Новые книги

28

Записать в виде

$$a \leq \frac{l}{2} \sin \varphi.$$

Какому возможно результат нашего эксперимента отвечает точка на плоскости с координатами $(a; \varphi)$, лежащая внутри прямогольника, ограниченного координатами осями и прямыми $a = \frac{h}{2}$ и $\varphi = \frac{\pi}{2}$ (рис. 2).

Точки прямогольника, лежащие под кривой $a = \frac{l}{2} \sin \varphi$, соответствуют следующим пересечения иглы с прямой: точки, лежащие выше этой кривой — случая, когда пересечение не имеет места. Теперь задачу можно сформулировать так: в прямогольнике $\{0 \leq \varphi \leq \pi/2; 0 \leq a \leq h/2\}$ наведывается точка; какова веряность того, что эта точка оказывается под синусоидой $a = (l/2) \sin \varphi$?

Слово «наугад» заменяет здесь требование равноправности*) всех положений уравнений иглы. Его строий смысл можно обязывать по-разному. Проще всего сказать, что веряность попадания выбранной точки в любой квадрат $\{\varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2; a_1 \leq a \leq a_2\}$ ($\varphi_2 - \varphi_1 = a_2 - a_1 = d$) с данной стороны не зависит от положения этого квадрата внутри прямогольника (хотя, разумеется, зависит от длины $d$ его стороны).

Например, веряность того, что точка оказывается внутри квадратов $K_1$ или $K_2$ на рисунке 2, одинаковы. Отсюда нетрудно вывести, что веряность попадания внутри любой фигуры, лежащей в нашем прямогольнике, пропорциональна ее площади, и, следовательно, равна относению этой площади к площади всего прямогольника.

В частности, площад кривой новой трапеции, ограниченной расматриемой синусоидой, равна

$$S_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{l}{2} \sin \varphi d\varphi = \frac{l}{2} \left( -\cos \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\cos 0 \right) = \frac{l}{2}.$$

А так как площад $S$ прямогольника равна $\pi h/4$, для исключения получения значения

$$p = \frac{S_1}{S} = \frac{2l}{\pi h}.$$

*) Мы предопчитаем не говорить о «равноверяности», потому что веряность того, что угла займет какое-то точное фиксированное положение попросту равна нулю.

Рецензии, библиография

Новые книги

В 1984 году издательство «Наука» предполагает выпустить в серии Библиотечка «Квант» следующие книги (цена каждой книги 40 к.):

1. В. В. Брагинский, А. Г. Полнарев. Удивительная гравитация.

2. Г. С. Воронов. Штурм термоядерной крепости.

3. В. И. Гольданский, Р. П. Кузьмин. Эффект Мёссбауэра.

4. В. Н. Дубровский, Я. А. Смородинский, Е. Л. Сурков. Релятивистский мир.

5. В. А. Займовский, Т. Л. Колупаева. Необучные свойства общих металлов.

6. Занимательное о физике и математике. (Составители С. С. Кротов, А. П. Савин.)

7. М. Е. Левинштейн, Г. С. Симин. Знакомство с получированием книги.

8. А. П. Пурмаль, Е. М. Слюбодцкая, С. О. Травин. Как превращаются вещества.

9. С. С. Хилькович. Физика вокг нас.

10. А. Д. Чернин. Звезды и физика.

Мы советуем всем заинтересованным читателем оформить заказы на эти книги в книжных магазинах или в отделах «Книга — почтой».