О гидравлическом ударе

26

О гидравлическом уdaре

Кандидат технических наук
E. M. ВОИНОВ

В конце XIX века в Москве учатились случаи разрыва труб городского водопровода, неднократно происходили сервисные аварии на гидравлических станциях. Видимых причины событий не было, и в 1897 году великий русский ученый Николай Егорович Жуковский занялся изучением этого вопроса. В результате появился, ставшая теперь классический, работа «О гидравлическом уdaре в водопроводных трубах», в котором Жуковский дал предельно четкое решение задачи, доведенное до непосредственного практического применения. Он показал теоретически, а затем и экспериментально проверил, что при быстром закрывании запорных устройств и, следовательно, быстром прекрашения движения воды по трубе давление в трубопроводе резко возрастает. Это явление, называемое гидравлическим ударом, и служит причной разрыва труб. Познакомимся с ним подробнее.

Н. Е. Жуковский предложил, что резкое повышение давления в трубе обусловлено неустановившимся движением жидкости. Он пришел к выводу, что в процессе повышения давления в трубе после быстром прекрашения течение участует все жидкость, находящаяся в трубе, и ее кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию пругоя деформации самой жидкости (то есть приводит к резkomу повышению давления в ней), а также расходуется на работу по пругоя деформации стенок труб. Поясним, как протекает этот процесс.

Пусть из большого резервуара (рисунок 1) по достаточно длинной трубе течение жидкости со скоростью $v_0$. На конце трубы установлена задвижка, которая может быстро прекраивать трубу (что значит «быстро», мы поясним позже). При быстром закрывании задвижки в первый момент времени остановляется некоторый слой жидкости, находящийся на носиная отзадвижке и вплоть до резервуара. Очевидно, что граница области повышенного давления будет перемещаться в том же направлении. Важно помнить, что при этом все слой жидкости остаются на своих местах, смешаясь лишь на незначительной величины, определяемого значением пругоя деформации каждой слоя. Происходит передача состояния деформации от слоя к слюю и связанное с ним распространение области повышенного давления вдоль трубы. Как принято говорить, распространяется волна давления.

Определим теперь максимальное значение возникшего неустановившимся движением жидкости. Для этого выделим небольшой объем жидкости, примыкающий к задвижке (это и есть слой, о котором шла речь выше). Пусть площадьечение трубы равна $S$, а толщина слоя $\Delta x$; тогда выделенный объем жидкости равен $S \cdot \Delta x$, а его масса $m = \rho S \cdot \Delta x$. За малое время $\Delta t$, в течение которого этот остановливается, он теряет импульс $\Delta (mv_0) = \rho S \cdot \Delta x \cdot \Delta v_0$, что приводит к повышению давления в нем на $\Delta p$. Согласно второму закону Ньютона, изменение импульса этого слоя определяется импульсом возникшего силы давления $F = S \cdot \Delta p$, то есть

$$F \cdot \Delta t = \Delta p \cdot S \cdot \Delta t = \rho S \cdot \Delta x \cdot v_0.$$

Отсюда

$$\Delta p = \rho v_0 \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right).$$

27

Входящая в это выражение величины $c = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ — это скорость распространения границы области повышенного давления (деформации) в жидкости водьтрубы. Как показал Н. Е. Жуковский, эта величина зависит от упругих свойств самой жидкости и материалов стенки трубы, а также от отношения толщины стенки трубы к ее диаметру. Окзадалось, что для обычного использования в трубопроводах стальных и чугунных труб при протекании в них воды эта скорость близка к скорости звука в воде $c_{3B} = 1450$ м/c и равна $c = 0,9c_{3B} \approx 1300$ м/c. Таким образом,

$$\Delta p = \varrho v_0 c.$$

Мы получили известную формулу Н. Е. Жуковского для избыточного давления, возникшего при быстроистановке жидкости, текущей по трубе. Явление резкого изменения давления жидкости, вызванное внешним изменением скорости ее течение, называют гидравлическим ударом.

Теперь посящим, что следует понимать под быстроим закрытем задвижки. Для этого рассмотрим более подробно процесс распространения волны давления по трубе. Если труба имеет длину $L$, то время распространения области повышенного давления от задвижки до резервуара составляет $t_1 = L/c$. Когда эта волна (ее часто называют ударной) достигает резервуара, на границе труби и резервуара соприкаются два слоя жидкости с различными давлениями: один, нахождение со стороны резервуара, с давлением $p_0$, и другой, нахождение в трубе, с давлением $p_{yd} = p_0 + \Delta p$. Поскольку в таких условиях состояние равновесия на границе этих слов невозможно, то небольшое количество жидкости из трубы вытечет в резервуар, и давление в этом сечении трубы понимается до давления $p_0$.

Это состояние понженного (по отношению к давлению $p_{yd}$ в трубе) давления начинает, в свою очередь, распространяется в обратном направлении — от резервуара к задвижке, которое он достигает через время $t_2 = 2L/c$ от момента закрытия задвижки. В момент времени $t_2$ во всей трубе установлена начальное давление $p_0$. Однако, в тот момент, когда волна понженного давления $p_0$ достигает самого задвижки, слой жидкости, примыкающий к ней, стремится отсорвать от нее, что приводит к понжению давления в нем до некоторой величины $p_1 < p_0$. Понятно, что после этого волна понженного давления $p_1$ начинает распространяется от задвижки к резервуару. После того как она достигает границы труби и резервуара, там снова возникнет ударная волна (но уже повышенного давления в трубе), которая доходит до задвижки через время $t_3 = 4L/c$ от начала всего процесса. Теперь процесс, полный цикл которого мы рассматривали, начинает повторяться, но вследствие потерь энергии на работу против сил треня (обусловленных вззкоствю жидкости) амплитуда колбаний давления в ударной волне постепенно будет уменьшаться. На рисунке 2 показано, как будет изменяться давление у задвижки в течение всего расстоянего цикла. Как следует из приведенного Н. Е. Жуковского, максимальное повышение давления в трубе принято называть прямым ударом.

Если же время закрытия задвижки больше $2L/c$, то величина избыточного давления оказывается меньше, чем при прямом ударе, и как показал Н. Е. Жуковский, определяется выражением

$$\Delta p_{\text{непр}} = \varrho v_0 c \left( \frac{L}{ct_{3akp}} - L \right).$$

Для примера распрострим остановку давления воды в стальной трубе длиной $L = 500$ м при скорости течение воды $v_0 = 3$ м/c. Принаяв $c \approx 1300$ м/c, получим: время быстрого закрывания трубы $t_{3akp} = 2L/c \approx 0,8$ с; соответствующое максимальное повышение давления при прямом ударе составляет $\Delta p_{\text{max}} = \varrho v_0 c = 39 \cdot 10^5$ Па = 39 атм. При таком повышении

29

Что оно позволяет производить подъем воды на $H_2=20 \div 30$ м при напоре $H_1$ всего 1—2 м. При этом никакого нарушения закона сохранения энергии не происходит — значительная часть воды вытекает из-под кланана $E$, теляя свою кинетическая энергия. Разработанная Н. Е. Жуковского. Таким образом, к нему были «прочность» основатели воздухоплавания братья Монгольфе и «отец русской авиации» Н. Е. Жуковский.

И, наконец, приведем еще один пример очень полезного использования гидравлического удара. В настоящее время в промышленности широко использовется так называемая гидравлическая штамповка. Это делается следующим образом. В достаточно прочную емкость установливается матрица, изготовления из прочного материала, имеющая «негативную» форму штампуемого изделия (там, где в изделия должа быть выпуклость, в матрице — вогнутость, и наоборот). На нее кладется заготовка, и емкость заливается жидкость. В определенных местах в емкость вводят два (или несколько) электрода. Осуществляя мощный импульс разряд (или серию разрядов), создают гидравлический удар, деформационный заготовку по форме матрицы. Таким образом штампуются стальные изделия значительных размеров с толщиной до 10 мм, изготовляются кузовные детали автоматический и др.

Имеются и водотные устройства, работающие по этому принципу. За счет энергии разряда удается получить скорость истечения струп до 1000 м/c. Однако имплусный удар такой струп

«Ферзя в угол», «изяншины» и числа Фибоначчи

(Начало см. на с. 18)

После сделанных нами заменений мы можем формулировать следующую теорему, дающий еще одно описание всех отмеченных пар.

Теорема 2. Пусть $(a_n, b_n)$ — отмечная пара. Если представить натуруальное число $n-1$ в виде суммы неповторяющихся чисел Фибоначчи: $n-1 = f_{k_1} + f_{k_2} + \dots + f_{k_l}$, то $a_n-1 = f_{k_1+1} + f_{k_2+1} + \dots + f_{k_l+1}$ или, иначе говоря, если $n-1$ есть сумма неокотых попарно различных чисел Фибоначчи, то $a_n-1$ есть такая же сумма чисел Фибоначчи с номерами на единицу большими.