Chuỗi sóng hài

32

Lười. Ở một số vòi, một lỗ được tạo ở giữa miếng đệm và nó được cố định vào máy giặt bằng đai ốc. Vòi đã sửa chữa được lắp ráp theo thứ tự ngược lại và vòi khẩn cấp được mở từ từ.

Để kết luận, chúng tôi mời bạn trình diễn một thí nghiệm mô phỏng hoạt động của van trong vòi nước.

Dùng ống cao su nối ống ngậm có kích thước như trong Hình 2 với vòi. Mở nước, lấy đồng xu ba kopeck trong tay và đặt nó vào đầu ống ngậm (với huy hiệu hướng vào ống ngậm). Sau một thời gian huấn luyện, bạn có thể đảm bảo rằng đồng xu được giữ ổn định trong một phạm vi tốc độ dòng nước khá rộng và ở bất kỳ vị trí nào của ống ngậm. Không có rung động nào được quan sát và toàn bộ cấu trúc giống như một vòi phun nước để tưới vườn rau.

Điều thú vị là một chiếc đĩa có cùng kích thước với một đồng xu nhưng có bề mặt nhẵn lại không giữ được ống ngậm. Nhưng nếu bạn dùng ngón tay ấn nó vào ống ngậm, các rung động sẽ xuất hiện và với áp suất ngày càng tăng, tần số rung động sẽ tăng lên. Bằng cách này, bạn có thể dùng tay chạm vào mô hình van vòi và đảm bảo rằng thực sự có thể xảy ra rung động.

Đối với thử nghiệm cuối cùng, không cần thiết phải duy trì các kích thước quy định của ống ngậm và “nắp”. Điều quan trọng là bề mặt của chúng phải phẳng và mịn. Cố gắng tự mình nghĩ ra các thí nghiệm khác mô phỏng các quá trình xảy ra trong hệ thống cấp nước ồn ào (“ồn ào”).

Hàng Harmonichsky

Đơn vị phẳng-poly phẳng-phần tư phẳng một phần tám… Nếu chúng ta tiếp tục phép tính tổng này ngày càng xa hơn, liệu tổng kết quả có xu hướng đạt đến giới hạn nào không? Tất nhiên, trước mắt chúng ta là một cấp số nhân vô hạn với mẫu số nhỏ hơn 1. Để tính tổng của nó, một công thức đơn giản được rút ra - số hạng đầu tiên chia cho một trừ đi mẫu số của cấp số:

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots = \frac{1}{1 - (1/2)} = 2.$$

Này, nếu bạn muốn tính tổng những đại lượng giảm vô hạn nhưng không theo định luật cấp số nhân thì sao?

Ví dụ, một đơn vị phẳng-poly phẳng-phần tư phẳng là một tổng rất lớn. Để làm điều này, chúng ta sẽ tính tuần tự các tổng từng phần của nó, tức là các số $S_1 = 1$, $S_2 = 1 + 1/2 + 3/2$, $S_3 = 1 + 1/2 + 1/3 = 11/6$, … Bằng cách sử dụng máy tính vi mô, chúng ta thu được, chẳng hạn như $S_{99} = 5,177$, $S_{100} = 5,187$. Vậy tổng của chuỗi hài là bao nhiêu? Hãy suy nghĩ và cố gắng tự tìm ra số tiền của nó.

Mọi chuyện thế nào rồi? Bạn đã ước tính tổng của chuỗi sóng hài chưa? Nếu bạn đi đến kết luận rằng tổng $1 + 1/2 + 1/3 + \dots$ có xu hướng đạt đến một giới hạn nhất định thì bạn chắc chắn đã sai. Khi các số hạng mới được thêm vào, tổng sẽ tăng, tăng nhưng không có xu hướng đạt đến giới hạn (như tổng của một cấp số nhân)

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \dots$$

Bây giờ rõ ràng là… tuy nhiên, chỗ trống trên trang này sắp hết: hãy tự mình tìm ra sự phân kỳ của chuỗi điều hòa!

(Về phần kết xem trang 44)