Разложение на различные множители

37

Разложение на различные множители

В разложении натурального числа на простые множители, вообще говоря, совместели повторяются: $4 = 2^2$, $12 = 2^2 \cdot 3$ и т. п.

Обозначим через $B$ такое множество натуральных чисел, что каждое не входящие в $B$ натуральное число $n > 1$ можно и при этом единственным образом! — представить в виде произведения различных чисел из $B$.

1. Постройте такое множество $B$; докажите, что оно определяено однозначно. а) Какой вид имеет разложения на простые множители чисел из $B$? Обозначим через $b_n$ $n$-й по величине элемент множества $B$. Легко видеть, что $b_1 = 2$, $b_2 = 3$, $b_3 = 4$, $b_4 = 5$, $b_5 = 7$, $b_6 = 9$.

2. Расмотрим представления натуральных чисел в виде произведения чисел из $B$ (для чисел $b \in B$ будем считать таких представлениями равенства $b = b$). Например, $2 = 2$, $10 = 2 \cdot 5$, $12 = 3 \cdot 4$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $90 = 2 \cdot 5 \cdot 9$, $120 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$. Для $b \in B$ обозначим через $v_b(n)$ количество чисел, не превосходящих $n$, в упомянуте представление которых входит сомножителем $b$. Например, $v_2(2) = v_2(3) = v_2(4) = v_2(5) = 1$, $v_2(6) = v_2(7) = 2$, $v_2(8) = v_2(9) = 3$, $v_2(10) = 4$. Докажите, что для каждой $b \in B$ а) $\lim_{n \to \infty} \frac{v_b(n)}{n} = \frac{1}{b+1}$; б) есть бесконечно много таких $n$, что $\frac{v_b(n)}{n} = \frac{1}{b+1}$.

3. Положим $m < n$, если каждый множитель из вышеупомянутого представления числа $m$ входит в представление числа $n$. Например, $2 < 2$, $2 < 10$, $30 < 120$, но не $30 < 90$. Положим также $1 < n$ для всех $n$. Сколько существует таких $m$, что $m < n$, если $n$ раскладывается в произведение числа $k$ чисел из $B$? Наозем число $n$ гармоничным, если оно равно сумме всех $m < n$ таких, что $m < n$. Например, числа 6 и 90 гармоничны: $6 = 2 \cdot 3 = 1 + 2 + 3$, $90 = 2 \cdot 5 \cdot 9 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 + 18 + 45$. а) Найдите еще несколько гармоничных чисел (автору неизвестно, конечной или множество). б) Докажите, что любое гармоничное число четно. В найдите числа, являющиеся одновременно гармоничными и совершенными.

В. С. Шевелев