Задачи М801—М805; Ф813—Ф817

42

Задачи

M801 — M805; Ф813 — Ф817

M801*. Докажите, что для любого натурального $n$ выполнен равенство

$$[\sqrt{n}] + [\sqrt[3]{n}] + [\sqrt[4]{n}] + \ldots + [\sqrt[n]{n}] = [\log_2 n] + [\log_3 n] + [\log_4 n] + \ldots + [\log_n n]$$

([$x$] означает целую часть числа $x$).

В. В. Кисиль

M802. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ как на гипотенузах построены вне его прямоугольные треугольники $APB$ и $BQC$ с одинаковыми углами величины $\beta$ при их общей вершине $B$ (см. рис. 1). Найдите углы треугольника $PQK$, где $K$ — середина стороны $AC$.

Л. П. Купцов

M803. Сумма двух разнольных чисел $x$ и $y$ — натуральное число, сумма обратных к ним чисел $1/x$ и $1/y$ — тоже натуральное число. Какими могут быть $x$ и $y$?

Р. А. Мазов, А. П. Савин

M804. Точка $O$ — середина оси прямого кругового цилиндра, $A$ и $B$ — диаметрально противольные точки окружности нижнего основания цилиндра, $C$ — некоторая точка окружности верхнего основания, не лежащая в плоскости $OAB$. Докажите, что сумма двумгранных углов трехгранного угла $OABC$ (с вершиной $O$) равна 2π.

И. К. Жук

M805*. a) На сторонах $BC$, $CA$, $AB$ треугольника $ABC$ выбраны соответственно точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ так, что отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке. Докажите, что $S_{A_1B_1C_1} \leq S_{ABC}/4$.

б) На гранях $BCD$, $CDA$, $BDA$, $ABC$ треугольника $ABC$ выбраны соответственно точки $A_1$, $B_1$,

43

$C_1, D_1$ так, что отрезки $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ пересекаются в одной точке. Докажите, что $V_{A_1B_1C_1D_1} \leqslant V_{ABCD}/27$.

Р. П. Ушаков

Ф813. Три невесомых шарниро свазанных стержня длины $a$ каждый закреплен шарниро в точках $A$ и $B$, лежащих на одной горизонтали (рис. 2); $|AB|=2a$. К шарниру $C$ подвесили груз массы $m$. При какой минимальной силе, приложенной к шарниру $D$, средний стержень будет сохранять горизонтальное положение?

С. К. Строков

Ф814. На гладкой горизонтальной поверхности тележки лежит шар радиуса $R$. Тележка начинает движаться со скоростью $v_0$. Найти горизонтальную проекцию скорости шара в момент его удара об пол.

А. Р. Зильберман

Ф815. Нижний конец капилляра радиуса $r=0,2$ мм и длины $l=8$ см погружают в воду, температура которого постоянна и равна $0^\circ C$. Температура верхнего конца капилляра $t_0=100^\circ C$. Температура зависит козффициента поверхности натяжения $\sigma(t)$ воды приведения в таблице. На какую высоту поднимается вода в капилляре? Теплопроводность капилляра намного превосходит телопроводность воды в нем; телообменом с окружающим воздейством можно пренебреть.

А. И. Буздин

Ф816. В схеме, приведенной на рисунке 3, сопротивления резисторов одинаковы и равны $R=60$ Ом, диоды идеальные. Батарею, дающий напряжение $U=12$ В, подключит к точкам $A$ и $B$ на время $t_1=1$ с. Затем, поменяв полоса местами, подключит батарею к схеме на время $t_2=5$ с. Найти выделившееся в схеме количество теплоты.

Л. П. Баканина

Ф817. На рисунке 4 показана зависимость показателя преломления $n$ от координаты. Узкий монохроматический пучок света падает на границу раздела сред I и II. При каких углах падения свет проникает в среду III?

В. В. Можаев

46

М788. a) На графике $y = x^2$ отмещены точки $A$ ($a; a^2$) и $B$ ($b; b^2$). Надите между ними точку $M(m; m^2)$, для которого сумма площадей двух сегментов, ограниченных графиком и отрезками $AM$ и $BM$, наименьшая.
б) На графике дифференцируемой функцией $y = f(x)$ отмещены точки $A$ и $B$. Известно, что график и отрезок $AB$ ограничивают выпуклуо-физуру. Пусть $M$ — точка графика, расположенная между $A$ и $B$, для которой сумма площадей двух сегментов, ограниченных графиком и отрезками $AM$ и $BM$, наименьшая. Докажите, что касательная к графику в точке $M$ параллельна хорде $AB$.

Приведем сначала решение для общого случая (пункт 6), а затем применим результат к функциям $f(x) = x^2$ (пункт a).

Поскольку по условию сегмент $AB$, ограниченный отрезком $AB$ и графиком $y = f(x)$, — это выпуклая функция, его площадь равна сумме площадей треугольника $ABM$ и сегментов $AM$ и $MB$ (см. рисунок). Следовательно, если сумма площадей сегментов $AM$ и $MB$ минимальная, площадь треугольника $ABM$ максимальная. Разобъем этот треугольник на два — $AM_1M$ и $BM_1M$ — прямой $MM_1$, параллельной оси ordinат. Пусть $a, b$ и $m$ — абсциссы точки $A, B$ и $M$, причем, для определения, $a < b$. Тогда

$$S_{ABM} = S_{AM_1M} + S_{BM_1M} = \frac{1}{2} (m - a) \cdot |MM_1| + \frac{1}{2} (b - m) \cdot |MM_1| = \frac{1}{2} (b - a) \cdot |MM_1|,$$

позному наиболее значению площади треугольника $ABM$ достигается, когда максимальная длина отрезка $MM_1$. Обозначим через $l(x) = kx + c$ линейную функцию, график которого служит прямая $AB$, тогда $|MM_1| = l(m) - f(m)$. (Мы считаем, что хорда $AB$ расположена над графиком — см. рисунок; в противном случае $|MM_1| = f(m) - l(m)$.) По теореме Ферма (см. Алгебра и анализ 9-10, п. 26), в точке максимума функции $g(x) = l(x) - f(x)$ ее произвольная равна нулю, то есть $g'(m) = l'(m) - f'(m) = 0$ и $f'(m) = l'(m) = k$. Но $f'(m)$ и $k$ — это угловые коэффициенты касательной к графику $y = f(x)$ в точке $M$ и прямой $AB$, а из равенства угловых коэффициентов вытекает параллельность соответствующих прямых.

В частности, если $f(x) = x^2$, угловой коэффициент прямой $AB$ равен $(b^2 - a^2) / (b - a) = a + b$, а произвольная функция $f(x)$ в точке $m$ равна $2m$. Фигура, ограниченная параболю и ее хордой, как легко видеть, является выпуклой. Поэтому абсцисса точки $M$, для которого сумма площадей сегментов $AM$ и $MB$ максимальная, удовлетворяет условиям $2m = a + b$, то есть точки $M$ имеет координаты $(\frac{a + b}{2}; (\frac{a + b}{2})^2)$.

Е. Д. Московский. Ю. В. Чинаяев

M789. a) 10 точек, делящие окружность на 10 равных дуэг, попарно соединины 5 хордами. Обязательно ли среди них надугся две хорды одинаковой длины?
б) * 100 точек, делящие окружность на 100 равных дуэг,

48

Очевидно, что $F$ сохраняет тройку вершин любого правильного треугольника со стороной $r$. Докажем, что $F$ сохраняет также и четверку вершин любого ромба $ABCD$ со стороной $r$ и диагональю $|BD|=r$ (отсюда вытекает в): $|A'C'|=|AC|=\sqrt{3}$ при $r=1$). Достаточно доказать, что $C' \neq A'$. Для этого рассмотрим вместе с ромбом $ABCD$ равный ему ромб $AKLM$, такой что $|CL|=r$ (рис. 3). Если $C'=A'$, то $|C'L'|$ равно 0 или $\sqrt{3} r$, а это невозможно, либо $|C'L'|=|CL|=r$.

Итак, $F$ сохраняет четверку $ABCD$, а следовательно, «треугольную решетку», то есть множество вершин правильных треугольников со стороной $r$, покрывающих плоскость, и ее подмножества — целочкуту точек на прямой, отстоящих друг от друга на расстояние $mr$, $m=1, 2, \dots$ (рис. 4). Поэтому $F$ сохраняет расстояние $mr$.

Докажем теперь, что для любых двух точек $X$ и $Y$ $|XY|-2r \leqslant |X'Y'| \leqslant |XY|+r$ (*)

(второе неравенство при $r=1$ — это пункт 6) задачи). Пусть $(m-1)r \leqslant |XY|<mr$, где $m$ — натуральное число. Тогда точки $X$ и $Y$ можно соединить ломаной $XX_1X_2\dots X_{m-1}Y$ из $m$ звенев длины $r$ (рис. 5, а) и $|X'Y'| \leqslant |X'X_1'|+|X'_1X_2'|+\dots+|X'_{m-1}Y'|=mr \leqslant |XY|+r$. С другой стороны, если $X_m$ — такая точка луga $XY$, что $|XX_m|=mr$ (рис. 5, б), то $|X_mY| \leqslant r$ и $|X'Y'| \geqslant |X'X_m'|-\dots|X'_mY'|$. Но $|X'X_m'|=|XX_m|=mr$, а $|X'_mY'| \leqslant |X_mY|+r \leqslant 2r$, поэтому $|X'Y'| \geqslant mr-2r \geqslant |XY|-2r$.

Наконец, докажем, что если $F$ сохраняет расстояние 1, то можно указать и сколь угодно малое расстояние $r$, сохраняющееся при этом отображении. Отсюда, пользоваться неравенствами (*), мы выведем утверждение г) и д).

Рассмотрим луч $l$ с началом $O$ и две последовательности его точек $(A_m)$ и $(B_n)$: $|OA_m|=m, |OB_n|=n\sqrt{3}$, $m,n=1,2$, … Отображение $F$, сохраняющее расстояние 1, сохраняет как мы знаем, каждую из этих последовательностей. Более того, оно сохраняет и их объединение, то есть лучи $O'A_m'$ и $O'B_n'$ совпадают. (В противном случае (рис. 6) можно найти столбцов $n$, что $|A_m'B_n'|>2$ при всех $m$. В то же время $|A_mB_n| \leqslant 1$ при некоторых $m$, а тогда в силу (*) $|A_m'B_n'| \leqslant 2$.) Отсюда следует, что отображение $F$ сохраняет расстояние $r=|m-n\sqrt{3}|$ при всех целых $m$, $n$. Остается применить следующую важную lemma; среди чисел $|m-n\sqrt{3}|$ можно найти число, меньше любого положительного $\varepsilon$. (Аналогичное утверждение верно для множества чисел $|m-n\alpha|$, где $m,n$ — целые, при любом irrationalном $\alpha$.) Для доказательства достаточно заметить, что число $(2-\sqrt{3})^N$ имеет вид $a_N-b_N\sqrt{3}$, где $a_N$ и $b_N$ — целые, а при достаточно большом $N$ это число меньше $\varepsilon$.

Итак, если $F$ сохраняет расстояние 1, то неравенства (*) выполняются при сколь угодно малом положительном $r$. Следовательно, $|XY| \leqslant |X'Y'| \leqslant |XY|(\text{пункты г})$ и д)), то есть $|X'Y'|=|XY|$ для любых двух точек $X$ и $Y$. Другими словами, $F$ — это просто перемещение плоскости.

Оставляем читателем в качестве задачи доказательство аналогичной теоремы в пространстве. (Заметим, что здесь нужны новые идеи, поскольку одним правильными терраэдрами заместить пространство нельзя! Попробуйте доказать, что если отображение $F$ пространства в себя сохраняет расстояние $r$, то оно сохраняет не только правильный терраэд и составленную из двух терраэдов «бипирамиду», но и правильный октадр с ребром $r$.) А. Тыщка, Н. Б. Васильев

Ф798. В реку, скорость течение которого взделе равна $u$, из точки $O$ на берегу бросают камень перепикулярно без

49

регу. Скорость поверхности волн в воде равна v. Через какое время после nadения камня волна прудет в точку O, если камень уплотна на расстоянии L от берега?

времени t окружность радиуса R=vt (t=0 в момент падения камня). Относительно берега центр этой окружности — точка A на рисунке — движется со скоростью $\vec{u}$. К моменту времени t, когда волна прудет в точку O, точка A переместится в точку $A'$, пройдя путь $|AA'|=u\tau$.

Время t найдем из условия (см. рисунок)
$$L^2+(u\tau)^2=(v\tau)^2.$$
Отсюда
$$\tau=\frac{L}{\sqrt{v^2-u^2}}.$$
П. И. Зубков

Ф799. Высота вертикального водяного фонтана от уровня выходной трубы насоса равна H. Во сколько раз следует изменить мощность насоса, чтобы полная высота фонтана осталась прежней после подсоедения к выходной трубе насоса вертикальной трубы такого же диаметра с высотой h<H?

Масса воды, проходящей за единицу времени через сечение выходной трубы насоса, равна m=qvs, где q — плотность воды, v — скорость течение воды в выходной трубе насоса, s — площадь сечение трубы. Мощность насоса равна энергии, «уносимой» водой за единицу времени, то есть равна N=mv^2/2. Для того чтобы вода в фонтане поднималась на высоту H, ее скорость на высоте из трубы должна быть равна v=\sqrt{2gH}.

Следовательно, мощность насоса должна быть равной
$$N=\frac{mv^2}{2}=\frac{1}{2}qs(2gH)^{3/2}.$$
Аналогичное выражение для мощности получим в том случае, когда к выходной трубе насоса подсоединина дополнительная труба высоты h. Скорость воды «на выходе» в этом случае должна быть $v'=\sqrt{2g(H-h)}$, а мощность —
$$N'=\frac{1}{2}qs(2g(H-h))^{3/2}.$$
Таким образом, чтобы полная высота фонтана осталась прежней, мощность насоса надо уменьшить в
$$k=\frac{N'}{N}=\left(1-\frac{h}{H}\right)^{3/2}.$$
П. И. Зубков

Ф801. В исходном состоянии центры двух шаров с массами m и радиусами R разнесены на расстояние 10R. На одном из них равномерно распределен заряд +Q, на втором — Q. Первышар прязыван к удаленной стенке ниткой, которая выдерживает на разрыв натяжение T. Второй шар в некоторый момент

Максимальная сила электростанческого прятяжения между шарами равна $F_{\max}=k\frac{Q^2}{4R^2}$. Если $T<F_{\max}$, то нить оборвется до момента стокновения шаров. Если $T\geq F_{\max}$, то приязанный шар до стокновения будет находиться в состоянии покоя. Расмотрим сначала $T<F_{\max}$.
Пусть в момент обрыва нити расстояние между центрами шаров равно x. В этот момент сила кулоновского взаимодействия шаров равна по modulo силе натяжения нити T:

50

отпускают. Найти скорость шаров после соударения, если уdar абсолотно неупрузей. Заряды не перерасределяют.

$$k \frac{Q^2}{x^2} = T.$$ (1)

С этого момента система из двух шаров становится замкнутой, и полный имплус системы остается неизменным.

Пусть $v$ — скорость левого шара в момент обрыва нити, а $u$ — скорость шаров после столкновения. Тогда

$$mv = 2mu.$$ (2)

Скорость $v$ находится из закона сохранения энергии:

$$-k \frac{Q^2}{10R} = -k \frac{Q^2}{x} + m \frac{v^2}{2}.$$ (3)

Решая совместно уравнения (1) — (3), находим $u$:

$$u = \sqrt{k \frac{Q^2}{2m} \left( \frac{1}{Q} \sqrt{\frac{T}{k}} - \frac{1}{10R} \right)}.$$ (4)

Если $T \geqslant F_{\max}$, то в предыдущих рассужdenях следует сразу принять $x = 2R$. Тогда

$$u = \sqrt{\frac{0,2kQ^2}{mR}}.$$ (5)

Г. В. Федотович

Ф802. Закрытый с торцов теплопроводной цилиндр массы $m$ перегороден неодвижным поршнем массы $M$. С обеих сторон от поршня находится по одному молю идеального газа, внутренняя энергия которого равна $U = cT$. Коротким уdarом цилиндр сообщают скорость $\vec{v}$, направленную вдоль его оси. На сколько изменится температура газа после затухания колебанной поршня? Треня между поршнем и цилиндром нет.

Пусть $u$ — скорость, с которой движутся цилиндр и поршень после того, как колебанная поршня затухли. Согласно закону сохранения импульса

$$mv = (M + m) u \Rightarrow u = \frac{m}{M + m} v.$$ (6)

Уменьшение кинетической энергии системы —

$$\Delta K = m \frac{v^2}{2} - (M + m) \frac{u^2}{2} = \frac{Mm}{M + m} \frac{v^2}{2}$$

— обусловлено переходом части $\Delta K$ этой энергии в тепло и равно увеличению внутренней энергии газа в цилиндре (теплоемкость цилиндра и поршня считаем пренебрежimo мальми по сравнению с теплоемкостью газа). Поскольку поршень, как и вначале, оказался в равновесии, оба моля газа (справа и слева от поршня) вовь имеют одинаковые объем, давление и температуру. Таким образом, изменение внутренней энергии газа равно

$$\Delta U = 2c \cdot \Delta T = \frac{Mm}{M + m} \frac{v^2}{2}.$$ (7)

Отсюда находится температуры газа:

$$\Delta T = \frac{Mm}{M + m} \frac{v^2}{4c}.$$ (8)

Г. В. Меледин