Olympic Toán toàn Liên đoàn lần thứ XVII

46

Olympic Toán toàn Liên đoàn lần thứ XVII

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. V. REZNICHENKO,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. M. SLINKO

Từ ngày 13 tháng 4 đến ngày 20 tháng 4, chặng cuối cùng của Kỳ thi Olympic Toán học sinh toàn Liên đoàn lần thứ XVII đã được tổ chức tại Chisinau. Nó có sự tham dự của 146 học sinh (42 học sinh lớp 8, 51 học sinh lớp 9) - người chiến thắng trong Thế vận hội Resursikan, người chiến thắng trong Thế vận hội Olympic ở Moscow và Thành phố Leningrad, và các học sinh đã đạt bằng cấp I và II tại Olympic toàn Liên minh trước đó. Moldova Liên Xô được trao giải này lần thứ hai là điều xứng đáng. Thời gian trôi nhanh. Vừa mới đây, Chisinau đã tổ chức chặng cuối cùng của Olympic Toán học toàn Liên minh lần thứ XVII, và hôm nay, hai trong số những người chiến thắng - S.V. Konyagin và E.I. Khukhro - đến Chisinau với tư cách là thành viên ban giám khảo.

Vào ngày 13 tháng 4, ngày diễn ra cuộc đua, những người tham gia Olympic được xem các tài liệu và phim kể về lịch sử, văn hóa và kinh tế của Moldova. Sau khi đăng ký, mỗi người tham gia sẽ được tặng một tập hồ sơ kỷ niệm có chương trình của chặng cuối của Thế vận hội, thiệp mời tham dự lễ khai mạc, chương trình hòa nhạc đặc biệt, các biển hiệu đáng nhớ và quà lưu niệm của Moldova.

Ngày 14/4, các vận động viên Olympic đã đến đặt hoa tại tượng đài V.I. Lênin và Đài tưởng niệm vinh quang. Và sau đó tại Cung Văn hóa Công đoàn nhà nước đã diễn ra buổi khai trương giao thương. Bộ trưởng Bộ Giáo dục Liên Xô Moldavian D. G. Zidu gửi lời chào mừng đến những người tham gia Thế vận hội Olympic. Thư ký Ủy ban Trung ương Komsomol của Moldova E.M. Beiko, chủ tịch ban giám khảo, học giả, chúc các em có một màn trình diễn thành công, một công việc thú vị, sáng tạo và đấu tranh thuần túy. Viện Hàn lâm Khoa học SSR Ucraina B.V. Gnedenko và phó. Chủ tịch Ban giám khảo Thành viên tương ứng APN Liên Xô V. D. Belousov. Đơn đăng ký đã được nhất trí chấp nhận lời giải và gửi đến Chủ tịch danh dự Ban giám khảo của Olympic học thuật. A. N. Kolmogorov, nay đã 80 tuổi, được hân hạnh gọi điện thoại.

Những người tham gia đã viết bài tập cho giai đoạn cuối cùng của Olympic vào ngày 15 và 16 tháng 4. Nhiệm vụ của mỗi ngày trong hai ngày bao gồm bốn bài toán, vào lời giải trong đó có năm giờ được phân bổ.

Dưới đây là các điều kiện của tất cả bài toán. Một số bài toán này được bao gồm trong Bài toán Kvant («Kvant» Số 9, 10; số mà bài toán được đặt ở đó được chỉ định sau điều kiện bài toán), độc giả lời giải của họ sẽ có thể tìm thấy trong các số tiếp theo của tạp chí.

Nhiệm vụ

Ngày đầu tiên
lớp 8

1. Trong lưới hiển thị ở Hình 1, mỗi ô có kích thước 1x1. Lưới này có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của các bộ sau: a) tám đường đứt nét, mỗi đường có chiều dài 5; b) gãy gót, mỗi gót có chiều dài 8? (M824).

Hình 1.

2. Ba số nguyên được viết lên bảng. Sau đó, một trong số chúng bị xóa và tổng của hai số còn lại, giảm đi một, được viết lại với nhau. Những hoạt động này được lặp đi lặp lại nhiều lần do thu được

47

Số Chile 17, 1967, 1983. Có thể viết các số ban đầu lên bảng: a) 2, 2, 2; b) 3, 3, 3? (M826).

3. Ba đường tròn tiếp xúc nhau theo cặp ở bên ngoài tại các điểm X, Y, Z. Sau đó, bán kính của các đường tròn này tăng hơn $\frac{2}{\sqrt{3}}$ lần, giữ nguyên tâm. Chứng minh rằng mọi điểm của tam giác XYZ đều được bao phủ bởi ít nhất một trong các đường tròn mở rộng.

4. Cho nhiều số tự nhiên khác nhau nằm giữa các bình phương của hai số tự nhiên liên tiếp. Chứng minh rằng mọi tích theo cặp của chúng cũng phân biệt.

lớp 9

1. Tìm tất cả lời giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} y^2 = x^3 - 3x^2 + 2x \\ x^2 = y^3 - 3y^2 + 2y \end{cases}$$

2. Số tự nhiên $K$ có $n$ chữ số ở dạng thập phân. Số này được làm tròn đến số mười gần nhất, sau đó chữ số cuối cùng được làm tròn bằng 0 và số hàng chục được tăng thêm một nếu chữ số cuối cùng đó lớn hơn bốn. Số kết quả được làm tròn tương tự đến hàng trăm gần nhất, v.v. Kết quả của lần làm tròn $(n-1)$ cuối cùng, kết quả là $\tilde{K}$. Chứng minh rằng $\tilde{K} < \frac{18}{13} K$.

3. Trong tam giác $ABC$, điểm $D$ là trung điểm của cạnh $AB$, các điểm $E$ và $F$ lần lượt nằm trên các đoạn $AC$ và $BC$. Chứng minh rằng diện tích tam giác $DEF$ không vượt quá tổng diện tích của tam giác $ADE$ và $BDF$.

4. Liệu sẽ có các chuỗi tuần hoàn $(a_n)$ và $(\beta_n)$, lần lượt bao gồm các chữ số cuối cùng của số nguyên $[(\sqrt{10})^n]$ và $[(\sqrt{2})^n]$? (Ở đây $[x]$ là phần nguyên của số $x$).

lớp 10

1. Giá trị $\alpha$ và $\beta$ của hai góc nhọn thỏa mãn đẳng thức $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta = \sin (\alpha + \beta)$. Chứng minh rằng $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$.

2. Bài tập số 2 lớp 9.

3. Các đỉnh của tứ diện $ABCD$ được chiếu trực giao lên hai mặt phẳng. Điểm $A_1, B_1, C_1, D_1$ và $A_2, B_2, C_2, D_2$ là hình chiếu của các đỉnh tương ứng. Chứng minh rằng một trong các mặt phẳng có thể di chuyển trong không gian sao cho các đường thẳng $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2, D_1D_2$ trở nên song song.

4. Một học sinh đang thực hành lời giải phương trình bậc hai. Sau khi giải phương trình bậc hai tiếp theo và chắc chắn rằng nó có hai nghiệm, anh ta soạn các phương trình sau theo quy tắc: số hạng tự do bằng căn bậc hai, hệ số của biến $x$ bằng căn nhỏ, hệ số $x^2$ bằng một. Chứng minh rằng bài tập này không thể tiếp tục vô thời hạn. Hỏi anh ta có thể giải được nhiều phương trình nhất là bao nhiêu? (M830)

Các chàng trai đã hoàn thành khá thành công các nhiệm vụ được đề ra trong ngày đầu tiên. Những khó khăn lớn nhất, đúng như dự đoán, là do bài toán

8.3, 8.4, 9.4, 10.3 và 10.4. bài toán 8.4 đặc biệt khó khăn; Chỉ có một người tham gia giải được hoàn toàn số tiền của nó và ba người tham gia khác đã giải được nó với những thiếu sót nhỏ. Không ngờ bài toán 9.1 hóa ra lại khó. Tuy nhiên, không có bài toán nào trong bất kỳ lớp nào mà không ai có thể giải được phép tính tổng.

Vào ngày 15 tháng 4, sau khi hoàn thành nhiệm vụ của cuộc thi, các chàng trai đã có một cuộc kiểm tra hấp dẫn về các địa điểm Pushchino ở Moldova.

Ngày thứ hai

lớp 8

5. Các số tự nhiên $m, n, k$ sao cho số $m^n$ chia hết cho $n^m$ và số $n^k$ chia hết cho $k^n$. Chứng minh rằng số $m^k$ chia hết cho $k^m$.

6. Có hai chữ cái trong ngôn ngữ ngọn lửa Abba. Được biết, không có từ nào của ngôn ngữ này là sự bắt đầu của một từ khác. Liệu từ vựng của ngôn ngữ của ngọn lửa này có thể chứa 3 từ bốn chữ cái, 10 chữ cái thứ năm, 30 từ sáu chữ cái và 5 từ bảy chữ cái không?

7. Có thể sắp xếp các số nguyên trong các ô của một tờ giấy ca rô vô hạn sao cho trên mỗi đường thẳng các dấu chia trên đó cũng có kích thước bằng nhau không? Diện tích của một hình tứ giác là bao nhiêu nếu diện tích của một hình tam giác là 1 cm²? (M827)

Hình 2.

lớp 9

5. Nhóm cada của trẻ em xếp thành từng cặp phía sau nhau. Hóa ra ở mỗi cột có số lượng bé trai và bé gái bằng nhau, số cặp có bé gái và bé trai bằng số cặp còn lại. Chứng minh rằng số em trong nhóm chia hết cho 8.

6. Độ dài hai cạnh song song của phương trình trực tiếp là 1 cm. Ngoài ra, người ta biết rằng bằng hai đường vuông góc, nó có thể được chia thành bốn đường thẳng, ba trong số đó có mặt phẳng ít nhất là 1 cm² và đường thứ tư - ít nhất là 2 cm². Với độ dài tối thiểu của hai cạnh còn lại của phương trình trực tiếp thì điều này có thể xảy ra?