Обман или заблуждение?

24

Обман или заблужение?

(Об одном способе вычисления π)

Доктор физико-математических наук
А. Н. ЗАЙДЕЛЬ

Как определить экпериментальное численное значение π? Наверное, проше всего взять нитку, измерить с ее помощью длину какой-нибудь окружности известного диаметра и разделить результат на длину диаметра. Оказывается, приближенно найти π можно и с помощью иолки … и теории вероятности. Такой способ придумал французский естественный пытается Jah. Л. Л. Бюффон (1707—1788)*. Воспследствии опит Бюффона не раз повторялся для проверки некоторых выводов теории вероятности (вернее, их применности на практике). Не обошлось при этом и без одного курзенного случая, о котором инойдет у нас речь. Но сначала расскажем, в чем состоит

Опыт Бюффона

Для его осуществления нужно немного: плоская горизонтальная поверхность с нанесенными на ней параллельными равностоями прямыми и илла. Расстояние между прямыми h и длина иллы l должны удовлетворять соответствию l≤h (рис. 1). Будем произвольным образом подбрасывать иллу над такой поверхностью, сообщая ей каждой раз небольшое врашение так, чтобы илла свободно padала с высоты

*) См. об этом также в заметеке А. Виленкина «Число «пи» и теория вероятности» (Квант, 1977, № 5).

Рис. 1.

25

осуществления того или иного события в достаточно длинных сериях экспериментов. Поэтому приближенное значение вероятности можно получить эмпирически, вычислив соответствующее частоту. (Тоchnым математическим выражением наблюдаемого в эксперименте стремления частоты к какому-то предельному значению (вероятности) служит так называемый закон больших чисел, доказанный в своей самой простой форме около трехсот лет назад Якобом Бернулли.) С другой стороны, методы теории вероятности во многих случаях позволяют использовать условий проведения эксперимента рассчитывать вероятности теоретически.

В конце статьи мы показем, как решается задача Биофона о нахождения вероятности $p$ того, что игра пересечет одну из линей. Ответ получается заменяемый:

$$p = \frac{2}{\pi} \frac{l}{h}!$$

A поскольку частота пересечения $m/n$ примерно равна этой вероятности, для приближенного вычисления $n$ имеем формулу

$$\pi \approx \frac{2l}{h} \frac{n}{m}.$$

(1)

Что показали эксперименты?

Tochnость приближения в формуле (1) будет тем выше, чем больше $n$, и на первый взгляд кажется, что, бросая иглу достаточно много раз, можно получить сколько углового точное значение $n$. Попробуйте проделать такой опыт и вы легко убедитесь, что получить этим способом для $n$ значения 3,1 довольно легко. Надежно получить следующее десятичный знак — 4 — уже значительное труднее.

В прошлом вке, когда теория вероятности зачастую рассматривалась как получсериментальная наука, такие опыты имели больше значения и веса тщательно ставились многоими учеными. Ниже приведется таблица, взята из курса теории вероятностей Б. В. Гнеденко.

В первой колонке даны фамилии учены, бросавших иглу, во второй — год проведения опыта, в третьей — число бросаний, из которого было определено $n$, и в последней — по-

лученное в результате опытов значение. В нижней строке таблицы данного значения $n$ с восемью знаками.

Сравним с этим числом экспериментальные значения. Числа в первых двух строках отличия от $n$ на 0,01—0,02. Число, полученное Фоксом, всего на 0,0003 больше $n$ — это удивительный результат, а вот число Лацарини лишь на 0,0000002 отличается от истинного значения. Это уже действительное — чудо, а чудеса бывают только в сказках.

Незбежность ошибок

Постараемся разобрать, что заставляет нас удивляться и, скажем откровенно, не верить в результат последнего опыта. Таких причины несколько. Первая — погрешности измерений. Для того чтобы получить из (1) точное значение $n$, нам необходимо точно знать величины $h$ и $l$, вернее, их отношение. Эти данные мы можем получить только в результате измерений. А погрешности измерений внесут свой вклад в погрешность определения $n$. Оценим эти погрешности. Пустьлина иглы будет 50 мм, такое же расстояние между линяями. Получясь обчными измерительными инструментами, например штанген-циркуль или линейкой с нонусом, сравнительно легко изменить обе нужные длины с точностью до 0,1 мм или 0,2%. Мы видим, что для любой из нужных нам длин расстояние 0,1 мм классет предел точности измерений*). Однако

*) В небольшим числе опытов (примерно 0,1—0,2% от общего числа бросаний) расстояние от конца иглы до прямой будет меньше 0,1 мм. В таких случаях глаз не разлияет, произойдет пересечение или нет. Это обстоятельство может ввести свою правда, малую по сравнению с другими погрешностями.

26

ко, применив более совершенные инструкции, можно все длины изменить с погрешностью 0,01 мм. Это уже практический предел — уменьшить погрешность до 0,001 мм в таком опите исключательно трудно — изменение температуры иглы или поверхности, на котором нанесены линии, на 1—2 градуса уже вызовет изменение размеров на величины около 0,001 мм. Деформация иглы при ударе о поверхности, стирание ее концов, деформация самой поверхности — все эти принципы делают проведение опита на уровень погрешности 0,001 мм нереальным. Поэтому, и не производя более детальных оценок, можно уверенно сказаать, что в описанных опитах число π могло определяться с погрешностью, не меняющей 0,2—0,02%. To есть в опитах с простым изменительным инструментом (с каким они обычно проводятся) можно ожидать значение π=3,141±0,006. При очень тщательно выполненных опитах можно расчитать на результат π=3,1416±0,0006. А получить для π из подобных опитаов величины с погрешностью в восмой значшей цифре так же невозможно, как нельзя взвести спичку на весах, предназначенных для взвшивания железнодорожных вагонах — сликом грузы инструменты.

Разумеется, при любом изменении следует оценить его точность и прибодить результат с тем количеством знаков, которое ей соответствует. Если мы получим для каждой-то величины A в результате изменений и вычислений значение A=2,474329, а точность изменительного прибора — 1%, то следует писать A=2,47, зачеркнуть все последующие цифры, которые отражают только точность нашего вычислительного устройства (современные, даже простейшие микрокалькуляторы всегда дают 6—8 десятичных знаков), а не результат реального опита. Выписьать в таких случаях все знаки, которые можно сосчитать, — это завершено пытается обманнуть себя и других, преувеличивая точность опита.

Однако в большой точности изменений вообще нет необходимости:

вплане достаточно изменять длины с погрешностью в 0,1 мм. Причина в том, что точность определяется отраслем с совершенной совершенной другими. «Вероятностным» по природа obstruction — невозможностью произвести достаточно число бросаний для того, чтобы приближенное равенство (1) надежно выполнялось с относительной погрешностью, меньше 0,01. Можно выяснить, с какой скорость убивает разница |$\frac{m}{n}-p$| между частотой данного события в серии из n испытаний и еговероятность при возниклении числа испытаний. Оказывается, для того чтобы увеличить точность приближенного равенства $\frac{m}{n} \approx p$ в N раз, число испытаний надо увеличивать в $N^2$ раз, другими словами, погрешность приближенного определения вероятности обратно пропорциональна квадратному корню из числа испытаний. Более точный расчет для опита Бюофона показывает, что при $h \approx l$ погрешность α значения π, которая более или менее надежно не будет превышена при n бросаниях иглы, можно оценить так:

$$\alpha \approx \sqrt{\frac{5}{n}}.$$

Если мы потребуем, чтобы α было не больше 0,02, то из формулы (2) получаем $n \approx 12000$. В опитах, прибеденных в таблице (кроме опита Фокса), проводилось от 3000 до 5000 бросаний. В соответствии с (2), α получается при этом несколько больше, то есть пример 0,025—0,030. Это находится в хорошо согласиении с результатами Вольфа и Смита. Пример такой же погрешность получается при ошибках изменения длины порядка 0,1 мм. Следовательно, нет оснований их изменять точнее, так как погрешности в каждом звене опита не должны существовать — нет смысла изменять длину иглы с точностью до 0,001%, если погрешность, связанная с ограниченной числа испытаний, приводит к ошибке конечного результата в 0,2%—0,3%. Выбор числа бросаний в 3000—5000

27

вполне оправдан. Однако испытание должно занять около 5 с (попробуйте бросать быстрее). При этом 10 000 бросов займут примерно 14 часов, то есть два полных рабочих дня. Если мы захотим получить результат в десять раз более точный, то, в соответствии с «законом 1/√n», нужно бросать в 100 раз долше — 200 дней, а это уже многого.

А вот для того, чтобы получить результат Лаццарини, погрешность которого составляет всего 0,0000002, нужно бросать иглу около 4 000 000 лет! (Разумеется, при соответствующей абсолотно нереальной точности измерения всех длин.) Так что, начав свой опыт в 1901 году и бросая до середнящего дня, Лаццарини был бы так же далек от опубликованного им результата, как и в день начала опыта.

Укажем еще один источник погрешностей в опытах такого рода. Для того чтобы верятность пересечения действительно равнялась теоретическому значению $p=2l/\pi h$, все положения упавшей иглы относительно линей на поверхности должны совершенно равноприравны, то есть ни одно из них не должно встречаться чаше других (более точную формулировку этого требования мы приведем при вычислении $p$). Есть все основания полагать, что в реальном эксперименте добиться этого трудно.

В связи со всем сказанным следует отметить, что число знаков, приведенных в таблице, неоправданно велико. Следовало оставить в первых двух строках четверной колонки 3,16, а в третьей — 3,14.

И все-tаки:
обман или заблудение?

Как же все-tаки объяснить полученный Лаццарини результат? Трудно предположить попытку создатьного обмана. Когда Лаццарини занимается бросанием иглы, закон больших чисел был хорошо известен и те расчеты, которые здесь приведены, мог проделать любой математик. Вероятно, никто из ученыхникогда серbezно этот результат и не воспринял, хотя его неодно-кратно публиковали. Приступая к опытам, Лаццарини должен был знать заранее, чего от них можно было ожидать. И, даже получив в результате аргументских упражнений приведенное им число, он не должен был публиковать такой фантастический результат, не подтвердив его повторной серей опытов. Мне кажется, что ему очень хотелось получить то, чего до него никакой получить не сумел. Такое список сильное желание иногда увлекается исследователя и заставляет принять желаемое за реализность.

Можно, конечно, предположить, что, бросая иглу, он после каждого испытания вычислил л и прекратил опыты после 3408 бросов именно потому, что как раз после такого числа испытаний он случайно получил приведенное им число. Разумеется, даже из 10 000 бросаний получить хотя бы один раз значения с точностью до $2 \cdot 10^{-7}$ очень мало верятно (вероятность этого примерного равна $10^{-3}$), но все же событие с такой вероятностью могло произойти. Если дело было действительным так, то Лаццарини не обманывает других, но обманул самого себя. К сожалению, и такое случается.

Будем удовлетворены тем, что, хотя результат опыта Лаццарини не подтвердил правильность выводов теории вероятностей (а скорее даже вступил с ним в противоречие, если уж воспринят его всегда), он последил нам еще один поводом для обсуждения того, как стороны нужно относиться к получаемым в опите результатам и их статистической обработке.

Решение задачи Бюффона

Нам остается объяснить, как числаяется вероятность пересечения иглы и одной из параллельных прямых в опите Бюффона. Обозначим расстояние от центра иглы до ближайшей прямой через $a$ ($0 \leq a \leq h/2$), а угол между иглей и прямой — через $\varphi$ ($0 \leq \varphi \leq \pi/2$). Тогда, как ясно из рисунка 1, $a$, условия пересечения иглы и прямой можно