy, $F$ bảo toàn bộ tứ $ABCD$, và do đó là “mạng tam giác”, tức là tập hợp các đỉnh của các tam giác đều có cạnh $r$ bao phủ mặt phẳng và các tập hợp con của nó - một tập hợp nguyên các điểm trên một đường cách nhau một khoảng $mr$, $m=1, 2, \dots$ (Hình 4). Do đó $F$ bảo toàn khoảng cách $mr$.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh điều đó với hai điểm bất kỳ $X$ và $Y$ $|XY|-2r \leqslant |X'Y'| \leqslant |XY|+r$ (*)

(bất đẳng thức thứ hai cho $r=1$ là điểm 6) bài toán). Cho $(m-1)r \leqslant |XY|<mr$, trong đó $m$ là số tự nhiên. Sau đó, các điểm $X$ và $Y$ có thể được kết nối bằng một đường đứt nét $XX_1X_2\dots X_{m-1}Y$ từ $m$ bằng các liên kết có độ dài $r$ (Hình 5, a) và $|X'Y'| \leqslant |X'X_1'|+|X'_1X_2'|+\dots+|X'_{m-1}Y'|=mr \leqslant |XY|+r$. Mặt khác, nếu $X_m$ là một điểm trên đồng cỏ $XY$ sao cho $|XX_m|=mr$ (Hình 5, b), thì $|X_mY| \leqslant r$ và $|X'Y'| \geqslant |X'X_m'|-\dots|X'_mY'|$. Nhưng $|X'X_m'|=|XX_m|=mr$ và $|X'_mY'| \leqslant |X_mY|+r \leqslant 2r$, do đó $|X'Y'| \geqslant mr-2r \geqslant |XY|-2r$.

Cuối cùng, chúng tôi chứng minh rằng nếu $F$ bảo toàn khoảng cách 1, thì chúng tôi có thể chỉ định một khoảng cách nhỏ tùy ý $r$ được bảo toàn theo ánh xạ này. Từ đây, sử dụng các bất đẳng thức (*), ta sẽ suy ra các mệnh đề d) và e).

Xét tia $l$ có gốc $O$ và hai chuỗi điểm của nó $(A_m)$ và $(B_n)$: $|OA_m|=m, |OB_n|=n\sqrt{3}$, $m,n=1,2$, … Ánh xạ $F$, bảo toàn khoảng cách 1, bảo toàn, như chúng ta đã biết, từng chuỗi này. Hơn nữa, nó còn bảo toàn sự kết hợp của chúng, tức là các tia $O'A_m'$ và $O'B_n'$ trùng nhau. (Mặt khác (Hình 6), người ta có thể tìm thấy các cột $n$ sao cho $|A_m'B_n'|>2$ cho tất cả $m$. Đồng thời, $|A_mB_n| \leqslant 1$ cho một số $m$, rồi đến (*) $|A_m'B_n'| \leqslant 2$.) Theo đó, ánh xạ $F$ bảo toàn khoảng cách $r=|m-n\sqrt{3}|$ cho toàn bộ $m$, $n$. Vẫn còn phải áp dụng bổ đề quan trọng sau đây; trong số các số $|m-n\sqrt{3}|$ người ta có thể tìm thấy một số nhỏ hơn bất kỳ số dương nào $\varepsilon$. (Tuyên bố tương tự cũng đúng với tập hợp các số $|m-n\alpha|$, trong đó $m,n$ là số nguyên, với mọi số vô tỷ $\alpha$.) Để chứng minh điều đó, chỉ cần lưu ý rằng số $(2-\sqrt{3})^N$ có dạng $a_N-b_N\sqrt{3}$, trong đó $a_N$ và $b_N$ là số nguyên và với một số đủ lớn $N$ là một số nhỏ hơn $\varepsilon$.

Vì vậy, nếu $F$ giữ nguyên khoảng cách 1 thì các bất đẳng thức (*) được thỏa mãn với giá trị dương nhỏ tùy ý $r$. Do đó, $|XY| \leqslant |X'Y'| \leqslant |XY|(\text{пункты г})$ và e)), tức là $|X'Y'|=|XY|$ đối với hai điểm bất kỳ $X$ và $Y$. Nói cách khác, $F$ chỉ đơn giản là di chuyển mặt phẳng.

Chúng tôi để lại cho người đọc bài toán bằng chứng của một định lý tương tự trong không gian. (Lưu ý rằng ở đây cần có những ý tưởng mới, vì không thể thay thế không gian chỉ bằng các khối lập phương thông thường! Hãy thử chứng minh rằng nếu ánh xạ $F$ của không gian vào chính nó bảo toàn khoảng cách $r$, thì nó không chỉ bảo toàn một địa hình đều và một “lưỡng tháp” gồm hai địa hình, mà còn bảo toàn một hình bát giác đều có cạnh $r$.) A. Tyshchka, N. B. Vasiliev

F798. Một hòn đá được ném vuông góc xuống sông, vận tốc hiện tại bằng $u$, tính từ điểm $O$ trên bờ.

49

quy định. Tốc độ bề mặt của sóng trong nước là v. Sau bao lâu thì sóng tới điểm O sau khi đặt hòn đá lên nó, nếu hòn đá bị nén ở một khoảng cách L tính từ bờ?

thời gian t đường tròn bán kính R=vt (t=0 tại thời điểm hòn đá rơi). So với bờ biển, tâm của vòng tròn này—điểm A trong hình—chuyển động với tốc độ $\vec{u}$. Đến thời điểm t, khi sóng tới điểm O, điểm A sẽ di chuyển đến điểm $A'$, sau khi đi qua đường đi $|AA'|=u\tau$.

Chúng ta sẽ tìm được thời gian t từ điều kiện (xem hình)
$$L^2+(u\tau)^2=(v\tau)^2.$$
Từ đây
$$\tau=\frac{L}{\sqrt{v^2-u^2}}.$$
P. I. Zubkov

F799. Chiều cao của đài phun nước thẳng đứng tính từ đường ống ra của máy bơm là H. Cần thay đổi công suất máy bơm bao nhiêu lần để tổng chiều cao của đài phun không đổi sau khi nối một đường ống thẳng đứng có cùng đường kính có chiều cao h<H với đường ống ra của máy bơm?

Khối lượng nước chảy trong một đơn vị thời gian qua tiết diện ống xả của máy bơm bằng m=qvs, trong đó q là mật độ nước, v là tốc độ dòng nước chảy trong ống xả của máy bơm, s là diện tích mặt cắt ngang của ống. Công suất của máy bơm bằng năng lượng mà nước “mang đi” trong một đơn vị thời gian, nghĩa là bằng N=mv^2/2. Để nước trong đài dâng lên độ cao H thì tốc độ của nước ở độ cao tính từ đường ống phải bằng v=\sqrt{2gH}.

Vì vậy công suất bơm phải bằng nhau
$$N=\frac{mv^2}{2}=\frac{1}{2}qs(2gH)^{3/2}.$$
Chúng ta thu được biểu thức tương tự cho công suất trong trường hợp một ống bổ sung có chiều cao h được nối với ống đầu ra của máy bơm. Tốc độ nước “đầu ra” trong trường hợp này phải là $v'=\sqrt{2g(H-h)}$ và công suất phải là
$$N'=\frac{1}{2}qs(2g(H-h))^{3/2}.$$
Như vậy, để tổng chiều cao của đài phun nước không đổi thì công suất máy bơm phải giảm đi một lượng
$$k=\frac{N'}{N}=\left(1-\frac{h}{H}\right)^{3/2}.$$
P. I. Zubkov

F801. Ở trạng thái ban đầu, tâm của hai quả cầu có khối lượng m và bán kính R cách nhau một khoảng 10R. Trên một trong số chúng, điện tích +Q được phân bố đều, trên quả thứ hai - Q. Quả bóng thứ nhất được buộc vào bức tường ở xa bằng một sợi dây có thể chịu được lực căng đứt T. Quả bóng thứ hai tại một thời điểm nào đó

Lực căng điện cực đại giữa các quả bóng là $F_{\max}=k\frac{Q^2}{4R^2}$. Nếu $T<F_{\max}$ thì sợi chỉ sẽ đứt trước khi các quả bóng va vào nhau. Nếu $T\geq F_{\max}$ thì quả bóng liên quan sẽ đứng yên trước khi va chạm. Trước tiên chúng ta hãy nhìn vào $T<F_{\max}$.
Gọi khoảng cách giữa tâm các quả bóng là x tại thời điểm sợi chỉ đứt. Tại thời điểm này, lực tương tác Coulomb của các quả cầu có mô đun bằng lực căng của sợi dây T:

50

phát hành. Tìm vận tốc của hai quả bóng sau va chạm nếu va chạm hoàn toàn không đàn hồi. Các khoản phí không được phân phối lại.

$$k \frac{Q^2}{x^2} = T.$$ (1)

Kể từ thời điểm này, hệ hai quả bóng trở nên khép kín và tổng xung lượng của hệ không đổi.

Gọi $v$ là tốc độ của quả bóng bên trái tại thời điểm sợi dây bị đứt, và $u$ là tốc độ của quả bóng sau va chạm. Sau đó

$$mv = 2mu.$$ (2)

Tốc độ $v$ được tìm thấy từ định luật bảo toàn năng lượng:

$$-k \frac{Q^2}{10R} = -k \frac{Q^2}{x} + m \frac{v^2}{2}.$$ (3)

Giải các phương trình (1) - (3) cùng nhau, ta tìm được $u$:

$$u = \sqrt{k \frac{Q^2}{2m} \left( \frac{1}{Q} \sqrt{\frac{T}{k}} - \frac{1}{10R} \right)}.$$ (4)

Nếu $T \geqslant F_{\max}$, thì trong các đối số trước, chúng ta nên chấp nhận ngay $x = 2R$. Sau đó

$$u = \sqrt{\frac{0,2kQ^2}{mR}}.$$ (5)

G. V. Fedotovich

F802. Khối trụ dẫn nhiệt $m$, đóng ở hai đầu, được ngăn cách bởi một piston khối đứng yên $M$. Ở cả hai phía của pít-tông có một mol khí lý tưởng, nội năng của nó bằng $U = cT$. Với một cú đánh ngắn, hình trụ truyền tốc độ $\vec{v}$, hướng dọc theo trục của nó. Nhiệt độ của khí sẽ thay đổi bao nhiêu sau khi piston dao động? Không có ma sát giữa piston và xi lanh.

Gọi $u$ là tốc độ chuyển động của xi lanh và piston sau khi piston dao động ngừng hoạt động. Theo định luật bảo toàn động lượng

$$mv = (M + m) u \Rightarrow u = \frac{m}{M + m} v.$$ (6)

Giảm động năng của hệ -

$$\Delta K = m \frac{v^2}{2} - (M + m) \frac{u^2}{2} = \frac{Mm}{M + m} \frac{v^2}{2}$$

• là do sự chuyển phần $\Delta K$ của năng lượng này thành nhiệt và bằng độ tăng nội năng của khí trong xi lanh (ta coi nhiệt dung của xi lanh và piston không đáng kể so với nhiệt dung của khí). Vì piston, như lúc ban đầu, ở trạng thái cân bằng nên cả hai mol khí (ở bên phải và bên trái của piston) lại có cùng thể tích, áp suất và nhiệt độ. Vậy độ biến thiên nội năng của khí bằng

$$\Delta U = 2c \cdot \Delta T = \frac{Mm}{M + m} \frac{v^2}{2}.$$ (7)

Từ đây tìm được nhiệt độ của khí:

$$\Delta T = \frac{Mm}{M + m} \frac{v^2}{4c}.$$ (8)

G. V. Meledin