Về búa nước

26

Về búa nước

Ứng viên khoa học kỹ thuật
E. M. VOINOV

Vào cuối thế kỷ 19, các trường hợp vỡ đường ống cấp nước của thành phố trở nên thường xuyên hơn ở Moscow và tai nạn dịch vụ tại các trạm thủy lực đã xảy ra nhiều lần. Không có nguyên nhân rõ ràng nào cho các sự kiện, và vào năm 1897, nhà khoa học vĩ đại người Nga Nikolai Egorovich Zhukovsky bắt đầu nghiên cứu vấn đề này. Kết quả là tác phẩm kinh điển hiện nay “Về cú sốc thủy lực trong đường ống nước” đã xuất hiện, trong đó Zhukovsky đã đưa ra một lời giải bài toán cực kỳ rõ ràng, được đưa vào ứng dụng trực tiếp vào thực tế. Ông đã chỉ ra về mặt lý thuyết và sau đó xác minh bằng thực nghiệm rằng khi các thiết bị ngắt nhanh chóng được đóng lại và do đó, chuyển động của nước qua đường ống nhanh chóng bị dừng lại, áp suất trong đường ống tăng mạnh. Hiện tượng này gọi là búa nước, khiến đường ống bị vỡ. Chúng ta hãy làm quen với anh ấy chi tiết hơn.

N. E. Zhukovsky đề xuất rằng áp suất trong đường ống tăng mạnh là do chuyển động không ổn định của chất lỏng. Ông đi đến kết luận rằng trong quá trình tăng áp suất trong đường ống sau khi khử sơn nhanh, tất cả chất lỏng trong đường ống đều tham gia vào dòng chảy và động năng của nó được chuyển thành thế năng biến dạng đàn hồi của chính chất lỏng (nghĩa là dẫn đến áp suất tăng mạnh trong nó), và cũng được dùng vào công việc biến dạng đàn hồi của thành ống. Hãy để chúng tôi giải thích quá trình này xảy ra như thế nào.

Cho chất lỏng chảy từ một bình chứa lớn (Hình 1) qua một đường ống đủ dài với tốc độ $v_0$. Ở cuối đường ống có một van có thể đóng đường ống nhanh chóng ( “nhanh” nghĩa là gì chúng tôi sẽ giải thích sau). Khi van đóng nhanh, tại thời điểm đầu tiên, một lớp chất lỏng nhất định nằm ở mặt trước của van và lên đến bình chứa sẽ dừng lại. Hiển nhiên ranh giới của vùng áp suất cao sẽ dịch chuyển theo cùng một hướng. Điều quan trọng cần nhớ là trong trường hợp này, tất cả các lớp chất lỏng vẫn giữ nguyên vị trí của chúng, chỉ trộn với một lượng không đáng kể, được xác định bởi giá trị biến dạng đàn hồi của mỗi lớp. Có sự chuyển trạng thái biến dạng từ lớp này sang lớp khác và sự lan truyền liên quan của một vùng có áp suất tăng dọc theo đường ống. Như người ta nói, một làn sóng áp lực lan rộng.

Bây giờ chúng ta hãy xác định giá trị lớn nhất của chuyển động không ổn định của chất lỏng. Để làm điều này, hãy chọn một lượng nhỏ chất lỏng gần van (đây là lớp đã thảo luận ở trên). Đặt diện tích của ống là $S$ và độ dày của lớp $\Delta x$; thì thể tích chất lỏng được phân bổ là $S \cdot \Delta x$ và khối lượng của nó là $m = \rho S \cdot \Delta x$. Trong thời gian ngắn $\Delta t$ mà cái này dừng lại, nó mất đà $\Delta (mv_0) = \rho S \cdot \Delta x \cdot \Delta v_0$, dẫn đến áp suất trong nó tăng lên $\Delta p$. Theo định luật thứ hai của Newton, sự thay đổi động lượng của lớp này được xác định bởi động lượng của lực ép sinh ra $F = S \cdot \Delta p$, tức là

$$F \cdot \Delta t = \Delta p \cdot S \cdot \Delta t = \rho S \cdot \Delta x \cdot v_0.$$

Từ đây

$$\Delta p = \rho v_0 \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right).$$

27

Đại lượng $c = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ bao gồm trong biểu thức này là tốc độ truyền của ranh giới vùng áp suất cao (biến dạng) trong chất lỏng của ống nước. Như N.E. Zhukovsky cho thấy, giá trị này phụ thuộc vào đặc tính đàn hồi của bản thân chất lỏng và vật liệu của thành ống, cũng như tỷ lệ giữa độ dày của thành ống và đường kính của nó. Hóa ra, đối với việc sử dụng bình thường trong các đường ống bằng thép và gang khi nước chảy qua chúng, tốc độ này gần với tốc độ âm thanh trong nước $c_{3B} = 1450$ m/s và bằng $c = 0,9c_{3B} \approx 1300$ m/s. Như vậy,

$$\Delta p = \varrho v_0 c.$$

Chúng tôi đã thu được công thức nổi tiếng của N. E. Zhukovsky về áp suất dư phát sinh khi chất lỏng chảy nhanh qua đường ống thoát ra nhanh chóng. Hiện tượng thay đổi mạnh về áp suất chất lỏng do sự thay đổi bên ngoài về tốc độ dòng chảy của nó được gọi là búa nước.

Bây giờ hãy hỏi việc đóng van nhanh cần được hiểu là gì. Để làm điều này, chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn quá trình truyền sóng áp suất qua đường ống. Nếu đường ống có chiều dài $L$ thì thời gian lan truyền vùng áp suất cao từ van đến bình chứa là $t_1 = L/c$. Khi sóng này (thường được gọi là chấn động) đến bể chứa, hai lớp chất lỏng có áp suất khác nhau tiếp xúc ở ranh giới của đường ống và bể chứa: một lớp nằm ở thành bể chứa với áp suất $p_0$ và lớp kia nằm trong đường ống với áp suất $p_{yd} = p_0 + \Delta p$. Vì trong những điều kiện như vậy, không thể có trạng thái cân bằng ở ranh giới của những từ này, nên một lượng nhỏ chất lỏng từ đường ống sẽ chảy vào bình chứa và áp suất trong đoạn ống này được hiểu là bằng áp suất $p_0$.

Trạng thái áp suất giảm này (so với áp suất $p_{yd}$ trong đường ống) bắt đầu lan truyền theo hướng ngược lại - từ bể đến van, đạt đến sau một thời gian $t_2 = 2L/c$ kể từ thời điểm van đóng. Tại thời điểm $t_2$, áp suất ban đầu $p_0$ được thiết lập trong toàn bộ đường ống. Tuy nhiên, tại thời điểm sóng giảm áp suất $p_0$ đến chính van, lớp chất lỏng liền kề với nó có xu hướng bị xé ra khỏi nó, dẫn đến áp suất trong nó giảm xuống một giá trị nhất định $p_1 < p_0$. Rõ ràng sau đó làn sóng giảm áp suất $p_1$ bắt đầu lan từ van vào bể. Sau khi nó chạm đến ranh giới của đường ống và bể chứa, một sóng xung kích sẽ lại xuất hiện ở đó (nhưng với áp suất trong đường ống tăng lên), sóng này sẽ đến van sau một thời gian $t_3 = 4L/c$ kể từ khi bắt đầu toàn bộ quá trình. Bây giờ quá trình, toàn bộ chu trình mà chúng ta đã xem xét, bắt đầu lặp lại, nhưng do tổn thất năng lượng do công chống lại lực ma sát (gây ra bởi độ nhớt của chất lỏng), biên độ dao động áp suất trong sóng xung kích sẽ giảm dần. Hình 2 cho thấy áp suất tại van sẽ thay đổi như thế nào trong toàn bộ chu kỳ quãng đường. Như sau những gì N. E. Zhukovsky đã trích dẫn, mức tăng áp suất tối đa trong đường ống thường được gọi là một cú đánh trực tiếp.

Nếu thời gian đóng van lớn hơn $2L/c$, thì lượng áp suất dư sẽ nhỏ hơn khi có tác động trực tiếp, và như N. E. Zhukovsky đã chỉ ra, nó được xác định bằng biểu thức

$$\Delta p_{\text{непр}} = \varrho v_0 c \left( \frac{L}{ct_{3akp}} - L \right).$$

Ví dụ: hãy xem xét điểm dừng của áp suất nước trong một ống thép có chiều dài $L = 500$ m với tốc độ dòng nước là $v_0 = 3$ m/s. Giả sử $c \approx 1300$ m/s, chúng ta thu được: thời gian đóng ống nhanh $t_{3akp} = 2L/c \approx 0,8$ s; mức tăng áp suất tối đa tương ứng khi va chạm trực tiếp là $\Delta p_{\text{max}} = \varrho v_0 c = 39 \cdot 10^5$ Pa = 39 atm. Với mức tăng như vậy

29

Rằng nó cho phép nước dâng lên $H_2=20 \div 30$ m ở áp suất $H_1$ chỉ 1-2 m. Trong trường hợp này, không có sự vi phạm định luật bảo toàn năng lượng - một phần đáng kể nước chảy ra từ dưới tộc $E$, giải phóng động năng của nó. Được phát triển bởi N. E. Zhukovsky. Vì vậy, những người sáng lập ngành hàng không, anh em nhà Mongolf và “cha đẻ của ngành hàng không Nga”, N. E. Zhukovsky, đều “mạnh mẽ” đối với ông.

Cuối cùng, đây là một ví dụ khác về cách sử dụng búa nước rất hữu ích. Hiện nay, cái gọi là dập thủy lực được sử dụng rộng rãi trong công nghiệp. Điều này được thực hiện như sau. Ma trận được lắp đặt trong một thùng chứa khá chắc chắn, được làm bằng vật liệu bền, có hình dạng “âm” của sản phẩm được đóng dấu (trong đó sản phẩm phải có độ lồi, độ lõm trong ma trận và ngược lại). Phôi được đặt trên đó và thùng chứa đầy chất lỏng. Ở một số nơi nhất định, hai (hoặc nhiều) điện cực được lắp vào thùng chứa. Thực hiện phóng điện xung lực mạnh (hoặc một loạt phóng điện), chúng tạo ra sốc thủy lực, làm biến dạng phôi theo hình dạng của ma trận. Bằng cách này, các sản phẩm thép có kích thước lớn với độ dày lên đến 10 mm được dập, các bộ phận thân xe tự động được sản xuất, v.v.

Ngoài ra còn có các thiết bị nước hoạt động theo nguyên tắc này. Do năng lượng phóng điện, có thể đạt được tốc độ dòng chảy vảy lên tới 1000 m/s. Tuy nhiên, xung tấn công là một vảy như vậy

“Nữ hoàng trong góc”, “Izyanshins” và những con số Fibonacci

(Để bắt đầu, xem trang 18)

Sau khi thực hiện các thay thế, chúng ta có thể xây dựng định lý sau đây, đưa ra một mô tả khác về tất cả các cặp được đánh dấu.

Định lý 2. Cho $(a_n, b_n)$ là một cặp đánh dấu. Nếu chúng ta tưởng tượng số tự nhiên $n-1$ là tổng của các số Fibonacci không lặp lại: $n-1 = f_{k_1} + f_{k_2} + \dots + f_{k_l}$, thì $a_n-1 = f_{k_1+1} + f_{k_2+1} + \dots + f_{k_l+1}$ hoặc nói cách khác, nếu $n-1$ là tổng của một số số Fibonacci riêng biệt theo cặp, thì $a_n-1$ là tổng của các số Fibonacci với các số lớn hơn một.